數學教學心理學（張興華）
上個世紀60-70年代，國際心理學領域發(fā)生了兩件大事：1.出現了認知心理學的革命，心理學研究開始由對動物行為的研究轉向對人的高級認知的研究，認知心理學替代了行為心理學，成為主導。2.教育心理學中出現了專門研究學科課堂教學的學科教學心理學。
小學數學教學心理學是一門實踐性、應用性很強的微觀理論學科。它主要研究兒童數學學習的心理特點和認知規(guī)律。研究如何根據兒童的心理特點和認知規(guī)律進行有效的數學教學，研究如何有效地激發(fā)兒童學習數學的積極性。一句話，它是研究數學教學過程中學與教的心理活動規(guī)律。
我們不妨留意一下，近年來省級和省級以上教育報刊發(fā)表的數學教學論文中已經很少有“數學教學心理學”的核心詞。即使有，也是很成問題的。最近常見到“表象”這個詞，但多作表面現象講，如“從表象看，……”列舉了一些表面現象后說“……這此都是表象，透過表象，其實質是……”天哪！表象是感知過的事物留在腦中的形象……，怎么能望文生義說成是表面現象呢？再一個就是“變式”。變式只是心理學理論滄海之一粟，不知什么時候引得大家的熱捧和關注，談得不少。有上升為“變式理論”的，有總結為“變式教學模式”的，也還有解釋為變化了的式子的，像45÷9＝45×3÷（9×3)之類，只要式子變化了就是變式！學科教學心理學這塊剛被開墾的處女地，現在又是雜草叢生，滿目荒蕪了。但是，耐人尋味的是，每每經典的、引人注目的教學設計，在其背后都能找到數學教學心理學的內核。我們不妨來看看張齊華老師“認識分數”的一個片段：
一開始，通過分蛋糕和簡短的討論，讓學生知道：把一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的l/2。接著，張老師給每位學生準備了同樣的長方形紙，讓學生“動手折一折”，并“涂出它的l/2”。學生折啊，涂啊。交流的時候，有的學生橫著對折，涂出了其中的1/2：
有的學生豎著對折，涂出它的l/2：
有的斜著平均折成兩份，涂出了它的l/2：
張老師指著這些不同形狀的陰影部分問學生：“這些陰影部分形狀不同，為什么都是這張紙的1/2？"學生一一回答：“我把這張紙橫著對折，就是把它平均分成兩份，其中這一份當然是它的l/2。”“我把這張紙豎著對折，就是把它平均分成兩份，每一份是它的1／2。”“我雖然是斜著折的，但是是把這張紙平均折成了兩份，這一份雖然形狀不同，但也是這張紙的1/2。”張老師說，不管把紙怎樣折，也不管折成的每一份是什么形狀，只要是把這張紙平均分成兩份，每一份就是它的1/2。后來，認識1/4時，張老師給學生準備了各種不同形狀的紙，要求學生折一折，并涂出其中的l/4，學生折啊，涂啊，出現了這些情況：
張老師又問學生：這里圖形的形狀也不相同了，陰影部分形狀和大小也都不同，為仆么都是原來這個圖形的1/4。學生一一回答，都是說我把這張紙平均分成了4份，每一份是這張紙的l／4。最后老師總結道：不管是什么形狀的紙，也不管涂色部分是什么形狀，只要把它平均分成4份，每份就是這張紙的l/4。這樣，學生對1/2、l/4分數的認識達到了概括化程度很高的理解。為什么呢，就是因為運用了心理學變式原理！
然而，當我私下里與老師們溝通時，卻發(fā)現大家對這一片段的認識多著眼于當下時髦的學習方式的改善上。有的說這是讓學生動手實踐得好，折出那么多的1/2、l/4；有的說這是讓學生自主探索得好，這是算法多樣化，折法多樣化，涂法多樣化；有的說這是合作交流得充分。有老師甚至不理解張老師兩次運用變式的奧妙，覺得兩次操作后兩次發(fā)問幾乎一樣，是不是有重復和雷同感……他們不知道，張老在這里兩次運用了變式原理，而兩次的著眼點不同，第一次用同一張紙、第二次用不同的紙，樣本更多了，學生能夠從更廣泛的事物中去抽取事物的更本質的特征。
青年教師的理論比較缺乏。趣話幾個話題：
一．變式
瑞士心理學家皮亞杰的思維發(fā)展階段論把7-11歲的孩子都歸為具體運算階段。他指出具體運算階段的兒童還缺乏抽象思維。他們的思維還帶著很大的具體形象性，但是他們能夠帶著具體形象思維的支撐進行抽象思維。感性材料
抽象的概念需要熟悉廣泛、眾多的事物才得以形成。
變式就是變換事物的非本質特征，從不同角度組織感性材料，在各種表現形式中突出事物的本質特征。從而使學生對概念的理解達到越來越高的概括化程度。
張老師是深諳此理的，為了使學生能深刻認識l/2、1/4,變換非本質屬性，讓學生用不同方法折出、涂出各種形狀的1/2、1／4，從而突出不管用什么紙折，不管怎樣折，只要把紙平均分成2份，每份就是它的l/2，只要把紙平均分成4份，每份就是它的1／4。理論的光芒是普照的。你真正掌握了變式原理，就可以普遍地運用于概念教學中。比如學習垂直既念， 教師開始往往出現標準的垂直圖形。
在概念教學中，說到變式，常常還要說到“反例”?，F在的教育心理學已把反例整合到變式中去了，請允許我在這里仍然沿用反例的說法。什么是反例呢？反例就是故意變換事物的本質特征、使之質變?yōu)榕c之形似的他事物，在比較與思辯中反襯和突出事物的本質特征，從而更準確地認識概念，在教學中，反例常常和變式一并提供。
例如讓學生辨析：下面的圖形，哪些是角，哪些不是角？
例子：1找反比例；2.認識正比例的意義；3.畫圓的直徑，認識直徑。這里老師故意以各種非直徑的畫法引起學生一次次的反向思辨，使得原本模糊的、未及言明的直徑概念被反向摩擦得分外鮮亮，但隨著學生一次次被非直徑狀態(tài)的能動否定，直徑的特征意義十分清晰、有意義地被學生理解掌握。
二．表象
學習面積單位（平方分米）后，學生還不能清晰地表示出15平方分米的大小。
張老師是這樣教的：學生學過平方厘米，知道邊長是1厘米的正方形，面積是l平方厘米，而且已經形成了平方厘米的空間表象，之后我讓學生用平方厘米度量相關圖形的面積、郵票的面積，然后不露聲色地讓學生度量課始出現的鏡框玻璃或凳面的面積，有的學生有點猶豫，有的學生還真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都覺得這樣量很麻煩時，我問大家有什么想法，學生說：最好有一個大一點的面積單位來度量，我趁勢讓學生創(chuàng)造一個大一點的面積單位。有學生創(chuàng)造出了平方分米，我就說：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？學生猜想（實際上是類比推理）：邊長1分米的正方形，面積是l平方分米。我隨即出示一個平方分米的模型，橘紅色的（這里還有感知原理），指著比劃著說：“哎！邊長1分米的正方形，面積是1平方分米，現在我們來仔細觀察平方分米這個面積單位。這里，平方分米是什么形狀的？(生答：正方形，）它有多大？（生答：邊長1分米的正方形這么大！）看清了嗎？（生答：看清了）看清了，就請大家把眼晴閉起來，在腦子里面想：剛才看到的平方分米是什么形狀的？有多大？"（全體學生閉眼回想。）一會兒，我說：大家在腦子里留下了平方分米了嗎？（學生仍閉著眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睜開?，F在請把信封里的平面圖形拿出來（每個人的信升里預先都裝著三四個正方形，邊長1.2分米的、邊長1分米的、邊長0.8分米的……）我說：誰能很快地把平方分米挑出來。很多學生都很快地把平方分米挑了出來，相互交流。也有少數學生挑錯了，我再引導糾正。
這個教學案例中實際上有五、六個心理學原理：如何激發(fā)學習動機，如何引起聯(lián)想，如何激發(fā)再造想象，如何組織首次感知，如何建立表象。但是，課上下來，老師們卻較多地關閉眼回想的環(huán)節(jié)，都覺得讓學生“先觀察，再閉眼晴回想，又在一堆圖形中挑出”特別好，說是把平方分米的意義教活了。至上平方分米的顏色為何是顯眼的橘紅色，為何要閉眼，為何要挑選圖形，則不知底里！有的老師在后來自已的教學中竟也樂于讓學生閉眼。有一次在隨意聽課時，我就看到這種情況，老師教的是應用題。通過例題教學，得出了一個數量關系式：總數量÷相對應的份數＝平均數，課講得很好！但是接著就見老師講：清大家把這個數量關系式仔細觀察下，然后把眼睛閉起來，在腦子里想一想，剛才我們觀察的數量關系式是怎樣的，在腦子里留下來了嗎？學生答：留下了。老師說：留下了就把眼睛睜開。天哪！我讓學生閉眼回想是為了讓學生把感知過的平方分米的樣子留在腦子里，形成表象。兒童認知概念是循著“形象一表象一抽象”的過程進行的。數量關系式已是抽象規(guī)則，怎能再拽回到形象、表象的階段，讓學生閉眼回想呢？
那什么是表象呢？表象是客觀事物經過主體感知以后在頭腦中所留下的形象。表象具有直觀形象性和抽象概括性雙重特點。直觀形象性是指大腦中剛剛我們感知過的那些事物，這些事件的形象、過程、情境就像歷歷在目那樣清晰、逼真。抽象概括性是指表象綜合了多次感知的結果，概括了多次感知的內容。表象源于感知，卻高于感知，成為人們認識事物由感知向抽象思維過渡的中介環(huán)節(jié)。
關于表象的三個問題：
1、要幫助學生建立和獲得表象。
對于抽象的數學知識，生動的直觀形象畢竟只能為兒童提供理解的起點，表象的建立才能更有利于他們很快的擺脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過渡。有經驗的老師在學生感知了具體事物或模型以后，常常隱去實物或模型（有時讓學生閉起雙眼），在腦中回想剛感知過的事物或經歷過的情境，已建立準確、鮮明的表象，而且以此為中介，進行抽象思維。“形象—表象—抽象”表象的作用是中介作用。
對靜止事物感知后在頭腦中留下的形象是靜態(tài)表象。經演示、操作、活動等在頭腦中留下的形象、情境是動態(tài)表象，這種動態(tài)表象除了跟靜態(tài)表象一樣在認知過程中發(fā)揮中介作用外，它所反映的情境、過程更能引起人們對知識經驗的前因后果和來龍去脈的深入思考，有利于人們在進一步展開的抽象思維中更好地把握過程和結論的關系。
在數學教學中，教師應精心組織直觀演示與操作活動，展示清晰的過程和程序，并通過回顯、復述、提問等辦法，幫助學生把相關情境、過程留在腦中，形成動態(tài)表象。這不僅對于學習抽象的概念、性質、規(guī)律與方法極其有利，而且能使學生在“知其所以然”上獲得深刻的理解和牢固的記憶。值得指出的是，這種動態(tài)表象的獲得在日后的問題情境中?？赏ㄟ^原型啟發(fā)而爆發(fā)出奇異的解題設想來。如教學圓柱的體積計算公式時，某教師引導學生動手操作，把圓柱切割、拼補成近似的長方體，推導圓柱體體積計算公式。有些學生在桌子上把變形后的近似長方體一會兒豎放、一會兒橫放，在橫放時觀察到其底面為圓柱體側面的一半，其高為圓柱體的底面半徑……獲得了這一情境表象后，在解答“一個圓柱體的側面積為314平方厘米，底面半徑為5厘米，求這個圓柱體的體積”時，這些學生不僅能按一般方法3.14×52×[3.14÷(5×2×3.14)]解答，而且能憑借動態(tài)表象復現的操作過程；給出3.14÷2×5的巧妙解法。
2、喚起和提取表象，實現問題的有效解決
學生在學習和生活中，通過觀察與活動，獲得并儲備了各種表象。在解決問題時，卻往往因為有關的表象不能及時浮現而茫然不知所措。教師要善于引導學生根據表述問題的文字或語言，喚起學生頭腦中相應的表象，必要時還可以外化具體的形象或情境以幫助學生解決問題。
如：一年級學生在解答“小朋友排隊，從前數起或從后數起，小明都排在第6位，這隊小朋友共有多少人”時，常常感到困難。教師就可引導學生先將“從前數起或從后數起，小明都排在第6位“變成”從前數起，小明排在第6位；從后數起，小明也排在第6位”。然后，問學生：“從前面數起，小明排在第6位是什么意思?如果用★代表小明，用O代表排在小明前面的小朋友，你們能畫出排隊的情況嗎?”學生畫出示意圖后，教師繼續(xù)引導學生用●代表排在小明后面小朋友畫出整隊學生排隊的情況：○○○○○○★●●●●●。通過畫圖，幫助學生有效地提取了生活表象，進而列出正確的解答式：5+1+5=11(人)。
又比如：解答”一個長32厘米、寬20厘米、高30厘米的金魚缸，前面與左邊的兩塊玻璃破了，需要配兩塊多大的玻璃”時，部分學生因為對長方體的各個面以及這些面的長、寬與長方體棱的對應關系的表象不清晰，出覡思維障礙。教師可讓學生想象：金魚缸前面的那塊玻璃在長方體的什么部位? 它的長就是長方體的什么?寬呢?金魚缸左邊的那塊玻璃……這樣的引導能幫學生喚起長方體的表象，促進學生順利地解答問題。所以說有些問題學生不能從字面上把握其中的數量關系或空間位置關系，教師可讓學生回想有關形象或情境，必要時還可以出示模型或圖畫，喚起學生頭腦中既有的表象，并引導學生借助表象解決問題。
3、豐富和積累表象。
三．數學是用數量關系與空間形式來反映客觀世界的，具備豐富的表象是學生學好數學的重要前提。心理學家曾對一批弱智兒童就表象問題進行過專門的測查，發(fā)現他們大腦中有大片“空白”，一般兒童腦中所具有的表象在他們的腦子里面很少反映，因而嚴重影響了他們的抽象思維和直覺思維。他們中的大多數人感知遲鈍，腦中儲備的表象數量少。與此相反，一些思維品質好的學生大腦中存儲了豐富的表象。學習新知時，他們能說出、畫出許多與新知相關聯(lián)的不在眼前的事物、情境。這些學生大多感知、敏銳、留意觀察身邊的事物，對什么事物都喜歡看一看、聽一聽、摸一摸。所以從孩子幼年開始，我們的教師和家長要盡可能讓學生接觸周圍的事物，以積累各種各樣的表象；要盡可能讓學生接觸生活中的數學活動，如讓學生利用實物數數，接觸與擺弄各種幾何形體的物品、玩具，經歷購物、付錢、分物等活動……當積累了越來越多的數學表象以后，學生就能在學習中得心應手，提高學習效率。
三、遷移
遷移是一種學習對另一種學習的影響。就小學數學的學習而言，遷移主要指先前學習的知識、技能對后來學習新的知識、技能所施加的影響。如果已有的知識技能對新學習的知識技能起著促進作用與積極的影響，稱為正遷移（或簡稱“遷移”）；如果已有的知識技能對新學習的知識產生干擾，起消極的影響，稱為負遷移（或稱“干擾”）。由于數學知識都是內在聯(lián)系著的，所以，遷移現象普遍存在于學生的學習活動中。從教學任務看，我們所期望并努力實現的當然是促進性的正遷移（并注意避免干擾性負遷移）。把握遷移原理的教師十分注意利用學生先前獲得的認知結構對后繼學習施以積極影響，順應或同化為新的認知結構，并使原有認知結構得以擴展和壯大。
比如學習異分母分數加減法時，教師先讓學生計算：456+36，3.45+33.8,3/8+ 5/8，然后逐題討淪：(1)在豎式中整數加減法為什么要數位對齊？（突出：計數單位相同才能相加）（2）在豎式中計算小數加減法為什么要把小數點對齊？（突出：小數點對齊數位就對齊，計數單位相同才能加。）(3)同分母分數加減法為什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分數單位相同，分子可以直接相加。）此時，學生已然明白，所有的加減法計算，只有在計數單位相同時才能直接相加。接著，出示異分母分數加法1/2+1/3 ，問學生：分子能直接相加嗎？生答：不能。師問：為什么呢？生答：分母不同，分子不能直接相加，還有學生說：分母不同就是計數單位不同，一個1/2和一個1/3是2個什么呢？所以不能直接相加。師問：那怎么辦呢？學生經過討論，終于想到了通分的辦法，分數的計算單位相同的分數了再相加，老師結合書上的圖作了適當的補充，學生學會了正確計算，這就是教師應用了遷移的理論進行了教學。
再比如說，教學“平行四邊形的面積”，為了誘導學生學習割補方法，教師先出示了下面以方格紙為背景的圖形：
現代認知論關于遷移的研究表明，學習的正遷移量越大，說明學生原有認知結構適應新的學習情境或解決新的問題的能力越強。所謂正遷移量，就是認識主體原有的認知結構，就是學生已有觀念的全部內容及其組織。學生原有的認知結構是學習遷移的最關鍵因素。研究表明，直接影響學生遷移過程的主要有三個認知結構變量(所謂認知結構變量，就是學習者應用它的原有觀念遷移新知識時，原有認知結構在內容和組織方面的特征)：一是可利用性。就是在新的學習任務面前學生原有認知結構中是否有適當的起固定作用的觀念可以利用？二是可辨別性。就是在新的學習任務面前，新的有潛在意義的學習任務與同化它的原有的概念系統(tǒng)的可辨別的程度如何？也就是說，學習者原有知識與要學習的新知識之間的異同是否分辨清楚；三是穩(wěn)定性。就是在新的學習任務面前，原有的起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性如何？原有觀念越概括、越穩(wěn)固，越有助于遷移。
知道了這一點，組織學生學習時就要注意：在學生原有認知結構中尋找和確定可以固定新知的相關舊知，為新的學習提供最佳關系和固定點。例如，除數是小數的除法計算，應該有除數是整數的除法為基礎，還要有除法的商不變規(guī)律、小數點位置移動引起小數大小變化等知識參與作用；異分母分數加減法的計算，應該有同分母分數加減法，特別是“計數單位相同，才能相加減”這一包攝性、概括性很強的觀念為基礎；學生掌握了三角形面積計算的推導方法，再學習梯形面積，可利用拼合圖形推導這－共同染道，誘導學生自行遷移到梯形面積的推導中來。
所以只有當相關舊知的確定和充分利用才能促進新知和舊知的相互作用，構成聯(lián)系新舊知識的橋梁，實現知識的正確應用。
所學的新知識由于符合原有的認知結構，從而順利地為原有認知結構所接納，即為知識同化。有些知識一時無法被個體原有認知結構所直接接受，必須進行調整、重組乃至改造，重建新的認知結構，這便是順應。
數學教學心理學對于數學教學實踐來說，雖然是永恒的理論支柱之，但不等于數學教學心理學的理論建設可以停滯不前。歌德有句名言，理論是灰色的，唯生活之樹常青。廣大教師鮮活的教學實踐完全可以走在理論發(fā)展的前面，給理論建設提出新的命題，帶來新的理性思考，反哺理論的發(fā)展。課改實驗越往深處，類似這樣的新思考會越多。老師們，你們既是數學教學心理學的踐行者，相信也是數學教學心理學的發(fā)展者！
