正、余弦定理的五大命題熱點(diǎn)
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類(lèi)型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn)： 一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題． 例1(2005年全國(guó)高考江蘇卷) ?ABC中，A?
3
，BC＝3，則?ABC的周長(zhǎng)為（ ）
A．43sin?B?
3 B．43sin?B???3C．6sin?B???3 D．6sin?B???3 3?6?3?6????
分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長(zhǎng)為3＋b＋c而得到結(jié)果． 解：由正弦定理得：
3sin
3
bsinB
csinC
b?csinB?sinC
b?c
sinB?sin(
2?3?B)
，
得b＋c
＝B＋sin(
2?3
－B)]＝6sin(B?
)．故三角形的周長(zhǎng)為：3＋b＋c＝6sin?B???3，故選(D)． 66??
6
，周長(zhǎng)應(yīng)為3
評(píng)注：由于本題是選擇題也可取△ABC為直角三角形時(shí)，即B＝
3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而選(D)．
例2(2005年全國(guó)高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?
463
,cosB?
66
，AC邊上的中線BD=
5，求sinA的值．
分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且DE?
12
2
AB?
263
，設(shè)BE＝在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD
2
BE
2
ED?2BE?EDcosBED， 73
5?x?
2
83
2?
263
66
x，解得x?1，x??
故BC=2，從而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?
222
283
，即AC?
221
3
sinB?
306
，
故
2sinA
6
sinA?
二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．
例3(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．
解法2：由題意，得cosB＝
sinC2sinA
c2a
，再由余弦定理，得cosB＝
a?c?b
2ac
222
．
∴
a?c?b
2ac
222
＝
c2a
，即a＝b，得a＝b，故選(B)．
22
評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)． 三、 解決與面積有關(guān)問(wèn)題
主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題．
例4(2005年全國(guó)高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，
則?ABC的面積S＝?
分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝
2
2
2
12
AB·ACsinA即可解決．
2
解：由余弦定理，得cosA＝
AB?AC?BC
2AB?AC
1534
12
25?AC?4910?AC
12
12
，解得AC＝3．
∴ S＝
12
AB·ACsinA＝．∴ AB·AC·sinA＝AC·h，得h＝AB· sinA＝
322
，故選(A)．
四、求值問(wèn)題
例5(2005年全國(guó)高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c， 設(shè)a、b、c滿(mǎn)足條件b
2
c?bc?a和
22
cb
12
3，求?A和tanB的值．
分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理． 解：由余弦定理cosA?
b?c?a
2bc
222
12
，因此，?A?60?
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知條件，應(yīng)用正弦定理
12
3?
cb
sinCsinB
sin(120??B)
sinB
sin120?cosB?cos120?sinB
sinB
32
cotB?
12
,解得cotB?2,從而tanB?
12
.
五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用
利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下： （一.）測(cè)量問(wèn)題
例1 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。
分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。
解析：由正弦定理得∵S?ABC?
ACsin?CBA
ABsin?ACB12
，∴AC=AB=120m，又
A
圖1
12
D
B
AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。
點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題”。 （二.）遇險(xiǎn)問(wèn)題
例2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？
解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。
這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分
清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追擊問(wèn)題
例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理AC
2
北 西
圖2
東 °
AB?BC?2AB?BCcos?，
2
22
28t?
2
81??20t??2?9?20t?(?34
，t=
2
12
)，128t?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，
圖3
C
解得t=
932
（舍）
∴AC=28×
34
=21 n mile，BC=20×
34
=15 n mile。
根據(jù)正弦定理，得sin??
BCsin?AC
15??
，又∵α=120°，∴β為銳角，
β=arcsin＜＜，211414
14
14
2
∴
arcsin
14
＜
4
，
∴甲船沿南偏東
4
－
arcsin
14
的方向用
34
h可以追上乙船。
點(diǎn)評(píng)：航海問(wèn)題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，
所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。
五、交匯問(wèn)題
是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問(wèn)題等知識(shí)交匯． 例6 (2005年全國(guó)高考卷三試題)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB?
34
.
3
（Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）設(shè)BA?BC?，求a＋c的值.
2
分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等．
解：（Ⅰ）由cosB?
34
,得sinB?
327
()?,
44
由b2=ac及正弦定理得 sinB?sinAsinC. 則cotA?cotC?
2
1tanA
2
1tanCsinB
2
cosAsinA1
cosCsinC?
sinCcosA?cosCsinA
sinAsinC
sin(A?C)
sinBsinBsinB????????3332
（Ⅱ）由BA?BC?，得ca·cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．
224
由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB， 得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)易錯(cuò)題解析
例題1 在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a錯(cuò)解：∵a
2
2
a?c?2ac?5?4?9,
22
a?c?3
2
22
b?c，求A的取值范圍。
b?c，∴b?c?a
22222
0。則
cosA?
b?c?a
2bc
222
0，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)
且cos90°?0，∴A?90° 又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴0°＜A＜90°。
辨析：錯(cuò)因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是a為最大邊，而錯(cuò)解中只把a(bǔ)看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯(cuò)誤。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。
例題2 在△ABC中，若
ab
22
tanAtanB
，試判斷△ABC的形狀。
錯(cuò)解：由正弦定理，得
sinAsinB
2
2
tanAtanB
即
sinAsinB
2
2
sinAcosA
·
cosBsinB
，∵sinA?0，sinB?0
∴sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
辨析：由sin2A?sin2B，得2A＝2B。這是三角變換中常見(jiàn)的錯(cuò)誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。 正解：同上得sin2A?sin2B，∴2A＝2k??2B
或2A?2k????2B(k?Z)。
∵0?A??，0?b??，∴k?0，則A?B或A?故△ABC為等腰三角形或直角三角形。 例題3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC?
2
B。
3，求
a?b?csinA?sinB?sinC
的值。
錯(cuò)解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC?
∴
3，又S△ABC?
12
bcsinA，
3?
12
csin60°，解得c＝4。
b?c?2bccosA?
2
2
由余弦定理，得a?1?16?8cos60°?13
又由正弦定理，得sinC?
639
，sinB?
3239
。
∴
a?b?csinA?sinB?sinC
1?432?
3239
639
。
辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。 正解：由已知可得c?4，a?
。由正弦定理，得
2R?
asinA
sin60°
2393
。∴
a?b?csinA?sinB?sinC
2R?
2393
。
例題4 在△ABC中，c?6?2，C＝30°，求a＋b的最大值。
錯(cuò)解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
asinA
b
sin(150°?A)
6?2
sin30°
∴a?2(6?b?2(6?
2)sinA，
2)sin(150°?A)
又∵sinA?1，sin(150°?A)?1 ∴a?b?2(
6?2)?2(6?2)?4(6?2)。
故a?b的最大值為4(6?2)。
辨析：錯(cuò)因是未弄清A與150°－A之間的關(guān)系。這里A與150°－A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量，sinA與sin(150°－A)不能
同時(shí)取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。 正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
asinA6?
b
sin(150°?A)
6?2
sin30°
因此a?b?2(2)[sinA?sin(150°?A)]
∴長(zhǎng)為
a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。
辨析：三條線段構(gòu)成銳角三角形，要滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①三條邊滿(mǎn)足三角形邊長(zhǎng)關(guān)系；②最長(zhǎng)線段的對(duì)角是銳角。顯然錯(cuò)解只驗(yàn)證了第二個(gè)條
件，而缺少第一個(gè)條件。 正解：由錯(cuò)解可得cos??0
又∵
a??c?
(a?b?c)(a?b?
c
b?c)
a?
b，
0
即長(zhǎng)為a，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。
高考試題展示
1、（06湖北卷）若?ABC的內(nèi)角A滿(mǎn)足sin2A?
2353
，則sinA?cosA?
A.
3
．?
3
． D．?
53
解：由sin2A＝2sinAcosA?0，可知A這銳角，所以sinA＋cosA?0，
又(sinA?cosA)?1?sin2A?
2
53
，故選A
2、（06安徽卷）如果?A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于?A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則
A．?A1B1C1和?A2B2C2都是銳角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是鈍角三角形
C．?A1B1C1是鈍角三角形，?A2B2C2是銳角三角形 D．?A1B1C1是銳角三角形，?A2B2C2是鈍角三角形
A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，C解：則?AB111
sinA?cosA?sin(?A1)21?2?
是銳角三角形，若?A2B2C2是銳角三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，
2?
sinC?cosC?sin(?C1)21?2?
A??A1?2
2
B1，那么，A2?B2?C2?，所以?A2B2C2是鈍角三角形。故選D。 得?B2?22?
C??C1?2
2?
3、（06遼寧卷）?ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c設(shè)向量
,,若p?(a?c,b)q?(b?a,c?a)p//q,則角C的大小為
(A)
3632
1?222
【解析】p//q?(a?c)(c?a)?b(b?a)?b?a?c?ab，利用余弦定理可得2cosC?1，即cosC?，故?C?
23
選擇答案B。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩向量平行的坐標(biāo)形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時(shí)著重考查了同學(xué)們的運(yùn)算能力。 4、（06遼寧卷）已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是（ ）
(B)
(C)
(D)
2?
2
Ｂ．
8
Ｄ．
7
解：
依題意，結(jié)合圖形可得tan
A2
15
2tan
，故tanA?
A2
2?15
7
1?tan
A2
，選D
5、（06全國(guó)卷I）?ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c?2a，則cosB?
A．
14
B．
34
C
．
4
D
．
3
解：?ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，且c?2a，則b=2a，
cosB?
a?c?b
2ac
222
=
a?4a?2a
4a
2
222
34
，選B.
6、06山東卷）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,A=
3
,a=
3,b=1，則c=
(A) 1 （B）2 （C）解：由正弦定理得sinB＝
3—1 （D）3
12
，又a?b，所以A?B，故B＝30?，所以C＝90?，故c＝2，選B
2
7、（06四川卷）設(shè)a,b,c分別是?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，則a?b?b?c?是A?2B的 （A）充要條件 （B）充分而不必要條件 （C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件
解析：設(shè)a,b,c分別是?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a?b?b?c?，
2
則sin∴
2
A?sinB(sinB?sinC)，則
1?cos2a
2
1?cos2B
2
sinBsinC，
12
(cos2B?cos2A)?sinBsinC，sin(B?A)sin(A?B)?sinBsinC，
又sin(A?B)?sinC，∴ sin(A?B)?sinB，∴ A?B?B，A?2B， 若△ABC中，A?2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a?b?b?c?，
2
所以a?b?b?c?是A?2B的充要條件，選A.
2
8、（06北京卷）在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則?B的大小是___________. 解： sinA:sinB:sinC?5:7:8?a?b?c＝5?7?8設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，
由余弦定理可解得?B的大小為
3
.
9、（06湖北卷）在?ABC中，已知a?
334
，b＝4，A＝30°，則sinB
＝
2
.
解：由正弦定理易得結(jié)論sinB
＝
2
。
10、（06江蘇卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝ 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查解三角形的基本知識(shí) 【正確解答】由正弦定理得，
ACsin45
BCsin60
解得AC?【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運(yùn)用正弦定理，已知兩邊及其夾角運(yùn)用余弦定理
11、（06全國(guó)II）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為． 解析: 由?ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=?可得?B?
AD為邊BC上的中線可知BD=2,
由余弦定理定理可得AD?
3
本題主要考察等差中項(xiàng)和余弦定理,涉及三角形的內(nèi)角和定理,難度中等。 12、（06上海春）在△ABC中，已知BC?8,
則cos2C? . 解：由三角形面積公式，得
AC?5，三角形面積為12，
12
2
BC?CA?sinC?20sinC?12，即sinC?
725
從而應(yīng)填
35
．
于是cos2C?1?2sinC?
725
．
13、（06湖南卷）如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=?,∠ABC=?.
（1）證明 sin??cos2??0;
（2）若
AC=
求?的值.
解：(1)．如圖3，???
2
(??2?)?2??
,?sin??sin(2??)?3 ?cos2?，
22
即sin??cos2??0．
（2）．在?ABC中，由正弦定理得
DCsin?
ACsin(???)
,?
DCsin?
Csin?
.?sin???
由(1)得sin???cos2?，?sin??2???2sin?),
2
即??sin??
2
0.解得sin??
2
sin???
3
．
0???
2
,s?in?
2
,?
3
.
14、（06江西卷）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
已知sinA?
3
，
（1）求tan
2
B?C2
sin
2
A2
的值；
（2）若a?
2，S△ABC?
b的值．
解：（1）因?yàn)殇J角△ABC中，A＋B＋C＝?
，sinA?，所以cosA＝1，則
3
3
sin
2
B＋C
tan
2
B＋C2
A2A
2
＋sin
2
＝
＋sincos
2B＋C
22
＝
1－cos（B＋C）1＋cos（B＋C）＋121－cosA）＝1＋cosA17
1－cosA＋3＝
3
（2
）因?yàn)镾1?ABC又S?ABC＝
12
bcsinA＝
2
bc?
3
，則bc＝3。
將a＝2，cosA＝
12
2
2
42
3
，c＝
3b
代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中得b－6b＋9＝0
解得b
15、（06江西卷）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
A
M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G， 設(shè)?MGA＝?（?
3
2?3
）
（1）
試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為?的函
11B
C
（2）求y＝
S2
＋
2
的最大值與最小值
1
S2
解：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，
所以 AG
＝
23
2
3
，?MAG＝
6
，
由正弦定理
GM＝
GA
sin
6
sin（?－?－
得GM6
）
6sin（?＋
6
）
則S1sin?sin?
1＝
2
GM?GA?sin?＝
12sin（?＋
，同理可求得S2＝
6
）12sin（?－
6
）
數(shù)
（2）
y＝
1S1
2
＋
1S2
2
＝
144
2
sin?
sin（?＋
2
6
）＋sin（?－
2
6
＝72（3＋cot2?）， ）〕
因?yàn)?/p>
3
2?3
，所以當(dāng)?＝
3
或?＝
2?3
時(shí)，y取得最大值ymax＝240
當(dāng)?＝
2
時(shí)，y取得最小值ymin＝216
16、（06全國(guó)卷I）?ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA?2cos
πB+CAB+CA
.解: 由A+B+C=π, 得 = －, 所以有cos=sin .
22222
B?C2
取得最大值，并求出這個(gè)最大值。
B+CAAAA13
cosA+2cos =cosA+2sin=1－2sin2+ 2sin =－2(sin－ 2+
2222222
πA1B+C3
當(dāng)sin= , 即A= 時(shí), cosA+2cos取得最大值為22322
17、（06全國(guó)II）
在?ABC中，?B?45?,AC?（1）BC??
cosC?
5
,求
(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長(zhǎng)度。 解：（1
）由cosC?
5
sinC?
5
2
C?sinC)?
10
sinA?sin(180?45?C)?
由正弦定理知BC?
ACsinB
sinA?
102
（2
）AB?
ACsinB
sinC?
2
5
2，BD?
12
AB?1
由余弦定理知CD?
18、（06四川卷）已知A,B,C是三角形?ABC三內(nèi)角，
向量m??,n??cosA,sinA?，且m?n?1
（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若
1?sin2BcosB?sinB
2
2
3，求tanB
解：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。
（Ⅰ）∵m?n?1
∴???cosA,sinA??1
A?cosA?1
asinA
csinC
,?
BCsin45
ABsin75
4
BC?3?.
13
，C?150，BC?1，則AB?
21、（07北京文12理11）在△ABC中，若tanA?
解析：在△ABC中，若tanA?
13
，C?150，∴ A
為銳角，sinA?
1，BC?1，則根據(jù)正弦定理AB?
BC?
sinCsinA
2
。．
22、（07湖南理12）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a?1，b
c?
【答案】
B?． 5π6
【解析】由正弦定理得cosB?
1?3?7??
2
，所以B?
5π6
.
23、（07湖南文12） 在?ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，
若a?1,c?
C?
3
，則A= .
3
【解析】由正弦定理得
asinA
csinC
sinA?
asinCc
23
12
，所以A=
π6
24、（07重慶文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，則AC＝【答案】：
3
2
。
【分析】
：由余弦定理得：AC
1?2?2?1?2?cos60?3.?AC?
22?
24、（07北京文理13）2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)
是我國(guó)以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全 等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果 小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小 的銳角為?，那么cos2?的值等于
解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴ 每一個(gè)直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a, b，則
a2?b2?25
， ?1
ab?6??2
∴ 兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3，4， 設(shè)直角三角形中較小的銳角為?，cosθ=
45
，cos2θ=2cos2θ－1=
725
。
25、（07福建理17）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大??；
（Ⅱ）若△
ABC最大邊的邊長(zhǎng)為，求最小邊的邊長(zhǎng)．
本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識(shí)以及推理和運(yùn)算能力，滿(mǎn)分12分．
14
，tanB?
35
．
1
解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??
41?
14
35?35??1．
又?0?C?π，?C?（Ⅱ）?C?
34
π．
34
，?
AB邊最大，即AB?．
又?tanA?tanB，A，B??0?，?角A最小，BC邊為最小邊．
sinA1?
tanA??，??π?由?cosA4且A??0?，
2??sin2A?cos2A?1，
得sinA?
17
ABsinC
BCsinA
得：BC?ABsinA
sinC
所以，最小邊BC?
26、（07廣東理16）已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)． （1）若c?5，求sin∠A的值； （2）若∠A是鈍角，求c的取值范圍．
解析： （1）AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5， 則AC?(2,?4)，
253
∴cos?A?cos?AC,AB??2）若∠A為鈍角，則?
，∴sin∠A
5
；
253
,??)；
3c?9?16?0?c?0
解得c?，∴c的取值范圍是(
28、（07湖北理16）已知△ABC的面積為3，且滿(mǎn)足0?AB?AC?6，設(shè)AB和AC的夾角為?．
（I）求?的取值范圍；（II
）求函數(shù)f(?)?2sin?
2
4?
2?的最大值與最小值．
本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力． 解：（Ⅰ）設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
則由
1
ππ?
bcsin??3，0≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，∴??
4?． 22??
（Ⅱ）f(?)?2sin?
2
π
4?
π??
2???1?cos??2????
2??
2?
(1?
sin2?)?2??sin2??
π??
2??1?2sin?2????1．
3??
1≤3． ?
π?π2π?π??ππ?
∵????，2?????，∴2≤2sin?2??
3?63?3??42?
即當(dāng)??
5π12
時(shí)，f(?)max?3；當(dāng)??
π4
時(shí)，f(?)min?2．
29、（07全國(guó)卷1理17）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a?2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范圍．
解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?
由△ABC為銳角三角形得B?
12
，
π6
．
（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???
A??cosA?sin??A? ???6?
A??．
3??
cosA?
12
cosA?
2?2
A?
2
由△ABC為銳角三角形知，?A??B，
2
B?
2
6
3
．
2?3
A?
3
6
，所以
1
．
sin?A???
232??
由此有
2
A????
32??
，
所以，cosA?
sinC的取值范圍為?
3?22
． ???
，邊BC?．設(shè)內(nèi)角B?x，周長(zhǎng)為y．
30、（07全國(guó)卷2理17）在△ABC中，已知內(nèi)角A?（1）求函數(shù)y?f(x)的解析式和定義域； （2）求y的最大值．
解：（1）△ABC的內(nèi)角和A?B?C??，由A?
，B?0，C?0得0?B?
2??
．
應(yīng)用正弦定理，知AC?
BCsinA
sinB?
sin
x?4sinx，
AB?
2??
sinC?4sin??x?． sinA???
BC
因?yàn)閥?AB?BC?AC，
所以y?4sinx?4sin?
2?
2???x??0?x?
3?????， ?
1
（2
）因?yàn)閥?4?sinx?x?sinx?????2??
si?nx???
，即x?
5???
x???，
所以，當(dāng)x?
時(shí)，y
取得最大值
tanC?． 32、（07山東文17）在△ABC中，角A，B，
C的對(duì)邊分別為a，b，c，
（1）求cosC；
5
（2）若CB?CA?，且a?b?9，求c．
2?解：（1
）?tanC?
2
2
sinCcosC
解得cosC??
又?sinC?cosC?1
18
．
tanC?0，?C是銳角． ?cosC?
18
．
55
（2）?CB?CA?， ?abcosC?， ?ab?20．
22
又?a?b?9?a?2ab?b?81．
2
2
a?b?41．
22
222
c?a?b?2abcosC?36． ?c?6．
33、（07上海理17）在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．
若a?2,
C?
π4
，cos35
B2
255
，求△ABC的面積S．
解： 由題意，得cosB?
，B為銳角，sinB?
45
，
sinA?sin(π?B?C)?sin?
3π
72
B??，
10?4?
12
ac?sinB?
12?2?
107?45?87
由正弦定理得 c?
107
， ? S?．
34、（07天津文17）在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??（Ⅰ）求sinB的值；
45
．
（Ⅱ）求sin?2B?
的值． 6?
本小題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．滿(mǎn)分12分．
（Ⅰ）解：在△
ABC中，sinA??
3?，
5sinA?
23?35?25
．
由正弦定理，
BCsinA
ACsinB
．所以sinB?
ACBC
（Ⅱ）解：因?yàn)閏osA??
45
，所以角A為鈍角，從而角B為銳角，于是
cosB??
5
cos2B?2cosB?1?2?
2
525
1?
1725
，
sin2B?2sinBcosB?2??
5
15
．
17117?????
． ??
sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin
252252506?66?
35、（07浙江理18）已知△
ABC（I）求邊AB的長(zhǎng)； （II）若△ABC的面積為
1，且sinA?sinB?C．
16
sinC，求角C的度數(shù)．
解：（I
）由題意及正弦定理，得AB?BC?AC?
兩式相減，得AB?1．
（II）由△ABC的面積
1，BC?AC?，
12
BC?AC?sinC?
2
2
16
sinC，得BC?AC?
2
2
13
，
2
由余弦定理，得cosC?
AC?BC?AB
2AC?BC
(AC?BC)?2AC?BC?AB
2AC?BC
12
，
所以C?60．
36、（07天津文理15） 如圖，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是邊BC上一點(diǎn)，DC?2BD,則
AD?BC?__________. 【答案】?
83
B
AB?AC
2
2
D
2
2
C
BD
2
【分析】法一：由余弦定理得cosB?
可得BC
BC
2
2?AB?AC
AB?AD
2?AB?BD
,AD?
3
，
2
2
2
故BC=2，從而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?
283
，即AC?
221
3
sinB?
306
，故
2
2sinA
213306
，sinA?
70
二、判斷三角形的形狀 給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀． 例3(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．
解法2：由題意，得cosB＝
sinC2sinA
c2a
，再由余弦定理，得cosB＝
a?c?b
2ac
222
．
∴
a?c?b
2ac
222
＝
c2a
，即a＝b，得a＝b，故選(B)．
22
評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)． 三、 解決與面積有關(guān)問(wèn)題
主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題．
例4(2005年全國(guó)高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，則?ABC的面積S＝?
分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝
2
2
2
12
AB·ACsinA即可解決．
2
解：由余弦定理，得cosA＝
AB?AC?BC
2AB?AC
12
25?AC?4910?AC
12
12
，解得AC＝3．
∴ S＝
12
AB·ACsinA＝
1534
．∴ AB·AC·sinA＝AC·h，得h＝AB· sinA＝
322
，故選(A)．
四、求值問(wèn)題
例5(2005年全國(guó)高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿(mǎn)足條件
b?c?bc?a和
222
cb
12
3，求?A和tanB的值．
分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理． 解：由余弦定理cosA?
b?c?a
2bc
12?
3?
222
cb
12
，因此，?A?60? 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知條件，應(yīng)用正弦定理?
sinCsinB
sin(120??B)
sinB
sin120?cosB?cos120?sinB
sinB
32
cotB?
12
,解得cotB?2,從而tanB?
12
.
五、交匯問(wèn)題
是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問(wèn)題等知識(shí)交匯． 例6(2005年全國(guó)高考卷三試題)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB?
34
.
3 （Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）設(shè)BA?BC?，求a＋c的值.
2
分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等．
解：（Ⅰ）由cosB?
34
,得sinB?
1tanC?4
327
()?,由b2=ac及正弦定理得 sin2B?sinAsinC.
44
cosAsinA7.
cosCsinC
sinCcosA?cosCsinA
sinAsinC
sin(A?C)sinB
2
則cotA?cotC? ?
1tanA?
1
sinB
2
sinB7sinB
3332
（Ⅱ）由BA?BC?，得ca·cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．
224
由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用
利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下： 一、 測(cè)量問(wèn)題
例1 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。
分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。
解析：由正弦定理得
2
a?c?2ac?5?4?9,
22
a?c?3
ACsin?CBA
12
ABsin?ACB
，∴AC=AB=120m，又∵
A
圖1
S?ABC?
12
D
B
AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。
點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題”。 二、 遇險(xiǎn)問(wèn)題
例2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？
解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。
這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分
清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。
三、 追擊問(wèn)題
例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？
解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β。 ∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理AC
2
圖2
東 C
°
AB?BC?2AB?BCcos?，
22
28t?
2
81??20t??2?9?20t?(?34
，t=
2
12
)，128t?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，
34
=15 n mile。
2
解得t=
932
（舍）∴AC=28×
34
=21 n mile，BC=20×
圖3
根據(jù)正弦定理，
得sin??
BCsin?AC
15??
又∵α=120°，∴β為銳角，β
=arcsin，
＜＜，
21141414
14
214
34
∴
arcsin
14
＜
4
，∴甲船沿南偏東
4
－
的方向用h可以追上乙船。
點(diǎn)評(píng)：航海問(wèn)題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。
正弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，并且都等于外接圓的直徑．這一定理的引入，標(biāo)志著對(duì)三角形的又向前邁進(jìn)了一步，由過(guò)去的解直角三角形到可以解任意三角形．正弦定理在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，下面介紹幾例．
例1 某人在草地上散步，看到他西南有兩根相距6米的標(biāo)桿，當(dāng)他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標(biāo)桿在其南方向上，另一根標(biāo)桿在其南偏西30?方向上，求此人步行的速度．
解：如圖所示，A、B兩點(diǎn)的距離為6米，當(dāng)此人沿正北方向走到C點(diǎn)時(shí)，測(cè)得∠BCO =45?， ∠ACO =30?，∴∠BCA =∠BCO－∠ACO =45?－30?=15?．
由題意，知∠BAC =120?，∠ABC =45?． 在△ABC中，由正弦定理，得：
北
=
ACsin?ABCsin15?
ABsin?BCA
，
30?45
即有AC =
AB?sin?ABCsin?BCA
=
6?sin45?
=63＋6．
在直角三角形AOC中，有：OC = AC·cos30?= (63＋6)×
32
= 9＋33．
西O
東
設(shè)步行速度為x米/分，則x =
9?33
3
= 3＋
3≈4.7．
南
即此人步行的速度為4.7米/分．
例2 某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60?，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30?，海輪改為北偏東60?的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P、C間的距離．
解：如圖，在△ABP中，AB = 30×∠APB =30?，∠BAP =120?， 由正弦定理，得：
604060
= 20，
60?
，即
P
ABsin?BPA
=
BPsin?BAP
2012
=
BP32
，解得BP =203．
在△BPC中，BC = 30×
8060
= 40，
2
2
2
2
由已知∠PBC =90?，∴PC =所以P、C間的距離為20
PB?BC
=
(203)?20=207 (海里)．
7海里．
評(píng)析：上述兩例是在準(zhǔn)確理解方位角的前提下，合理運(yùn)用正弦定理把問(wèn)題解決，因此，用正弦定理解有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要注意問(wèn)題中的一些名稱(chēng)、術(shù)語(yǔ)，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等．
例3 某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為60?，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面積
盡可能大，請(qǐng)問(wèn)如何裁剪？
分析：從實(shí)際出發(fā)，盡可能使面積最大，有兩種裁剪方法．一種是使矩形的一邊落在扇形的半徑上，另一種是使矩形的兩頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑上，分別計(jì)算出這兩種情況下的最大值，再比較結(jié)果的出最佳方案．
解：方案一，如圖1，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半徑OA上，設(shè)∠AOP =?，則PM = a·sin?， ∵扇形中心角為60?，∴∠PQO =120?，由正弦定理，得：
OPsin120?
=
PQsin(60???)
，即PQ =
23
·a·sin(60?－?)，
∴矩形的MPQR的面積為：S1=PM·PQ =
23
·a·sin?·sin(60?－?) =
2
13
·a[cos(2?－60?)－cos60?]≤
2
13
·a·(1－
2
12
) =
36
a，
2
當(dāng)?=30?時(shí)，cos(2?－60?) = 1，S1取得最大值
36
a．
2
方案二，如圖2，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上， 設(shè)∠AOM =?，∠MRA =
12
×60?=30?，∠MRO =150?，由正弦定理，得：
RMsin?
=
asin150?
，即RM = 2a·sin?，
又
ORsin(30???)
=
asin150?
，∴OR = 2a·sin(30?－?)，∴矩形的MPQR的面積為：
S2= MR·PQ = 4a·sin?·sin(30?－?) = 2a·[cos(2?－30?)－cos30?]≤2a·(1－即在此情況下，∠AOM =?=15?時(shí)，可求出M點(diǎn)，然后作出MPQR面積為最大．
222
32
) = (2－
3)a2．
由于S1－S2=
36
a－(2－
2
P
3)a=
2
a
2
6
(73－12)＞0，所以第一種方案能
P
M
圖2
A
使裁出的矩形面積最大，即∠AOP =?=30?，使P取在AB弧中點(diǎn)，分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR，即為最大矩形．
正余弦定理的變式、應(yīng)用及其推廣
O
圖1
M A O正余弦定理是反映三角形中邊與角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，如果將它們整合、變形后再應(yīng)用，就會(huì)感到另一種新奇與愉悅，同時(shí)也
給眾多題目找到了“同一根源” 。
一、變式 如果將正弦定理中a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC代入余弦定理中可得：
（1）sin 2C + sin 2B - 2sinCsinBcosA = sin 2A；（2）sin 2A + sin 2C - 2sinAsinCcosB = sin2B；（3）sin 2A + sin 2B - 2sinAsinBcosC = sin 2C；
以上諸式表明，三角形中兩個(gè)角的正弦的平方和減去第三個(gè)角的正弦的平方，等于前兩個(gè)角的正弦與第三個(gè)角的余弦的積的兩倍； 變式1：在△ABC中，sinA + sinB - sinC = 2sinAsinBcosC;
變式2：在△ABC中，sin 2A + sin 2B-sin 2（A+B）= -2sinAsinBcos（A+B），即sin2A + sin2B +2sinAsinBcos(A+B) = sin2(A+B);
觀察變式的結(jié)構(gòu)特征總有“意猶未盡”之感，必然令人產(chǎn)生一種猜測(cè)：當(dāng)A、B為任意角時(shí)，等式還會(huì)成立嗎？事實(shí)上，答案是肯定的。 變式3：sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)= sin2(α+β) 證明：左=
2
2
2
1?cos2?
2
+
1?cos2?
2
+ 2sinαsinβcos (α+β) = 1 -
12
( cos2α+cos2β) + 2sinαsinβcos (α+β)
= 1 - cos (α+β)cos (α-β) + 2sinαsinβcos (α+β) = 1 - cos (α+β) [ cos (α-β) - 2sinαsinβ]= 1 – cos2(α+β) = sin2(α+β)
二、應(yīng)用
上述變式有著廣泛的應(yīng)用，以下從幾個(gè)方面加以說(shuō)明：
1、求三角函數(shù)值 例1、求cos2 71°+ cos71°cos49°+ cos 2 49°的值.
解：由變式（2）知sin 219°+ sin 241°+ sin19°sin41°= sin 219°+ sin 241°+ 2sin19°sin41°cos60°= sin260°=例2、(1998年高考試題)在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A-C=
2
2
2
34
.
3
2
，求sinB的值。
解：由a+c=2b及正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∴4sinB= sinA + sinC+2 sinA sinC= sinB+2 sinA sinC（1+cosB），又∵A-C=∴2 sinA sinC= -cos（A+C）+cos
3
，
3
=
12
+ cosB， ∴3sinB=（
2
12
=
+ cosB）（1+cosB），化簡(jiǎn)得, 8cosB+3cosB-5=0，
2
∴cosB=
58
，或cosB=-1（不合題意,舍去），∴sinB=1?()
5
2
398
2
8
。
2、判定三角形形狀 例3、在△ABC中，已知sinA + sinB+ sinC = 2, 試判斷△ABC的形狀： 解：由變式（1）知sinA + sinB+ sinC- 2 = 2sinAsinBcosC+ 2 sinC- = 2( sinAsinB - cosC)cosC = 2cosC [sinAsinB + cos( A+B)]= 2cosAcosBcosC 又∵sinA + sinB+ sinC = 2,∴cosAcosBcosC = 0， 即 cosA = 0 或 cosB = 0 或 cosC = 0 ， ∴△ABC是直角三角形。
3、證明三角恒等式 例4、設(shè)α、β為銳角，且sinα+ sinβ= sin(α+β), 求證：α+β=證明：由變式(3)知sin(α+β) = sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
。
+ sin2?+2sinαsinβcos(α+β)
2
= sin(α+β)+ 2sinαsinβcos(α+β)≥sin(α+β) + 2sinαsinβcos(α+β)?？梢?jiàn)cos(α+β)≤0 得α+β≥則
2
, 若α+β＞
2
，
2
＞α＞
2
-β＞0 , 得sinα＞sin (
2
-β) = cosβ＞0 ，從而sin(α+β) = sin2α+ sin 2β＞cos 2β+ sin 2β= 1，所以α+β=
2
。
三、推廣
若將變式（3）中的β用-β來(lái)代替即可得，推論1：sin 2α+ sin 2β-2sinαsinβcos(α-β)= sin 2(α-β)； 若將變式（3）中的α、β分別用
2
-α，
2
-β來(lái)代替即可得，推論2：cos2α+ cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β)；
2
2
2
若將推論2中的β用 -β來(lái)代替即可得。推論3：cosα+cosβ-2cosαcosβcos(α-β)=sin(α-β)； 事實(shí)上，若對(duì)變式（3）式中分別對(duì)α、β賦以不同的特殊角則還可得一系列高考試題： ①（1991全國(guó)高考）求cos 210°+ cos 250°- sin40°sin80°的值； ②（1992全國(guó)高考）求sin 220°+ cos280°+ 07年高考題
山東理（20）（本小題滿(mǎn)分12
分）如圖，甲船以每小時(shí)?
3sin20°cos80°的值 ；③（1995全國(guó)高考）求sin 220°+ cos 250°+ sin20°cos50°的值。
A1處
時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方
向的B
2處，此時(shí)兩船相距（20）
海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？
A2
A1
正、余弦定理的五大命題熱點(diǎn)
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類(lèi)型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn)： 一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題． 例1(2005年全國(guó)高考江蘇卷) ?ABC中，A?
3
，BC＝3，則?ABC的周長(zhǎng)為（ ）
A．43sin?B?
3 B．43sin?B???3C．6sin?B???3 D．6sin?B???3 3?6?3?6????
分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長(zhǎng)為3＋b＋c而得到結(jié)果． 解：由正弦定理得：
3sin
3
bsinB
csinC
b?csinB?sinC
b?c
sinB?sin(
2?3?B)
，
得b＋c
＝B＋sin(
2?3
－B)]＝6sin(B?
)．故三角形的周長(zhǎng)為：3＋b＋c＝6sin?B???3，故選(D)． 66??
6
，周長(zhǎng)應(yīng)為3
評(píng)注：由于本題是選擇題也可取△ABC為直角三角形時(shí)，即B＝
3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而選(D)．
例2(2005年全國(guó)高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?
463
,cosB?
66
，AC邊上的中線BD=
5，求sinA的值．
分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且DE?
12
2
AB?
263
，設(shè)BE＝在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD
2
BE
2
ED?2BE?EDcosBED， 73
5?x?
2
83
2?
263
66
x，解得x?1，x??
故BC=2，從而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?
222
283
，即AC?
221
3
sinB?
306
，
故
2sinA
6
sinA?
二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．
例3(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．
解法2：由題意，得cosB＝
sinC2sinA
c2a
，再由余弦定理，得cosB＝
a?c?b
2ac
222
．
∴
a?c?b
2ac
222
＝
c2a
，即a＝b，得a＝b，故選(B)．
22
評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)． 三、 解決與面積有關(guān)問(wèn)題
主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題．
例4(2005年全國(guó)高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，
則?ABC的面積S＝?
分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝
2
2
2
12
AB·ACsinA即可解決．
2
解：由余弦定理，得cosA＝
AB?AC?BC
2AB?AC
1534
12
25?AC?4910?AC
12
12
，解得AC＝3．
∴ S＝
12
AB·ACsinA＝．∴ AB·AC·sinA＝AC·h，得h＝AB· sinA＝
322
，故選(A)．
四、求值問(wèn)題
例5(2005年全國(guó)高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c， 設(shè)a、b、c滿(mǎn)足條件b
2
c?bc?a和
22
cb
12
3，求?A和tanB的值．
分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理． 解：由余弦定理cosA?
b?c?a
2bc
222
12
，因此，?A?60?
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知條件，應(yīng)用正弦定理
12
3?
cb
sinCsinB
sin(120??B)
sinB
sin120?cosB?cos120?sinB
sinB
32
cotB?
12
,解得cotB?2,從而tanB?
12
.
五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用
利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下： （一.）測(cè)量問(wèn)題
例1 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。
分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。
解析：由正弦定理得∵S?ABC?
ACsin?CBA
ABsin?ACB12
，∴AC=AB=120m，又
A
圖1
12
D
B
AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。
點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題”。 （二.）遇險(xiǎn)問(wèn)題
例2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？
解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。
這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分
清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追擊問(wèn)題
例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理AC
2
北 西
圖2
東 °
AB?BC?2AB?BCcos?，
2
22
28t?
2
81??20t??2?9?20t?(?34
，t=
2
12
)，128t?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，
圖3
C
解得t=
932
（舍）
∴AC=28×
34
=21 n mile，BC=20×
34
=15 n mile。
根據(jù)正弦定理，得sin??
BCsin?AC
15??
，又∵α=120°，∴β為銳角，
β=arcsin＜＜，211414
14
14
2
∴
arcsin
14
＜
4
，
∴甲船沿南偏東
4
－
arcsin
14
的方向用
34
h可以追上乙船。
點(diǎn)評(píng)：航海問(wèn)題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，
所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。
五、交匯問(wèn)題
是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問(wèn)題等知識(shí)交匯． 例6 (2005年全國(guó)高考卷三試題)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB?
34
.
3
（Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）設(shè)BA?BC?，求a＋c的值.
2
分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等．
解：（Ⅰ）由cosB?
34
,得sinB?
327
()?,
44
由b2=ac及正弦定理得 sinB?sinAsinC. 則cotA?cotC?
2
1tanA
2
1tanCsinB
2
cosAsinA1
cosCsinC?
sinCcosA?cosCsinA
sinAsinC
sin(A?C)
sinBsinBsinB????????3332
（Ⅱ）由BA?BC?，得ca·cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．
224
由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB， 得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)易錯(cuò)題解析
例題1 在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a錯(cuò)解：∵a
2
2
a?c?2ac?5?4?9,
22
a?c?3
2
22
b?c，求A的取值范圍。
b?c，∴b?c?a
22222
0。則
cosA?
b?c?a
2bc
222
0，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)
且cos90°?0，∴A?90° 又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴0°＜A＜90°。
辨析：錯(cuò)因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是a為最大邊，而錯(cuò)解中只把a(bǔ)看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯(cuò)誤。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。
例題2 在△ABC中，若
ab
22
tanAtanB
，試判斷△ABC的形狀。
錯(cuò)解：由正弦定理，得
sinAsinB
2
2
tanAtanB
即
sinAsinB
2
2
sinAcosA
·
cosBsinB
，∵sinA?0，sinB?0
∴sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
辨析：由sin2A?sin2B，得2A＝2B。這是三角變換中常見(jiàn)的錯(cuò)誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。 正解：同上得sin2A?sin2B，∴2A＝2k??2B
或2A?2k????2B(k?Z)。
∵0?A??，0?b??，∴k?0，則A?B或A?故△ABC為等腰三角形或直角三角形。 例題3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC?
2
B。
3，求
a?b?csinA?sinB?sinC
的值。
錯(cuò)解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC?
∴
3，又S△ABC?
12
bcsinA，
3?
12
csin60°，解得c＝4。
b?c?2bccosA?
2
2
由余弦定理，得a?1?16?8cos60°?13
又由正弦定理，得sinC?
639
，sinB?
3239
。
∴
a?b?csinA?sinB?sinC
1?432?
3239
639
。
辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。 正解：由已知可得c?4，a?
。由正弦定理，得
2R?
asinA
sin60°
2393
?！?/p>
a?b?csinA?sinB?sinC
2R?
2393
。
例題4 在△ABC中，c?6?2，C＝30°，求a＋b的最大值。
錯(cuò)解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
asinA
b
sin(150°?A)
6?2
sin30°
∴a?2(6?b?2(6?
2)sinA，
2)sin(150°?A)
又∵sinA?1，sin(150°?A)?1 ∴a?b?2(
6?2)?2(6?2)?4(6?2)。
故a?b的最大值為4(6?2)。
辨析：錯(cuò)因是未弄清A與150°－A之間的關(guān)系。這里A與150°－A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量，sinA與sin(150°－A)不能
同時(shí)取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。 正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
asinA6?
b
sin(150°?A)
6?2
sin30°
因此a?b?2(2)[sinA?sin(150°?A)]
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