經(jīng)典泛函分析的內(nèi)容主要是研究空間結(jié)構(gòu)和空間之間的映射，這里的空間一般是線性的、帶某種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的。量子物理的發(fā)現(xiàn)對數(shù)學(xué)提出了新要求，對非交換結(jié)構(gòu)的研究也深入到泛函分析的研究里，現(xiàn)代泛函分析的主要對象也從經(jīng)典的函數(shù)空間（及其推廣）演變?yōu)閹Т鷶?shù)、拓?fù)涞冉Y(jié)構(gòu)的非交換空間（或量子化的空間）和它們之間或內(nèi)部的映射的研究。
泛函分析是20世紀(jì)初，從積分方程、變分法、物理等研究中產(chǎn)生的，它把分析研究的具體對象，如函數(shù)、映射、觀測量等抽象到一種更加純粹的空間、代數(shù)、幾何結(jié)構(gòu)的形式中來研究，從而形成了一種研究方法綜合、應(yīng)用范圍廣泛的分析學(xué)科。一般定義在自然數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)等集合上，當(dāng)某類（連續(xù)的、可微的）函數(shù)全體作為定義域時，它上面的函數(shù)，或更一般的函數(shù)集到函數(shù)集之間的映射成為研究對象時，就產(chǎn)生了泛函數(shù)的概念。J.傅里葉或許是最早研究函數(shù)空間之間的映射（傅里葉變換）的數(shù)學(xué)家，后來B.黎曼和H.L.勒貝格證明了傅里葉變換在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)間的距離下是等距變換（或酉算子）。1887年，意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家V.沃爾泰拉給出了“泛函”的定義；1910年，J.阿達馬在研究積分方程和變分法時也用到了非線性的“泛函”的概念，所以有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為泛函分析起源于變分法，是研究泛函數(shù)的數(shù)學(xué)分支。還有一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為泛函分析起源于H.哈恩和S.巴拿赫對線性賦范（或更一般的，拓?fù)湎蛄浚┛臻g的研究，以泛函分析中一些經(jīng)典定理，如哈恩-巴拿赫定理、開映射定理、閉圖像定理、共鳴定理等的發(fā)現(xiàn)作為學(xué)科形成的標(biāo)志。從現(xiàn)代泛函分析的發(fā)展來看，它的另外一個，也是最重要的源頭是對積分方程的研究。
和微分方程一樣，積分方程的求解問題也是起源于物理和天體問題的研究。最早的積分方程是1823年N.H.阿貝爾在研究地球引力場中的一個質(zhì)點下落軌跡問題時提出的：
后人稱之為阿貝爾方程，其推廣形式也稱為沃爾泰拉型積分方程。對積分方程的系統(tǒng)性研究由弗雷德霍姆在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初開啟，他考慮了兩類方程，如一型方程：
以及形如
的二型方程，式中稱為積分核。20世紀(jì)初，D.希爾伯特運用算子的方法，證明了積分核對稱時的積分算子有自伴性，其對應(yīng)的譜是實數(shù)。更進一步，希爾伯特運用函數(shù)空間的正交基理論，把積分方程的求解問題歸結(jié)成無限維線性方程組的求解問題，從而一個連續(xù)的問題被離散化了。希爾伯特的學(xué)生H.外爾在他的博士論文中研究了無界區(qū)間上積分方程。如果把上述積分方程簡記為
（當(dāng)積分核連續(xù)有界時），則對應(yīng)一型方程的
是緊算子（或全連續(xù)算子），二型方程給出的是一類特殊的弗雷德霍姆算子，外爾對弗雷德霍姆算子的譜也有深刻研究。這類算子在幾何，特別是阿蒂亞-辛格指標(biāo)理論中有重要應(yīng)用。
除了外爾，希爾伯特的格丁根學(xué)派中許多杰出的數(shù)學(xué)家都對積分方程、內(nèi)積空間及上面的算子理論有興趣，其中較突出的有E.諾特、E.施密特和J.馮·諾伊曼等。諾特在數(shù)學(xué)物理和變分法中有重要的貢獻；施密特發(fā)展了希爾伯特譜論，引入了（無限維復(fù)線性空間上的）內(nèi)積和范數(shù)等概念，給出了正交、閉集、子空間的定義，并證明到閉線性子空間上投影的存在性，后來馮·諾伊曼把具有完備性的內(nèi)積空間稱作希爾伯特空間。20世紀(jì)20年代末期，馮·諾伊曼系統(tǒng)研究了希爾伯特空間上的有界自伴算子和正規(guī)算子的譜理論，得到了此類算子的函數(shù)演算（可看作廣義的譜分解定理）。進一步地，他在1930年前后引入并研究了某類算子構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，他稱之為算子環(huán)，多年后由J.迪克斯米耶把這類代數(shù)重新命名為馮·諾伊曼代數(shù)，馮·諾伊曼代數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著算子代數(shù)這一學(xué)科的誕生。
幾乎和馮·諾伊曼同時，P.A.M.狄拉克為研究量子物理，特別是量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也考慮了算子的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并建立了希爾伯特空間的基和交換算子代數(shù)之間的聯(lián)系，他認(rèn)為基可以由極大交換的自伴算子代數(shù)給出。
另外一類算子代數(shù)稱為C*代數(shù)，由I.M.蓋爾范德和M.A.奈馬克于1943年以公理化的形式引入，他們的出發(fā)點是群表示，所以早期C*代數(shù)的研究主要和表示論相關(guān)。算子代數(shù)的產(chǎn)生不僅豐富了泛函分析的內(nèi)容，它和物理及數(shù)學(xué)的眾多分支建立了深刻的聯(lián)系，在共形場論、量子統(tǒng)計物理、弦論、微分方程、幾何、拓?fù)洹?yōu)化、控制論及工程應(yīng)用等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。
研究線性賦范空間（巴拿赫空間、希爾伯特空間等）上線性算子結(jié)構(gòu)的分支，是有限維線性空間上線性變換或其對應(yīng)的矩陣?yán)碚摰耐茝V。早期的研究主要集中在特殊算子類的結(jié)構(gòu)上，較完善的理論有希爾伯特空間上的有界自伴（或正規(guī)）算子的譜分解，緊算子和弗雷德霍姆算子的譜理論等。對一般有界線性算子的結(jié)構(gòu)的刻畫是算子理論的核心問題，其中著名的不變子空間問題是問在無限維可分希爾伯特空間（或更一般的自反巴拿赫空間）上的有界線性算子是否都有非平凡的不變子空間。空間是有限維時，答案是肯定的，這對應(yīng)的是有限維矩陣的上三角化?？臻g是無限維時，許多特殊算子都有不變子空間，但最一般的情形還沒有答案。圍繞該問題的研究，產(chǎn)生了許多研究分支，特別是算子代數(shù)（包括非自伴算子代數(shù)）的引入，為算子理論的研究提供了更有力的工具，同時也豐富了算子理論的研究課題。此理論逐漸從單個的算子、局部性的研究，轉(zhuǎn)變到整體性的、結(jié)構(gòu)性的問題上來。比如圓盤代數(shù)（及其推廣）、非交換哈代空間等觀點的滲透，為建立算子理論和其他數(shù)學(xué)分支的深刻聯(lián)系做好了準(zhǔn)備，也為算子理論的進一步發(fā)展和應(yīng)用提供了嶄新的平臺。
一般包含了C*代數(shù)和馮
相應(yīng)地，蓋爾范德和奈馬克引入C*代數(shù)時也證明了兩個基本定理：①有單位元的交換C*代數(shù)和緊豪斯多夫空間上的連續(xù)函數(shù)全體等距同構(gòu)，從而非交換的C*代數(shù)可以類比成非交換的拓?fù)淇臻g（或上面的“函數(shù)”），拓?fù)涞姆椒ㄊ茄芯緾*代數(shù)結(jié)構(gòu)和分類的最重要的手段。②抽象（公理化定義）的C*代數(shù)一定等距同構(gòu)于某個希爾伯特空間上的自伴的、范數(shù)拓?fù)溟]的算子代數(shù)，此定理的意義在于，研究C*-代數(shù)時既可以把它具體作用到希爾伯特空間上，也可以脫離它在空間上的作用，這為其他算子類（如馮
算子代數(shù)同其他代數(shù)領(lǐng)域一樣，分類和表示是它的中心問題，同時它在幾何、拓?fù)洹⒄{(diào)和分析、概率論、 數(shù)學(xué)物理等許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，并由此產(chǎn)生了眾多數(shù)學(xué)分支，如非交換幾何、自由概率論、子因子理論等。
主要研究拓?fù)渚€性空間的幾何結(jié)構(gòu)和空間之間的線性映射的分支，是泛函分析的基礎(chǔ)。20世紀(jì)20年代，哈恩和巴拿赫獨立引入了賦范線性空間的概念，他們各自發(fā)現(xiàn)并證明了一系列有關(guān)完備賦范線性空間上的基本定理，最著名的當(dāng)屬線性泛函的哈恩-巴拿赫延拓定理和不交凸集間的哈恩-巴拿赫分離定理，其他定理還包括巴拿赫的壓縮映射不動點定理、開映射定理、閉圖像定理和巴拿赫-斯坦豪斯共鳴定理等。1931年巴拿赫出版了《線性運算理論》（波蘭語：Teoria operacji liniowych）一書，一年后出版了法語版。此書總結(jié)了之前近十年內(nèi)在完備賦范線性空間的凸性、弱收斂性及空間之間的線性算子方面的結(jié)果，為線性泛函分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，為紀(jì)念他的貢獻，人們把完備賦范線性空間稱為巴拿赫空間。巴拿赫空間的幾何結(jié)構(gòu)、特殊子空間的存在性、特殊基的存在性等一直是研究空間結(jié)構(gòu)的核心問題，局部凸線性空間之間的線性映射也是線性泛函分析關(guān)心的重要對象。
起源于變分法，是研究非線性泛函或非線性算子的分支，更一般地，非線性泛函或算子還可能是定義在（沒有線性結(jié)構(gòu)的）度量空間或更廣義的集合上的。泛函的極值問題，非線性積分方程、微分方程求解問題等是非線性泛函研究的核心問題，其方法主要有變分方法、不動點理論、單調(diào)算子、分歧理論、拓?fù)涠壤碚摰?。陳省身指出?1世紀(jì)的數(shù)學(xué)是非線性和無限維的數(shù)學(xué)。非線性泛函是非線性和無限維的有機統(tǒng)一體，在理論上，這是一個有待發(fā)展和完善的方向。21世紀(jì)初，它在幾何分析、動力系統(tǒng)、微分方程求解及解的數(shù)值逼近、圖像及數(shù)據(jù)處理、醫(yī)學(xué)應(yīng)用等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。由于現(xiàn)實中的諸多問題都是非線性的，因此，該領(lǐng)域在數(shù)學(xué)、物理、生命科學(xué)、工程應(yīng)用等領(lǐng)域還會有更廣泛的應(yīng)用。
同泛函分析相關(guān)的領(lǐng)域有許多，經(jīng)典的廣義函數(shù)論、遍歷理論等也常常劃歸到泛函分析里。一些較新的分支，如小波分析、分形理論等，都是泛函分析和調(diào)和分析等領(lǐng)域有機結(jié)合生成的數(shù)學(xué)分支。在計算機科學(xué)的推動下，它們在圖像處理、模式識別等領(lǐng)域有深刻的應(yīng)用。泛函分析是一個發(fā)展變化的學(xué)科，物理學(xué)、計算機、大數(shù)據(jù)、生命科學(xué)等發(fā)展的需求對泛函分析也提出了新的要求，在大數(shù)據(jù)、量子化的時代，泛函分析的身影處處可見。
