?本文來回顧《電動(dòng)力學(xué)》中的電勢(shì)的兩種多級(jí)展開以及電勢(shì)的球諧函數(shù)展開的相關(guān)內(nèi)容 , 就當(dāng)復(fù)習(xí)一波了 .

1. 多元函數(shù)的Taylor展開

?多極展開的理論基礎(chǔ)其實(shí)就是性質(zhì)充分良好的函數(shù)的Taylor展開, 一維的Taylor展開是我們熟知的:

不過在電動(dòng)力學(xué)當(dāng)中, 我們遇到的主要是標(biāo)量值多元函數(shù)或者矢量值多元函數(shù)甚至于張量值多元函數(shù). 這里我們處理的是電勢(shì)的多極展開, 因此只需要考慮第一種情況即可.

?我們熟知的還是一元函數(shù)的Talor級(jí)數(shù), 因此最自然的想法還是用一元函數(shù)去研究多元函數(shù). 所以我們希望找到一個(gè)一元函數(shù), 使得在某種條件下給出的結(jié)果就是, 并且我們希望得到的是函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)任意點(diǎn)處的值, 當(dāng)然我們已知的是函數(shù)在處的性質(zhì). 這就要用到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的技巧了: 考察和的凸組合, 這個(gè)組合恰好在處給出, 而在處給出, 表征的其實(shí)是和這兩點(diǎn)所連直線, 如果, 則就是這兩點(diǎn)所成線段(如果我們選取的是一個(gè)球形鄰域, 則球內(nèi)任意一點(diǎn)與球心的連線上的點(diǎn)必然在鄰域內(nèi)). 我們構(gòu)造輔助函數(shù)如下:

于是

注意我們已知的是在處的性質(zhì), 因此我們應(yīng)該將在處進(jìn)行展開, 即

然后按照上面提到的, , 于是

于是我們只消計(jì)算的各階導(dǎo)數(shù)即可. 現(xiàn)在注意到我們有分量展開式

其中是方向的單位矢量. 令, 則

現(xiàn)在, 進(jìn)而

注意到依舊是的函數(shù), 于是我們接下來得到

以此類推, 最終得到

將上面的式子重新改寫一下, 令, 然后引入記號(hào)

則有

接下來在上式兩邊我們令, 此時(shí)

這是因?yàn)槠⒎质菍?duì)函數(shù)形式求的微分, 因此我們可以變更偏微分的求導(dǎo)對(duì)象, 然后保證變更前后的點(diǎn)一致即可, 變更前是, 即, 這就是. 綜上所述, 我們可以得到多元函數(shù)的Taylor展開式為

另外, 我們還可以注意到下面這個(gè)恒等式:

這是因?yàn)樽筮厡?duì)的所有組合形式求和的時(shí)候必然會(huì)出現(xiàn)重復(fù)項(xiàng), 比如說且函數(shù)為元函數(shù)時(shí)就有, , 和四種可能, 而中間兩種因?yàn)楹瘮?shù)性質(zhì)良好(至少連續(xù)), 因此相等, 這就給出一個(gè)系數(shù), 它其實(shí)就是二項(xiàng)式展開的結(jié)果. 其他情況以此類推.

?接下來注意到

因此我們還可以將多元函數(shù)的Taylor展開寫成

2. 電勢(shì)的多極展開

? 眾所周知, 單個(gè)電荷在空間中處的電勢(shì)為

其中是電荷所在的空間位置, 即源點(diǎn), 而稱作場(chǎng)點(diǎn). 現(xiàn)在假設(shè)空間中電荷分布不是集中在一點(diǎn), 而是彌散分布, 呈一定的電荷密度, 則我們總是可以在源點(diǎn)附近選取一小塊區(qū)域, 這塊區(qū)域的電荷量為, 它產(chǎn)生的電勢(shì)為

然后根據(jù)電勢(shì)疊加原理, 總的電勢(shì)就是上式的積分:

這里的積分遍歷有定義的地方, 或者說. 現(xiàn)在考察函數(shù)

令, 然后對(duì)

進(jìn)行展開, 我們得到

現(xiàn)在取, 于是, 最終我們就有

現(xiàn)在將這個(gè)表達(dá)式代入到前面電勢(shì)的積分表達(dá)式當(dāng)中, 就有

其中

現(xiàn)在注意積分是對(duì)進(jìn)行的, 因此可以將所有關(guān)于的項(xiàng)提出到積分外邊去, 這就可以在級(jí)展開式

這個(gè)表達(dá)式中提取出這樣的一項(xiàng):

考慮到數(shù)學(xué)中將形如

稱作在處的階矩, 上面提取出的表達(dá)式就表示一種電矩. 比如說電零階距就是

表示系統(tǒng)的總電荷, 由此可以看到電勢(shì)的零級(jí)展開即為

這表明零級(jí)展開的物理意義是將彌散在空間的電荷聚集到原點(diǎn), 考察其作為點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì).

?電二階矩根據(jù)上面的寫法就應(yīng)該是

為了看出其物理含義, 我們簡(jiǎn)化一下問題, 假設(shè)體系是電中性的, 換言之, 但是我們總是可以考察

這三個(gè)區(qū)域各自的積分結(jié)果(當(dāng)然, 我們希望這三個(gè)區(qū)域都是可測(cè)的, 這要求的性質(zhì)足夠良好, 比如說是可測(cè)函數(shù)), 根據(jù)定義, 上的積分恒等于零. 而利用積分中值定理, 存在使得

因?yàn)榭傠姾?span>, 因此上面對(duì)的積分大小相等, 只是符號(hào)相反. 我們令上的積分結(jié)果為, 則上式最終給出的結(jié)果就是, 從而該體系的電二階矩為

記, 這表示一個(gè)由負(fù)電荷指向正電荷的方向矢量. 此時(shí), 這正是電磁學(xué)中接觸到的電偶極矩, 換言之, 上面定義的電二階矩其實(shí)就是電偶極矩. 如果將等量異號(hào)的一對(duì)電荷稱作電偶極子, 則上面的計(jì)算表明一級(jí)展開的物理意義是將帶電體系分解出一個(gè)正電中心和一個(gè)負(fù)電中心, 考察這對(duì)電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì). 但是值得指出的是, 只有體系為電中性的時(shí)候這個(gè)詮釋才是對(duì)的, 當(dāng)體系不具備電中性的時(shí)候, 我們令, 其中被定義為在上的積分, 然后

這里是電荷量絕對(duì)值大的那方相較于多出來部分(帶符號(hào)), 的正負(fù)號(hào)取決于對(duì)應(yīng)的符號(hào). 這個(gè)結(jié)果表明如果帶電體系不是電中性的時(shí)候電二階矩就會(huì)多出一項(xiàng), 這項(xiàng)會(huì)和坐標(biāo)原點(diǎn)的選取有關(guān). 但是習(xí)慣上我們還是將此時(shí)的稱作電偶極矩, 盡管它沒法完全匹配電偶極子的這個(gè)圖像, 因?yàn)榭偸怯行╇姾蓻]法匹配上.

?電二階距從定義來看是一個(gè)型張量, 它的分量為

它的物理意義我們可以這樣進(jìn)行理解, 將上式改寫為

這個(gè)改寫在數(shù)學(xué)上有很大問題, 但是具備啟發(fā)性, 因?yàn)槔ㄌ?hào)里面的那一項(xiàng)可以理解為這個(gè)方向的某個(gè)偶極子的電偶極矩, 然后我們將一對(duì)電偶極子綁定在一起, 考察了不同的電偶極子之間的偶極作用, 于是我們就將其稱作電四極矩, 即偶極子的偶極矩. 兩對(duì)偶極子需要四個(gè)電荷, 這四個(gè)電荷就構(gòu)成了電四極子. 以此類推, 電三階矩就是一對(duì)電四極子的偶極矩, 需要八個(gè)電荷, 構(gòu)成電八極子, 對(duì)應(yīng)電八極矩. 更一般的, 電階矩就是一對(duì)電極子產(chǎn)生的偶極矩, 即電極距.  電極距是一個(gè)型張量.

?綜上所述, 我們得到下述結(jié)論:

電勢(shì)的多極展開中, 第級(jí)展開表示電極子對(duì)應(yīng)的電極距產(chǎn)生的電勢(shì). 多極展開其實(shí)就是按照電荷對(duì)電勢(shì)貢獻(xiàn)進(jìn)行的分解.

?一般而言, 物理上電四極子就已經(jīng)可以給出充分好的近似了, 因此很少會(huì)用到更高級(jí)的近似(至少教科書上不會(huì)).

?容易看到, 當(dāng)體系內(nèi)電荷分布關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱的時(shí)候, 正電中心和負(fù)電中心都會(huì)集中于原點(diǎn), 從而不產(chǎn)生電偶極矩, 因此電偶極矩是電荷分布偏離原點(diǎn)對(duì)稱性的結(jié)果. 類似地, 如果體系內(nèi)電荷分布是球?qū)ΨQ的, 那么在的表達(dá)式中我們只需注意到被積函數(shù)對(duì)各自指標(biāo)是奇函數(shù), 于是積分是零. 這表明電四極矩是電荷分布偏離球?qū)ΨQ性的結(jié)果.

?除此以外, 還有一點(diǎn)需要指出的是在計(jì)算積分

的時(shí)候, 我們或許應(yīng)該對(duì)整個(gè)被積函數(shù)進(jìn)行展開, 但是上面我們卻只是對(duì)進(jìn)行了展開, 這或許是因?yàn)?span>并不是一個(gè)實(shí)驗(yàn)上容易測(cè)量的東西, 所以它的各階導(dǎo)數(shù)也很不好處理. 如果只是對(duì)展開, 從上面就能看到, 我們會(huì)將電荷分布封裝到一個(gè)系數(shù)當(dāng)中, 于是可以通過實(shí)驗(yàn)得到的電勢(shì)關(guān)于進(jìn)行擬合, 從而得到這些系數(shù), 這不會(huì)涉及不好測(cè)量的細(xì)節(jié).

3. 電四極矩的性質(zhì)以及重定義

?首先從定義出發(fā), 可以得到電四極矩張量是一個(gè)對(duì)稱張量, 即.  接下來我們對(duì)其進(jìn)行重定義來讓其性質(zhì)更好看一點(diǎn). 考慮問題的出發(fā)點(diǎn)在于我們不希望發(fā)生變化, 換言之, 我們希望

是不變的, 其中

我們考察問題的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)恒等變換: 給一個(gè)式子加上零結(jié)果不變. 而零在哪里呢? 首先注意到恒等式

這里是一個(gè)標(biāo)量值函數(shù)而是一個(gè)矢量值函數(shù). 另外是另一個(gè)結(jié)論:

這是因?yàn)?/p>

于是.

然后我們用上面的恒等式來考察這個(gè)式子:

現(xiàn)在代入, 并注意到

于是我們最終看到

或者寫成

這樣一來我們可以在中加入這樣一個(gè)恒為零的項(xiàng). 這個(gè)式子和的表達(dá)式已經(jīng)很是相似了, 我們給加上上式的倍數(shù)不會(huì)改變?cè)镜碾妱?shì)的結(jié)果. 現(xiàn)在注意一下, 上面這個(gè)式子其實(shí)最終得到的就是這個(gè)張量算子的跡, 這提醒我們考察的跡, 而

我們不難注意到, 如果給上面的展開式乘以一個(gè)加到原本的表達(dá)式中, 就能得到.

不過考慮到的跡為, 更好的做法是將其歸一化一下變成, 即

這就引入了電四極矩的標(biāo)準(zhǔn)定義:

在這個(gè)定義下, 我們天然地得到

即是一個(gè)對(duì)稱無跡張量, 這也意味著只有5個(gè)獨(dú)立分量(因?yàn)閷?duì)稱性有六個(gè)獨(dú)立分量, 無跡條件又消除一個(gè)自由度, 最終剩下五個(gè)).

?從原始定義到常規(guī)定義的過程一般教科書是略過的, 其實(shí)這里可以看到, 出現(xiàn)在電四極矩中的那個(gè)系數(shù)其實(shí)就是為了保證最終的結(jié)果是零跡的, 從而在不損失信息(電勢(shì))的條件下給出最多的對(duì)稱性.

4. 電勢(shì)的球諧函數(shù)展開

?在第二節(jié)中介紹的是電勢(shì)通過笛卡爾坐標(biāo)進(jìn)行展開, 但是我們理論上的展開方式不止這一種, 球坐標(biāo)系也是常用的坐標(biāo)系之一. 因此, 我們還有必要研究一下球坐標(biāo)系下的多極展開形式. 毋庸置疑, 這會(huì)和球諧函數(shù)有關(guān). 眾所周知, 電勢(shì)滿足Laplace方程:

這個(gè)方程一旦出現(xiàn)在球坐標(biāo)系下就少不了球諧函數(shù)登場(chǎng). 這里也順帶復(fù)習(xí)一下數(shù)學(xué)物理方程. 首先寫出Laplace算子的表達(dá)式:

然后設(shè), 代入上式得到

然后等式兩邊同時(shí)乘以, 得到

現(xiàn)在分理出第一個(gè)變量, 上式第一項(xiàng)只是的函數(shù), 而剩下兩項(xiàng)不含, 因此移項(xiàng)后相等意味著等于同一個(gè)數(shù), 即

以及

第一個(gè)式子展開后即為

令, 則, 進(jìn)而

將其代入前面的式子, 得到

這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程, 它的通解為

代入, 即有

這里是特征根, 滿足和. 于是可以取, 此時(shí), , 于是

在的假設(shè)下, 原本的角向方程寫成

現(xiàn)在兩邊同時(shí)乘以得到

同樣的理由, 等式兩邊要想成立, 就必須等于同一個(gè)常數(shù), 故有

它的解為. 最終剩下關(guān)于的方程

令, 則

于是上面的方程變成

利用恒等式, 上式變成

這是連帶勒讓德方程, 它的解是勒讓德多項(xiàng)式, 于是得到的解為

最終得到原本方程的通解為

這里是展開系數(shù). 接下來取歸一化球諧函數(shù)

則上面電勢(shì)的通解可以寫成

這里系數(shù)進(jìn)行了重新定義. 如果要求滿足一定的邊界條件, 比如, 那么電勢(shì)就要寫成

這里又一次重新設(shè)定了系數(shù), 目的是和前面第二節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比照.  類似地, 如果, 那么電勢(shì)的形式應(yīng)該為

這里我們只關(guān)心第一種形式, 即無窮遠(yuǎn)處趨于零邊界下的結(jié)果, 這個(gè)時(shí)候我們看到項(xiàng)的系數(shù)為

而在第二節(jié)中我們看到多極展開后結(jié)果是的冪級(jí)數(shù), 且對(duì)應(yīng)的就是電極子, 比如說時(shí)是電單極子, 時(shí)是電偶極子, 時(shí)是電四極子. 對(duì)應(yīng)一下我們就能看到, 項(xiàng)對(duì)應(yīng)的其實(shí)就是電極子. 并且利用球諧函數(shù)我們能很容易理解電多極子的圖像:

比如的單極子就是一個(gè)電荷對(duì)稱分布的球, 的偶極子是正負(fù)電荷中心不重合導(dǎo)致的, 的電四極子就是兩個(gè)等量異號(hào)偶極子, blablabla

?不過按照上述思路得到的電勢(shì)多極展開的圖像沒有笛卡兒坐標(biāo)系下的圖像清晰, 二者比較我們才能比較清楚地看出展開項(xiàng)的物理意義.  除了這種比較方式以外, 我們依舊可以從

著手進(jìn)行計(jì)算. 此時(shí)我們還是對(duì)

進(jìn)行展開. 不過此時(shí)是對(duì)它按照球諧函數(shù)進(jìn)行展開, 這需要用到球諧函數(shù)的一個(gè)性質(zhì):

定理: 設(shè)有兩個(gè)位置矢量和, 它們的球坐標(biāo)分別為和, 它們之間的夾角為, 則

其中, 這可以由得出. 是連帶勒讓德多項(xiàng)式中時(shí)的結(jié)果.

另外需要用到的一個(gè)特殊性質(zhì), 它是軸對(duì)稱的, 可以用勒讓德多項(xiàng)式進(jìn)行展開:

然后代入上面定理的結(jié)果, 得到

然后代入電勢(shì)疊加表達(dá)式中并設(shè), 得到

這里的系數(shù)稱作多極矩, 對(duì)于給定的, 有種選擇, 它其實(shí)就對(duì)應(yīng)了第二節(jié)中給出的極子的獨(dú)立分量, 不過兩個(gè)獨(dú)立分量之間不是直接相等的, 而是以某種組合的形式給出. 最主要的是是可以取復(fù)值的, 而電極距張量為實(shí)張量.

5. 參考資料

(1) 電動(dòng)力學(xué), by 郭碩鴻

(2) 經(jīng)典電動(dòng)力學(xué), by John David Jackson

(3) 電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論 , by David J.Grimths

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