由于LZ最近在準備實變函數(shù)的考試，覺得實變函數(shù)這么難，真的好么？真的有用么？于是乎就查詢了一些資料，歡迎補充，到底有什么用？
首先，實變函數(shù)是研究
Lebesgue積分理論的，這種
L積分使積分理論得以應用的函數(shù)范圍大大推廣了，實際上除了數(shù)學家刻意構造出來的奇異函數(shù)，一般的函數(shù)，特別是我們在分析實際問題時遇到的函數(shù)，都是
L可積的。因此
L積分的理論可以用于我們分析實際問題時遇到的所有函數(shù)。
L積分的理論中哪些內容是極其重要的呢？從應用的角度來講，最有價值的就是測度理論和積分的三個相互等價控制收斂定理。測度論使的概率論變得更加威力強大，可以解決很多以前被認為是古怪的無法分析的問題。也使很多概率理論變得更加嚴格。比如無限可分事件的概率以及用西格瑪域來闡述的條件概率等等。沒有測度論就無法分析連續(xù)鞅等等。另外，積分收斂定理解決了積分運算與極限運算互換的問題，使得很多極限問題變得可以計算。所以支持大樣本統(tǒng)計理論的概率極限理論就建立起來了。如果搞懂了實變函數(shù)，你對統(tǒng)計，計量，金融工程等問題的研究就可以一槍刺到底，從基本概念的學習開始可以一路暢通的達到對前沿理論的深刻理解。沒有實變函數(shù)的基礎，學計量，統(tǒng)計和金融工程就是隔靴撓癢。
泛函分析是建立在實變函數(shù)的基礎上的。為什么這么說呢？其實就分析的問題的思路來講，泛函和實變還是有很大差別的，但是泛函研究的是函數(shù)空間，研究函數(shù)空間中的收斂和連續(xù)等拓撲概念必須依賴范數(shù)的定義，而函數(shù)空間的范數(shù)的定義依賴于積分理論，所以實變函數(shù)就成了泛函的基礎。所以一般都是先學實變，再學泛函。當然，也有先學直接學泛函的，這時就只能直接的接受積分定義的范數(shù)概念，或者干脆只從抽象范數(shù)的角度來研究，不去管范數(shù)的具體形式。從理解泛函本身的理論來講并沒有什么不妥，只是在用泛函解決實際問題時就有麻煩，因為研究實際問題就要給出具體的范數(shù)定義，沒有實變函數(shù)的積分理論就不行了。所以，純粹學習泛函，而不講究實用，可以直接學泛函，大不了在學習時補充一點范數(shù)的具體形式就可以了。 泛函分析有什么用呢？無非是泛函可以讓我們在更廣義的層次上分析最優(yōu)化問題。泛函分析不僅給出的是最優(yōu)路徑，而不是微積分中的最優(yōu)點。當然，你也可以說最優(yōu)路徑就是函數(shù)空間中的最優(yōu)點。一般在運籌學中用處很多。那在博弈論中有什么應用呢？我們說，理性經紀人的行為就是給定約束和目標下的最優(yōu)路徑。所以分析經濟行為當然離不開泛函分析了。但是想把泛函分析理論用來解決經濟學中的優(yōu)化問題并不容易。即因為首先你要把研究的問題數(shù)學模型化，然后在定義一個恰當?shù)暮瘮?shù)空間，一般是線性空間，然后在這個空間中定義出恰當?shù)姆稊?shù)。然后把你的優(yōu)化問題轉化為這個空間中的最小范數(shù)問題，或者最佳逼近問題，再借助泛函分析中有關函數(shù)空間的范數(shù)理論和逼近理論來求解。這個過程實在不容易，因為要很巧妙的定義空間和范數(shù)來把你的問題裝進去，是多年經驗和敏銳直覺的結合，既是科學又是藝術。就算你是數(shù)學系專門研究泛函理論的人，也不一定能做到這一點。所以泛函在實際問題中的應用還是很少的，只有少數(shù)極其成熟的問題才能直接用泛函理論來解決，這些問題主要是變分問題。套用歐拉－拉個朗日方程來解決問題，比如金融上的跨代且考慮消費的最佳投資問題，宏觀經濟里的最優(yōu)增長問題等等。這些問題都是變分問題，都可以直接套用現(xiàn)成的歐拉－拉個朗日方程，所以已經被人解決了。其他的非變分泛函問題就鮮有人能解決。 一般經濟學者總是想，我從中找到一個理論套到我研究的問題上得出解，就可以出成果了。但是泛函問題中除了變分問題可以直接套現(xiàn)成的結論外，其他都需要研究者對問題理解很深刻，對泛函整體理論理解也很深刻，同時有豐富的構造函數(shù)空間和范數(shù)的經驗，才能解決?？梢赃@么說，如果你做到了上述三點，你可以把經濟學，包括博弈論中的很多問題重新研究一遍，用更為普遍適用的結論替代以前在給定重重約束之下才得出的狹隘結論。LZ新郎微波@翔宇下木
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