弗雷歇
張奠宙 王善平
(華東師范大學)
弗雷歇，M．(Frechét，Maurice)1878年9月2日生于法國約訥省的馬利尼；1973年6月4日卒于巴黎．數學．
弗雷歇的父親是小學教師，在一所小規(guī)模的新教教會學校教課．他有六個孩子，弗雷歇排行第四．
當12歲的弗雷歇在布豐中學念書時，他的數學老師——一位比他大13歲的年青人——發(fā)現了他的數學才能．這位年青人極力勸說弗雷歇的雙親讓他們的孩子從事數學工作，并且還常常為弗雷歇單獨講課，讓他解決數學問題并給予必要的指導．這位年青人就是J．阿達瑪(Hadamard)．弗雷歇常常以深切的感激之情回憶阿達瑪對他的關心和幫助．
服完兵役以后，弗雷歇聽從阿達瑪的勸告進入著名的巴黎高等師范學校學習，并在那里獲博士學位(1906)．
1910年，弗雷歇任普瓦捷大學力學教授，直到第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)．戰(zhàn)爭期間，弗雷歇在前線呆了三年，開始是普通士兵，后來擔任英國軍隊的翻譯．戰(zhàn)爭結束后，弗雷歇來到斯特拉斯堡大學，任數學教授(1920—1927)．后來接受E．波萊爾(Borel)的邀請到著名的巴黎大學執(zhí)教，先后擔任概率計算講師(1928—1933)，一般數學教授(1933—1935)，微積分計算教授(1935—1940)和概率計算教授(1940—1948)．
1956年，弗雷歇被選為法國科學院院士．在此以前，他已是波蘭科學院院士(1929)和荷蘭科學院院士(1950)．此外，他也是莫斯科數學學會等許多國內外著名科學學會的成員．
弗雷歇對數學最重要的貢獻是創(chuàng)立抽象空間理論，為泛函分析和點集拓撲學奠定了基礎．
“空間”一詞，本來是人類對自己所生存的周圍環(huán)境的稱謂．由于現實的生存空間有前后、左右、上下三個自由度．故又稱三維空間．選取了原點0之后，空間一點p可用三個實數的有序組(x，y，z)加以表征．由此，人們又把直線看作一維空間，平面看作二維空間．而A．愛因斯坦(Einstein)的相對論則要使用四維空間(x，y，z，t)，其中t表示時間．很自然，人們將(x1，…，xn)稱為n維空間中的一點．弗雷歇的功績是將空間的概念作了極大的推廣．他大膽地采用了剛由G．康托爾(Cantor)創(chuàng)立起來的集合論思想，把“空間”看成具有某種結構的集合．從這個觀點出發(fā)，許多數學問題實際上可歸結為“空間”上的函數(泛函)或“空間”之間的映射(算子)的研究．這一想法，弗雷歇于1904年已經著手探討(見原始文獻[1])．1906年，他在博士論文“關于泛函演算若干問題”(Sur quelques pcincs du calcul fonctionnel，1906)中給出了完整的理論．
在這一工作中，給人印象最深的是距離空間理論．眾所周知，現實空間中每兩點A，B之間都有一個距離d(A，B)，這是一個非負實數．弗雷歇將它推廣到一般的集合上，他給出如下定義：設D是非空集合，如果對D中任何兩個元素A，B，都有一個實數d(A，B)與之對應，且滿足
(a)d(A，B)=d(B，A)≥0，
(b)d(A，B)=0當且僅當A=B，
(c)d(A，B)+d(B，C)≥d(A，C)對D中任意的元素C都成立，
這時就稱d(A，B)是A，B之間的距離(écart)，稱D是距離空間．顯然，現實的空間就是距離空間．弗雷歇還給出了兩個很有用的抽象的距離空間的例子：
(1)區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數全體構成的空間C[a，b]，其中的距離定義為
(2)實數列全體構成的空間F，其中任意兩點x=(x1，…，xn，…)和y=(y1，…，yn，…)之間的距離定義為
這一空間現稱弗雷歇序列空間．
距離空間的概念成功地刻畫了空間和距離的本質．自從非歐幾何創(chuàng)立以來，人們對空間這個幾乎和人類一起產生的古老的概念又有了新的認識．數學家的視野也開始從有限維的現實空間轉向一般的抽象空間，數學研究的舞臺獲得前所未有的擴大．后人在評論泛函分析歷史時，把弗雷歇的博士論文和I．弗雷德霍姆(Fredholm)的積分方程論文(1900)，H．勒貝格(Lebesgue)的積分論(1902)，D．希爾伯特(Hilbert)的譜論(1906)并列為四項奠基性工作(見研究文獻[20]，p．97)．
弗雷歇的研究工作并沒有停止在僅僅給出一些空間的定義上，而是深入研究這些空間的性質．他把有限維空間中的極限概念搬到抽象空間上來，定義了鄰域、開集、閉集、閉包、極限點等概念，導致對空間的完備性、緊致性、可分性等性質的研究．這一部分后來成為點集拓撲學的基本內容．1914年，F．豪斯多夫(Hausdorff)出版《集論》(Grundzüge der Mengenlehre，Leipzig，1914)標志著點集拓撲學的產生，其中含有弗雷歇的大量工作．
值得指出的是，在20世紀的最初10年中，康托爾的集合論、勒貝格的積分論都尚未被當時的國際數學界廣泛接受，許多數學家對“病態(tài)函數”、“怪異集合”持懷疑甚至厭惡態(tài)度，但弗雷歇堅定地支持這些工作，并通過自己的努力使集合論和積分論成為20世紀數學的兩塊重要基石．
勒貝格發(fā)表積分論以后僅僅5年，弗雷歇給出了勒貝格意義下的平方可積函數距離空間L2[a，b](1907)(見原始文獻[3])：設f(x)和g(x)是L2[a，b]中的兩個元素，它們之間的距離是
他還和E．施密特(Schmidt)同時指出L2[a，b]和序列的希爾伯特空間l2的類似性．幾個月后，F．里斯(Riesz)把這種類似性表為定理，后來被稱為里斯-費希爾(E．Fischer)定理．它表明L2[a，b]和l2在某種意義上是等價的．
同年，弗雷歇證明了，對于定義在L2[a，b]上的每一個連續(xù)線性泛函U，存在L2[a，b]中唯一的一個元素u(x)，使得對于L2[a，b]中每一個f(x)，都有
這是當今稱為希爾伯特空間理論的基礎．
1926年至1928年，弗雷歇汲取S．巴拿赫(Banach)等人的成果，進一步提出了一種線性距離空間，明確地把線性運算和距離結構協(xié)調起來(見原始文獻[6]，[12])．這種空間現在稱為弗雷歇空間．
設有一個非空集合E，在它上面有一個由加法和數乘運算確定的線性空間結構，并且有一個從E到實數空間的映射p，滿足條件
A1 對任意的E中元素x，有
p(x)≥0并且p(x)=0當且僅當x=0，
A2 對任意的E中元素x，y，有
p(x+y)≤p(x)+p(y) (三角不等式)，
A3 對任意的E中元素x，xn，以及任意的實數a，an，有
稱p是準范，E被稱為賦準范線性空間．對E中任意元素x，y，定義
d(x，y)=p(x-y)，
易見這正好是距離．在這個距離下E成為距離空間，如果E同時是完備的，就稱E是弗雷歇空間．可以驗證前面給出的兩個例子C[a，b]和F都滿足弗雷歇空間條件．在線性泛函分析中有廣泛應用的巴拿赫空間，也就是完備賦范線性空間，是弗雷歇空間的特例．
在經典分析中，微分是個極其有用的概念，如何把這個概念推廣到一般抽象空間上呢？這是一個難題，至今尚未最后解決．不過弗雷歇在這方面作了很好的工作．早在1914年，弗雷歇就給出了距離空間上泛函的可微性定義(見原始文獻[7])．1925年，他把它推廣到賦范線性空間
f(x0+h)-f(x0)-Ah=ω(x0，h)，
其中ω(x0，h)滿足
弗雷歇又把定義進一步嚴格化(見原始文獻[9])．弗雷歇可微性概念有廣泛應用，是現代非線性泛函理論的基本概念之一．
弗雷歇對泛函分析中的極值問題，抽象空間上的曲線、曲面和曲面面積問題也有研究．
在拓撲學中，除了前面提到的工作外，弗雷歇還對維數的定義作過研究．1909年，弗雷歇首先對維數給出定義：如果存在從拓撲空間E到拓撲空間F的某個子空間上的同胚映射，就稱E的維數不大于F的維數．現在拓撲學中通常使用H．龐加萊(Poin- caré)于1912年提出，后經L．E．J．布勞威爾(Brower)等人修改，用遞歸方法給出的維數定義．但弗雷歇的定義簡單明了，也是個很有價值的概念，后來弗雷歇在發(fā)展以他的維數定義為基礎的維數理論方面做了一些工作(見原始文獻[13])．
弗雷歇數學活動的另一個重要領域是概率統(tǒng)計理論，這方面的工作在他的整個數學工作中占有很大比重．早在20年代，他就開始用他所創(chuàng)造的泛函分析方法(他稱之為“廣義分析”方法)研究隨機變量序列[xn]“概收斂”和“幾乎處處收斂”的問題．他和別人合作解決了“矩收斂問題”(見研究文獻[14])．30年代，他著重研究了“馬爾科夫鏈”理論．另外，他對概率計算、概率應用、方差和協(xié)方差的定義問題，相關性問題、遍歷理論、零概率事件的分類、抽象概率空間理論和隨機曲線等都有研究．
在函數論和經典分析方面，弗雷歇也作過一些工作．
雖然弗雷歇以他在數學的抽象化、一般化方面的工作著稱于世，但他對數學的看法卻很實際．他認為數學不是一個純粹的演繹科學；事實上，數學涉及四個階段：1)系統(tǒng)地從經驗中歸納，2)公理化、公式化，3)演繹，4)實驗證實．所以，所有的數學都來自經驗，一個與經驗無關的公理系統(tǒng)只不過是場游戲，不是數學(見原始文獻[11])．
在與國際數學家交往上，弗雷歇是位活躍人物，據說他幾乎和20世紀每位大數學家都有通信來往(見研究文獻[15])．
美國著名數學家、控制論創(chuàng)始人N．維納(Wiener)在1920年寫信給弗雷歇，希望成為他的學生，弗雷歇放棄去西班牙休假的機會，熱情地邀請維納來斯特拉斯堡一起工作．維納在他的自傳《我是一個數學家》(I am a mathematician，1956)中回憶道：“弗雷歇身材中等，留有小胡子，體格強健，行動敏捷．……．酷愛散步和旅行，我們相處得很好．”(見研究文獻[18]，p．40．)維納這時和弗雷歇同樣對“公理化方法”感興趣．正如弗雷歇引入“距離”三條公理一樣，維納也引入了“范數”的公理，這和波蘭數學家巴拿赫幾乎同時得到．當時弗雷歇曾為此欣喜不已，并在自己的工作中積極汲取了他們的成果(見前文所述)．
弗雷歇和與外界聯(lián)系較少的蘇聯(lián)數學家也有十分友好的關系．H．H．魯金(луэин)曾寫信告訴他自己在解析理論(見研究文獻[16])、射影集合方面的工作．п．C．亞歷山德洛夫(Aлек-сандров)在一封信中向他講述了п．C．烏雷松(урысон)被淹死的慘劇(見研究文獻[17])．這種數學家之間的個人友誼對當時蘇聯(lián)的數學，尤其是拓撲學的飛速發(fā)展無疑有一定作用．
弗雷歇有兩個中國學生．一個是關肇直，他是現代中國著名數學家，中國泛函分析學科的奠基人．另一個名叫樊 (Fan，Ky)，是美國的著名華裔數學家；弗雷歇與他合著《組合拓撲學導論》(Introduction à la topologie combinatoire，1946)，此書后來被翻譯成英文(1967)和西班牙文(1967)．
阿達瑪曾把弗雷歇的創(chuàng)造性工作與E．伽羅瓦(Galois)創(chuàng)立群論相提并論(見研究文獻[14])，這一評價似乎有些太高了．但是弗雷歇有一點同伽羅瓦一樣，他不僅為數學開拓了大片新領域，而且?guī)砹藬祵W方法的變革．他所參與創(chuàng)立的由“公理”確定出一般的抽象的數學結構，然后再逐步過渡到具體問題的“公理化方法”，現在已被廣泛采用．這種方法對希爾伯特的形式主義和N．布爾巴基(Bourbaki)的結構主義的形成起著重要作用．
弗雷歇的成功決非偶然．一方面，康托爾的集合論和勒貝格的積分論為他提供了理想的工具；另一方面V．沃爾泰拉(Vo- lterra)、弗雷德霍姆、阿達瑪等人在積分方程、微分方程和變分法方面的研究中已積累了大量的素材，為弗雷歇創(chuàng)立抽象空間理論作了充分準備；最后，自19世紀，B．柯西(Cauchy)、R．戴德金(Dedekind)等人完成數學的嚴密化工作，伽羅瓦創(chuàng)立群論和K．F．高斯(Gauss)等人創(chuàng)立非歐幾何以來，探求一般性和統(tǒng)一性逐漸成為數學發(fā)展的一個重要方向，而弗雷歇順應了這個發(fā)展．
正如維納所指出的那樣(見研究文獻[18]p．33)，盡管弗雷歇的著作是“非常重要的”，但并沒有象人們所期望的那樣“成為數學的中心”，因為“它是按照抽象形式主義精神寫的，這同任何深刻的物理應用根本對立”．維納還說弗雷歇是當時法國在“公設主義”方面“無可爭議的領袖，但現在看來他并非是“他那一代數學界的絕對領袖”．
弗雷歇的著作很多，較著名的有《抽象空間》(Les espaces ab-straits，1928)，《概率論現代理論研究》(Récherches théoriquesmodernes sur la theome des probabilities，1937—1938，兩卷集)和《數學與具體》(Les mathématiques et le coneret，1955)等．
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