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洪汪寶

(安徽省安慶市第一中學(xué) 246004)

摘 要：本文通過對(duì)一道高考模擬題的解法進(jìn)行探究，給出在進(jìn)行解三角形這一章一輪復(fù)習(xí)時(shí)的三條建議.

關(guān)鍵詞：解三角形；正弦定理；余弦定理；一輪復(fù)習(xí)

題目 已知△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且2sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB.

(1)若a,b,c成等比數(shù)列，試判斷△ABC的形狀；

(2)若a=2,c=3，點(diǎn)D在邊AC上，且BD平分∠ABC，求BD的長(zhǎng).

本題是我校2020屆高三第三次模擬考試的理科第17題，主要考查三角恒等變換、特殊角的三角函數(shù)值、等比數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力要求較高，要求學(xué)生具備扎實(shí)的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

一、解法探究

1.第(1)小題的解法

由a,b,c成等比數(shù)列知b2=ac.

方法1 根據(jù)余弦定理知

整理得(a-c)2=0，所以a=c，因此△ABC是等邊三角形.

方法2 由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，b2=ac，因此△ABC是等邊三角形.

方法3 由正弦定理得

即展開得，即又A∈(0,π)，所以因此△ABC是等邊三角形.

方法4 由a,b,c成等比數(shù)列，設(shè)b=aq,c=aq2(q>0)，由余弦定理知

整理得(q2-1)2=0，解得q=1，所以a=b=c，因此△ABC是等邊三角形.

點(diǎn)評(píng) 解法1直接利用余弦定理并整理得到完全平方式；解法2利用重要不等式，巧用取等條件，將解三角形與重要不等式相結(jié)合，是我們常見的一個(gè)綜合點(diǎn)；解法3發(fā)現(xiàn)所給等式的兩邊均為二次，利用正弦定理，將邊化為角，再利用三角恒等變換，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高；解法4引入公比q，實(shí)際上是為了消元，將多元化為一元，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

2.第(2)小題的解法

方法1 在△ABC中，由余弦定理得AC=

因BD平分∠ABC，所以

解得

在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB×BD×sin∠ABD，代入數(shù)據(jù)，整理得

解得或

因AB>BC，所以∠ADB為鈍角，于是AD2+BD2<AB2，故舍去

因此

或在△CBD中，由余弦定理得CD2=CB2+BD2-2CB×BD×sin∠CBD，代入數(shù)據(jù)，整理得

解得或因此

方法2 同法1得

由余弦定理得所以在△ABD中，由正弦定理得解得

方法3 同法1得

因∠ADB+∠CDB=π，所以cos∠ADB+cos∠CDB=0，根據(jù)余弦定理得代入數(shù)據(jù)，解得

點(diǎn)評(píng) 解法1，2，3主要都是利用正弦定理和余弦定理，思路比較自然.根據(jù)已知條件，在△ABC中，已知兩邊及其夾角，該三角形是唯一確定的，所以其內(nèi)角平分線的長(zhǎng)也是唯一的.解法1中出現(xiàn)兩解，要注意取舍，而且整個(gè)計(jì)算過程比較繁瑣，不少學(xué)生應(yīng)用了該解法，但算出來的不多；解法2的后面利用了正弦定理，效果比較好；解法3挖掘出隱藏條件∠ADB+∠CDB=π，要注意這個(gè)模型的應(yīng)用.

方法4 同法1得

于是即兩邊同時(shí)平方得解得所以

方法5 由條件知S△ABC=S△ABD+S△CBD，即

所以解得

方法6 由已知得

過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥CB于點(diǎn)F，因BD平分∠ABC，所以DE=DF，于是解得在Rt△BDE中，∠ABD=30°，所以

二、復(fù)習(xí)建議

1.理清知識(shí)要點(diǎn)，正確選用定理

解三角形是每年高考的必考知識(shí)點(diǎn)，我們?cè)趶?fù)習(xí)過程中必須理清知識(shí)要點(diǎn)，弄清知識(shí)要點(diǎn)的來龍去脈.比如說正弦定理，我們知道它反映了同一三角形的邊角之間的等量關(guān)系，在一輪復(fù)習(xí)中可以設(shè)計(jì)如下的問題鏈：

(1)正弦定理的具體內(nèi)容是什么？(文字語言、圖形語言、符號(hào)語言等)

(2)如何證明正弦定理？常見證法有哪些？(作高、面積法、作外接圓、向量法等)

(3)正弦定理的常見變形有哪些？其作用是什么？(比如a=2RsinA(其中R是△ABC外接圓的半徑)可以將邊化為角，

可以將角化為邊，等等.注意變形的方向.)

(4)何時(shí)利用正弦定理來解三角形？(已知兩角與一邊，已知兩邊與其中一邊的對(duì)角)

(5)利用已知的兩邊與其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，要注意什么？

2.開展一題多解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

考試或作業(yè)時(shí)因時(shí)間有限，大部分學(xué)生解完題目就認(rèn)為萬事大吉了，沒時(shí)間進(jìn)一步思考，制約了學(xué)生的思維質(zhì)量與思維層次，不利于學(xué)生思維的培養(yǎng).于是要求老師在批閱試卷和作業(yè)時(shí)要注意搜集典型題目和解法，筆者在初次見到上面的題目時(shí)，感覺很平常的一道問題，但在批閱試卷時(shí)，驚喜連連，上面提供的解法基本上都是學(xué)生考試中運(yùn)用的方法，只不過有的解法學(xué)生用的比較多，有的用的比較少.

3.精心組織微專題，提升復(fù)習(xí)效率

在一輪復(fù)習(xí)過程中，大部分老師都喜歡直接利用一輪復(fù)習(xí)用書，按照書上的要求進(jìn)行講解，沒有自己的再加工，長(zhǎng)此以往，學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)必將失去興趣，影響復(fù)習(xí)效果.微專題教學(xué)是時(shí)下比較流行的教學(xué)方式，特別在復(fù)習(xí)課中應(yīng)用比較廣泛，微專題具有切口小、選題精、角度新、針對(duì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，這樣可有效抓住熱點(diǎn)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，從而備受廣大一線教師的青睞.所以要求老師精心挑選組織微專題，微專題的選擇要“微”在定點(diǎn)突破，“微”在精心預(yù)設(shè)，“微”在互動(dòng)生成.

參考文獻(xiàn)：

[1]洪汪寶.明確方向，分步求解[J].數(shù)理化解題研究，2020(8)：19-21.

作者簡(jiǎn)介：洪汪寶(1977.1-)，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.