數(shù)學(xué)能力的研究已有很長的歷史，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家給出過不同的答案．隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)能力的含義不斷有新的理解．特別是高考命題以“能力立意”為指針，更凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)能力的社會功能。這里，讓我們回顧歷史，展望將來，進一步界定數(shù)學(xué)能力的范圍，為我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)找到合適的目標(biāo)定位?！ ?br> 一、一點歷史
數(shù)學(xué)經(jīng)歷了四個高峰．這就是：古希臘數(shù)學(xué)(公理化)；牛頓發(fā)明微積分(不嚴(yán)密的算法)；希爾伯特的形式主義(嚴(yán)密的公理化)；計算機時代的問題解決(純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的新交融)．
20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的發(fā)展從第三個高峰時期進入第四個高峰時期．?dāng)?shù)學(xué)滲入自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，解決各種現(xiàn)實的問題再次成為數(shù)學(xué)時尚．?dāng)?shù)學(xué)仍然是整體，許多實際問題的背后往往是一種純粹數(shù)學(xué)的架構(gòu)．然而，一味追求數(shù)學(xué)的“純粹’、“以不求實用”為榮的時代畢竟過去了．布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀曾經(jīng)風(fēng)靡一時，但在1970年代走向下坡路，人們漸漸地走出了抽象的“布爾巴基光環(huán)”．在即將出版的《數(shù)學(xué)無國界一國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟歷史》一書中這樣說：
在20世紀(jì)的上半葉，越來越多的人認(rèn)為應(yīng)該為數(shù)學(xué)本身研究數(shù)學(xué)，而不必考慮它的來源或應(yīng)用。這為抽象化的傾向提供了根據(jù)．第二次世界大戰(zhàn)重新燃起對應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣。在20世紀(jì)的下半葉，工業(yè)化社會中高級技術(shù)的迅速增長，開始引起對應(yīng)用數(shù)學(xué)更多的需求，并產(chǎn)生了一系列新的和有趣的問題．計算機的激增極大地推動了這些發(fā)展．
這樣的數(shù)學(xué)發(fā)展背景，自然會影響數(shù)學(xué)教育觀，包括對數(shù)學(xué)能力的認(rèn)識．我國的數(shù)學(xué)教育觀念，受1950年代的蘇聯(lián)學(xué)派的影響很深．那時的數(shù)學(xué)觀多半屬于第三高峰時期，對第四個數(shù)學(xué)高峰缺乏思想準(zhǔn)備．
克魯茨斯基的權(quán)威著作《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》，確定數(shù)學(xué)能力的組成部分是：(1) 把數(shù)學(xué)材料形式化；（2）概括數(shù)學(xué)材料發(fā)現(xiàn)共同點；(3)運用數(shù)學(xué)符號進行運算；(4)連貫而有節(jié)奏的邏輯推理；(5)縮短推理結(jié)構(gòu)進行簡 潔推理；(6)逆向思維能力；(7)思維的靈活性；(8)數(shù)字記憶；(9)空間概念．這9種能力，總起來就是“形式化’的抽象、記憶、推理能力。它忽視數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，顯然停留在形式主義的階段．
關(guān)于數(shù)學(xué)能力，我國長期流行的提法是“三大能力”：數(shù)學(xué)運算能力，空間想象能力和邏輯思維能力。這一提法有很強的概括力。但是，它同樣忽視應(yīng)用，突出邏輯的地位，甚至認(rèn)為“數(shù)學(xué)能力的核心是邏輯思維能力”．
到了1991年，高等教育出版社出版的《數(shù)學(xué)教育概論》提出了6種數(shù)學(xué)能力：(1)感知數(shù)學(xué)材料形式化；(2)對數(shù)學(xué)對象、空間關(guān)系的抽象概括能力；(3)運用數(shù)學(xué)符號進行推理的能力；(4)運用數(shù)學(xué)符號進行數(shù)學(xué)運算的能力；(5)思維轉(zhuǎn)換能力；(6)記憶特定的數(shù)學(xué)符號、原理方法、抽象結(jié)構(gòu)的能力。顯然，這6種能力脫胎于克魯茨斯基的說法，沒有本質(zhì)的改變．這兩本書，相距30年，恰恰經(jīng)歷了以計算機技術(shù)為代表的信息革命年代，遺憾的是沒有反映時代的進步．
二、l990年代以來的變化
1990年代，中國教育發(fā)生了深刻的變化。它是漸進的，人們往往不甚覺察．但是回頭一望，已經(jīng)有了巨大的改變．國家整體上提倡“素質(zhì)教育”和“創(chuàng)新教育”，中國數(shù)學(xué)界強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性，社會進步把數(shù)學(xué)教學(xué)帶入了計算機時代．?dāng)?shù)學(xué)教育界看到了“應(yīng)用意識的失落”，提出了“淡化形式、注重實質(zhì)”的口號，注意把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生。數(shù)學(xué)應(yīng)用題終于重新進人高考，而且大量的數(shù)學(xué)新題型出現(xiàn)了．于是，數(shù)學(xué)能力的提法也逐步有了變化．
國家頒布的1992年數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，繼續(xù)提出三大能力，但是加上了“用所學(xué)知識解決簡單的實際問題”．注意到“實際問題’，但限于“簡單的”．
1996年的大綱，將“邏輯思維能力”改成“思維能力”，理由是數(shù)學(xué)思維不僅是邏輯思維；在三大能力之外提出了“逐步培養(yǎng)分析和解決實際問題的能力”．這進一步注意到解決實際問題的能力，可惜還是“逐步培養(yǎng)”?！ ?br>
1997年以后，創(chuàng)新教育的口號極大地促進了數(shù)學(xué)能力的研究。大學(xué)里紛紛開設(shè)“數(shù)學(xué)建?！薄ⅰ皵?shù)學(xué)實驗’等課程。數(shù)學(xué)建模競賽、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識競賽也應(yīng)運而生。特別地，高考、中考的數(shù)學(xué)新題型層出不窮。應(yīng)用題、開放題、情景題、探索題大量涌現(xiàn)．這一切，都在數(shù)學(xué)能力上提出了新的要求．
1980年代，徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》中，就提出了“建立數(shù)學(xué)模型”的方法，但是在中學(xué)界反應(yīng)平平．大量的數(shù)學(xué)方法論著作集中在波利亞的純粹數(shù)學(xué)題的求解．一切都?xì)w結(jié)為用“化歸”方法解數(shù)學(xué)題．這種情況到了1990年代后期開始改變．戴再平先生提倡的“開放題數(shù)學(xué)教學(xué)”一時風(fēng)靡大江南北．研究性學(xué)習(xí)象一把火，照亮了數(shù)學(xué)教學(xué)前進的新路．
進入21世紀(jì)之后，國內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)能力的提法又有新的變化 ?！ ?br>
2000年，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會發(fā)布《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，其中提到6項能力：(1)數(shù)的運算能力；(2)問題解決的能力；(3)邏輯推理能力；(4)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力；(5)數(shù)學(xué)交流能力；(6)數(shù)學(xué)表示能力．后面的三條我們很少提到。 仔細(xì)想來，還是很有道理的。
奚定華等在最近出版的《高中數(shù)學(xué)能力型問題研究》中，強調(diào)在高考中要著重考察“一般數(shù)學(xué)能力”，其中包括以下4項：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識的能力；探究數(shù)學(xué)問題的能力；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力；以及數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。這些能力已經(jīng)實際地反映在上海的高考命題之中．上?！澳芰α⒁狻钡目荚嚸}方針，使得單純依靠“大運動量訓(xùn)練的教學(xué)方法占不到便宜．以上4種能力，把“數(shù)學(xué)”兩字換成“語文”“物理”也同樣適用．因此稱之為“一般數(shù)學(xué)能力”，和傳統(tǒng)的“三大能力”不屬于同一范疇．
2002年將頒布的全日制高中《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，對高中學(xué)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力有了更細(xì)致的描述．除了提到一般數(shù)學(xué)能力之外，更明確地界定了唯有數(shù)學(xué)學(xué)科才有的“數(shù)學(xué)思維能力”．它包括：空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等諸多方面。這一提法涵蓋了三大能力，但更全面、更具體、更明確。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維從直觀想象和猜想開始，通過抽象表示和運算，用證明演繹方法加以論證，乃至構(gòu)成學(xué)科體系的全過程。
三、常規(guī)數(shù)學(xué)思維能力的界定
新頒布的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對常規(guī)的數(shù)學(xué)思維 能力作了界定，本文擬沿著這一思路作更具體的闡述，提出了以下10個方面．
（1)數(shù)形感覺與判斷能力．一個問題擺在面前，首先要判斷它是不是數(shù)學(xué)問題?是哪一 類數(shù)學(xué)問題?要能察覺其中的數(shù)學(xué)因素，例如方程求解、函數(shù)變化(微積分)、隨機現(xiàn)象、幾何描述、優(yōu)化決策、計算算法等等．這是要能夠?qū)?shù)學(xué)的本質(zhì)有所理解，從宏觀上能夠進行大體的判斷．
(2)數(shù)據(jù)收集與分析．?dāng)?shù)字化時代，數(shù)據(jù)無處不在．能夠收集數(shù)據(jù)、關(guān)注數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、駕馭數(shù)據(jù)，用各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)理統(tǒng)計方法指導(dǎo)自己的行動決策．
(3)幾何直觀和空間想象．能夠感受物質(zhì)存在的位置關(guān)系，構(gòu)作幾何圖形，正確地加以描繪，并能體會其中的本質(zhì)．
(4)數(shù)學(xué)表示與數(shù)學(xué)建模．會使用數(shù)學(xué)原理、符號、公式抽象地表示客觀事物的發(fā)展規(guī)律，能夠?qū)⒕唧w的數(shù)量關(guān)系抽象為可以運算的數(shù)學(xué)模型．
(5)數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)變換．會按照運算規(guī)則熟練而準(zhǔn)確地對數(shù)字和符號進行運算．理解等價關(guān)系，全等、相似、不等、恒等、恒不等，同構(gòu)。掌握幾何變換以及變換中的不變量．
(6)歸納猜想與合情推理．善于運用類比、聯(lián)想、歸納等一般科學(xué)方法，觀察數(shù)量關(guān)系，作出猜想。
(7)邏輯思考與演繹證明?！ ∵壿嫹诸?、排序、關(guān)系、流程．?dāng)?shù)學(xué)證明和科學(xué)證實的區(qū)別。演繹證明的價值.
(8)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與數(shù)學(xué)洞察．返璞歸真，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉為數(shù)學(xué)思想方法．欣賞數(shù)學(xué)的魅力．
(9)數(shù)學(xué)計算和算法設(shè)計．對數(shù)字與符號依一定算法進行運算的能力，對大量數(shù)據(jù)進行處理的能力，是公民生活的實際需要．
(10)理性思維與構(gòu)建體系.掌握數(shù)學(xué)的理性思維特征，不迷信權(quán)威，不感情用事，不含糊馬虎。在日常生活中能夠數(shù)學(xué)地思考問題，并和別人進行數(shù)學(xué)交流。最終形成比較完整的數(shù)學(xué)思想體系?！ ?br>
四、數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的界定及其培養(yǎng)模式
數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，屬于一般的數(shù)學(xué)能力。那么數(shù)學(xué)創(chuàng)新有什么特點?還應(yīng)該有更進一步的闡述．具體說來也可分為以下10點 ?！ ?br>
(1)提出數(shù)學(xué)問題和質(zhì)疑能力。具有能疑、善思、敢想的品質(zhì)．
(2)建立新的數(shù)學(xué)模型并用于實踐的能力．
(3)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。包括提出定義，定理，公式．
(4)推廣現(xiàn)有數(shù)學(xué)結(jié)論的能力．放松條件或加強結(jié)論．
(5)構(gòu)作新數(shù)學(xué)對象(概念、理論、關(guān)系)的能力．
(6)將不同領(lǐng)域的知識進行數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的能力?！ ?br>
(7)總結(jié)已有數(shù)學(xué)成果達到新認(rèn)識水平的能力。
(8)巧妙地進行邏輯聯(lián)接作出嚴(yán)密論證的能力．
(9)善于運用計算機技術(shù)展現(xiàn)信息時代的數(shù)學(xué)風(fēng)貌。
(10)知道什么是“好’的數(shù)學(xué)，什么是“不大好”的數(shù)學(xué)。
培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力需要有新的數(shù)學(xué)教學(xué)模式．我們的常規(guī)教學(xué)模式：復(fù)習(xí)—導(dǎo)入—講授—鞏固—作業(yè)，是為“傳授知識”而設(shè)計的。它符合傳授知識的客觀規(guī)律，有重要的價值．但是它的形式是封閉的?！ ∥覀兊娜蝿?wù)是從封閉到開放，給學(xué)生以主動思考的空間。比如我們提 倡新的數(shù)學(xué)教學(xué)5環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧——創(chuàng)設(shè)情景——師生互動——鞏固反思——作業(yè)質(zhì)疑，也許更適宜于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。除了上述的常規(guī)模式之外，我們應(yīng)當(dāng)嘗試一些特殊的數(shù)學(xué)教學(xué)模式例如：(1)開放題教學(xué)模式；(2)探究式教學(xué)模式(研究性課題)；(3)活動式教學(xué)模式．(4)數(shù)學(xué)作文．(5)長作業(yè)教學(xué)等等．
