專題08一元二次方程
解讀考點(diǎn)
知 識(shí) 點(diǎn)
名師點(diǎn)晴
一元二次方程的概念
1.一元二次方程的概念
會(huì)識(shí)別一元二次方程。
2.一元二次方程的解
會(huì)識(shí)別一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解。
解法
步驟
能靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?br>
根的判別式
b2－4ac是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判別式
會(huì)判斷一元二次方程根的情況。
根與系數(shù)的關(guān)系
x1＋x2＝，x1x2＝
會(huì)靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。
一元二次方程的應(yīng)用
由實(shí)際問題抽象出一元二次方程
要列方程，首先要根據(jù)題意找出存在的等量關(guān)系．
最后要檢驗(yàn)結(jié)果是不是合理.
2年中考
【2015年題組】
1．（2015來賓）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則以，為根的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A．
【解析】
試題分析：以，為根的一元二次方程，故選A．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
2．（2015河池）下列方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C．
考點(diǎn)：根的判別式．
3．（2015貴港）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】B．
【解析】
試題分析：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴△==且，∴且，∴整數(shù)a的最大值為0．故選B．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義．
4．（2015欽州）用配方法解方程，配方后可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A．
【解析】
試題分析：方程，整理得：，配方得：，即，故選A．
考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法．
5．（2015成都）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．且
【答案】D．
【解析】
試題分析：∵是一元二次方程，∴，∵有兩個(gè)不想等的實(shí)數(shù)根，則，則有，∴，∴且，故選D．
考點(diǎn)：根的判別式．
6．（2015攀枝花）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】D．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義．
7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)分別是一元二次方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)可以是（ ）
A．5B．7C．5或7D．10
【答案】B．
【解析】
試題分析：解方程，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，；
∵當(dāng)?shù)诪?，腰為1時(shí)，由于3＞1+1，不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形；
∴等腰三角形的底為1，腰為3；
∴三角形的周長(zhǎng)為1+3+3=7．
故選B．
考點(diǎn)：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三邊關(guān)系；3．等腰三角形的性質(zhì)；4．分類討論．
8．（2015巴中）某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過兩次降價(jià)，每件件零售價(jià)由560元降為315元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率．設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B．
考點(diǎn)：1．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；2．增長(zhǎng)率問題．
9．（2015達(dá)州）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B．
【解析】
試題分析：根據(jù)題意得：，解得且．故選B．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義．
10．（2015瀘州）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】
試題分析：∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正確；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正確；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正確；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正確；
故選B．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一次函數(shù)的圖象．
11．（2015南充）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正．給出四個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根；②；③．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C．
考點(diǎn)：1．根與系數(shù)的關(guān)系；2．根的判別式；3．綜合題．
12．（2015佛山）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長(zhǎng)是（ ）
A．7mB．8mC．9mD．10m
【答案】A．
【解析】
試題分析：設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xm，依題意有：（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合題意，舍去），即：原正方形的邊長(zhǎng)7m．故選A．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．幾何圖形問題．
13．（2015懷化）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則的值是（ ）
A．19B．25C．31D．30
【答案】C．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
14．（2015安順）若一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第（ ）象限．
A．四B．三C．二D．一
【答案】D．
【解析】
試題分析：∵一元二次方程無實(shí)數(shù)根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，故選D．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
15．（2015山西省）我們解一元二次方程時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法，將此方程化為，從而得到兩個(gè)一元一次方程：或，進(jìn)而得道原方程的解為，．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A．轉(zhuǎn)化思想B．函數(shù)思想C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想D．公理化思想
【答案】A．
【解析】
試題分析：我們解一元二次方程時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法，將此方程化為，從而得到兩個(gè)一元一次方程：或，進(jìn)而得道原方程的解為，．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故選A．
考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法．
16．（2015棗莊）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則m+n的值是（ ）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2
【答案】A．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
17．（2015淄博）若a滿足不等式組，則關(guān)于x的方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．以上三種情況都有可能
【答案】C．
【解析】
試題分析：解不等式組，得a＜﹣3，∵△==2a+2，∵a＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，故選C．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式組；4．綜合題．
18．（2015煙臺(tái)）如果，那么x的值為（ ）
A．2或﹣1B．0或1C．2D．﹣1
【答案】C．
【解析】
試題分析：∵，∴，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：，，當(dāng)x=﹣1時(shí)，x+1=0，故x≠﹣1，故選C．
考點(diǎn)：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指數(shù)冪．
19．（2015煙臺(tái)）等腰三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則n的值為（ ）
A．9B．10C．9或10D．8或10
【答案】B．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分類討論．
20．（2015大慶）方程的根是．
【答案】，．
【解析】
試題分析：方程變形得：，分解因式得：，可得或，解得：，．故答案為：，．
考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法．
21．（2015甘孜州）若矩形ABCD的兩鄰邊長(zhǎng)分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為．
【答案】5．
【解析】
試題分析：方程，即，解得：，，則矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)是：=5．故答案為：5．
考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．
22．（2015達(dá)州）新世紀(jì)百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)査，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，可列方程為．
【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．
考點(diǎn)：1．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；2．銷售問題．
23．（2015廣元）從3，0，－1，－2，－3這五個(gè)數(shù)中抽取一個(gè)敖，作為函數(shù)和關(guān)于x的一元二次方程中m的值．若恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且使方程有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的m的值是________．
【答案】．
【解析】
試題分析：∵所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，∴，∴，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合題意，
將m=0代入中得，，△=﹣4＜0，無實(shí)數(shù)根；
將代入中得，，，有實(shí)數(shù)根，但不是一元二次方程；
將代入中得，，△=4+4=8＞0，有實(shí)數(shù)根．
故m=．故答案為：．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；3．綜合題．
24．（2015涼山州）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且，則=．
【答案】．
【解析】
試題分析：∵時(shí)，則m，n是方程的兩個(gè)不相等的根，∴，．
∴原式===，故答案為：．
考點(diǎn)：1．根與系數(shù)的關(guān)系；2．條件求值；3．壓軸題．
25．（2015瀘州）設(shè)、是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值為．
【答案】27．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
26．（2015綿陽）關(guān)于m的一元二次方程的一個(gè)根為2，則=．
【答案】26．
【解析】
試題分析：把m=2代入得，整理得：，所以，所以原式===26．故答案為：26．
考點(diǎn)：一元二次方程的解．
27．（2015內(nèi)江）已知關(guān)于x的方程的兩根分別是，，且滿足，則k的值是．
【答案】2．
【解析】
試題分析：∵關(guān)于x的方程的兩根分別是，，∴，，，解得：k=2，故答案為：2．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
28．（2015咸寧）將配方成的形式，則m=．
【答案】3．
考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用．
29．（2015荊州）若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．
【答案】0．
【解析】
試題分析：∵m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，則原式==1﹣1=0，故答案為：0．
考點(diǎn)：1．根與系數(shù)的關(guān)系；2．一元二次方程的解．
30．（2015曲靖）一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根之積為正數(shù)，若c是整數(shù)，則c=．（只需填一個(gè)）．
【答案】故答案為：1，2，3，4，5，6中的任何一個(gè)數(shù)．
【解析】
試題分析：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=，解得，∵，，c是整數(shù)，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案為：1，2，3，4，5，6中的任何一個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．根與系數(shù)的關(guān)系；3．開放型．
31．（2015呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足，則=__________．
【答案】或1．
【解析】
試題分析：設(shè)=x，則由原方程，得：，整理，得：，解得，．則的值是或1．故答案為：或1．
考點(diǎn)：換元法解一元二次方程．
32．（2015吉林省）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（寫出一個(gè)即可）．
【答案】答案不唯一，只要即可，如：0．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．開放型．
33．（2015畢節(jié)）關(guān)于x的方程與有一個(gè)解相同，則a=．
【答案】1．
【解析】
試題分析：由關(guān)于x的方程，得：（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x=1或x=3；當(dāng)x=1時(shí)，分式方程無意義；當(dāng)x=3時(shí)，，解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1是原方程的解．故答案為：1．
考點(diǎn)：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分類討論．
34．（2015畢節(jié)）一個(gè)容器盛滿純藥液40L，第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時(shí)容器里只剩下純藥液10L，則每次倒出的液體是L．
【答案】20．
【解析】
試題分析：設(shè)每次倒出液體xL，由題意得：，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案為：20．
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．
35．（2015日照）如果m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，，那么代數(shù)式=．
【答案】2026．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
36．（2015成都）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是________．（寫出所有正確說法的序號(hào)）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，則；
③若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則關(guān)于的方程是倍根方程；
?、苋舴匠淌潜陡匠?，且相異兩點(diǎn)，都在拋物線上，則方程的一個(gè)根為．
【答案】②③．
【解析】
試題分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為，則另一個(gè)根為，因此，所以有；我們記，即時(shí)，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：
對(duì)于①，，因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于②，，而，∴，因此本選項(xiàng)正確；
對(duì)于③，顯然，而，因此本選項(xiàng)正確；
對(duì)于④，由，知，∴，由倍根方程的結(jié)論知，從而有，所以方程變?yōu)椋?，∴，∴，，因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故答案為：②③．
考點(diǎn)：1．新定義；2．根與系數(shù)的關(guān)系；3．壓軸題；4．閱讀型．
37．（2015黃石）解方程組：．
【答案】，．
考點(diǎn)：高次方程．
38．（2015自貢）利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），另三邊用58m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)面積為200m2的矩形場(chǎng)地，求矩形的長(zhǎng)和寬．
【答案】當(dāng)矩形長(zhǎng)為25米時(shí)寬為8米，當(dāng)矩形長(zhǎng)為50米時(shí)寬為4米．
【解析】
試題分析：設(shè)垂直于墻的一邊為x米，則鄰邊長(zhǎng)為（58﹣2x），利用矩形的面積公式列出方程并解答．
試題解析：設(shè)垂直于墻的一邊為x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：，，∴另一邊為8米或50米．
答：當(dāng)矩形長(zhǎng)為25米時(shí)寬為8米，當(dāng)矩形長(zhǎng)為50米時(shí)寬為4米．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．幾何圖形問題．
39．（2015巴中）如圖，某農(nóng)場(chǎng)有一塊長(zhǎng)40m，寬32m的矩形種植地，為方便管理，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬．
【答案】2m．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．幾何圖形問題．
40．（2015廣元）李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長(zhǎng)40cm的鋏絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．
?。?）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？
（2）李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48．你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）12cm和28cm；（2）正確．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．幾何圖形問題．
41．（2015崇左）為落實(shí)國(guó)務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建設(shè)力度，2013年市政府共投資3億元人民幣建設(shè)了廉租房12萬平方米，2015年投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長(zhǎng)率相同．
?。?）求每年市政府投資的增長(zhǎng)率；
?。?）若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，問2015年建設(shè)了多少萬平方米廉租房？
【答案】（1）50%；（2）18．
【解析】
試題分析：（1）設(shè)每年市政府投資的增長(zhǎng)率為x．根據(jù)2015年投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房，列方程求解；
?。?）先求出單位面積所需錢數(shù)，再用累計(jì)投資÷單位面積所需錢數(shù)可得結(jié)果．
試題解析：（1）設(shè)投資平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得，（不符合題意舍去）
答：政府投資平均增長(zhǎng)率為50%；
?。?）（萬平方米）
答：2015年建設(shè)了18萬平方米廉租房．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．增長(zhǎng)率問題．
42．（2015崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．
?。?）求證：△AEF∽△ABC；
（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；
?。?）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個(gè)矩形的最大面積是多少？
【答案】（1）證明見試題解析；（2）48；（3）2400．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．幾何圖形問題；3．最值問題；4．壓軸題．
43．（2015淮安）水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價(jià)銷售．
（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是斤（用含x的代數(shù)式表示）；
?。?）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？
【答案】（1）100+200x；（2）1．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．銷售問題；3．綜合題．
44．（2015遂寧）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題．
計(jì)算：．
令，則
原式=
=
=
問題：（1）計(jì)算
；
?。?）解方程．
【答案】（1）；（2），．
考點(diǎn)：1．換元法解一元二次方程；2．有理數(shù)的混合運(yùn)算；3．換元法；4．閱讀型；5．綜合題．
45．（2015十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程．
?。?）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
?。?）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】
試題分析：（1）若方程有實(shí)數(shù)根，則△≥0，解不等式即可；
?。?）由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，由和，得到，即，代入即可得到結(jié)果．
試題解析：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即，∴；
?。?）根據(jù)題意得，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．根與系數(shù)的關(guān)系；3．綜合題．
46．（2015潛江）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
?。?）若方程兩實(shí)數(shù)根為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．根與系數(shù)的關(guān)系．
47．（2015鄂州）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
?。?）若方程兩實(shí)根，滿足，求k的值．
【答案】（1）k＞；（2）k=2．
【解析】
試題分析：（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△=，求出k的取值范圍；
（2）首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對(duì)值，進(jìn)而得到，結(jié)合k的取值范圍解方程即可．
試題解析：（1）∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△===，解得：k＞；
?。?）∵k＞，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵k＞，∴k=2．
考點(diǎn)：1．根的判別式；2．根與系數(shù)的關(guān)系；3．綜合題．
【2014年題組】
1．（2014年甘肅蘭州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b2﹣4ac滿足的條件是（）
A.b2﹣4ac=0B.b2﹣4ac＞0C.b2﹣4ac＜0D.b2﹣4ac≥0
【答案】B．
【解析】
試題分析：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=b2﹣4ac＞0．故選B．
考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式．
2.（2014年廣西貴港中考）若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則b+c的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．﹣1
【答案】A．
考點(diǎn)：1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2.求代數(shù)式的值．
3.（2014年內(nèi)蒙古呼倫貝爾中考）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）
A.x1=2，x2=1B.x1=﹣2，x2=1C.x1=2，x2=﹣1D.x1=﹣2，x2=﹣1
【答案】C．
【解析】
試題分析：（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故選C．
考點(diǎn)：因式分解法解一元二次方程．
4.（2014年山東聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可變形為（）
A.B.C.D.
【答案】A．
【解析】
試題分析：先移項(xiàng)，把二次項(xiàng)系數(shù)化成1，再配方，最后根據(jù)完全平方公式得出即可：移項(xiàng)，得ax2+bx=﹣c，兩邊同除以a，得，兩邊同加上一次項(xiàng)一半的平方，得，∴．故選A．
考點(diǎn)：配方法解一元二次方程．
5.（2014年甘肅白銀、定西、平?jīng)?、酒泉、臨夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一個(gè)根為0，則a=．
【答案】1．
考點(diǎn)：一元二次方程和解的定義．
6.（2014年廣西桂林中考）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根x1和x2，且，則k的值是．
【答案】或．
【解析】
試題分析：∵，∴或．
∵關(guān)于x的一元二次方程的兩根x1和x2，∴若，則；
若，則方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，∴．
∴或．
考點(diǎn)：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判別式；3.分類思想的應(yīng)用．
7.（2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解為．
【答案】x1=0或x2=2．
【解析】
試題分析：把方程的左邊分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，從而求出方程的解：x1=0或x2=2．
考點(diǎn)：因式分解法解一元二次方程．
8.（2014年江西省中考）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．
【答案】10．
【解析】
試題分析：∵是方程的兩根，∴．∴．
考點(diǎn)：1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2.代數(shù)式求值；3.完全平方公式；4.整體思想的應(yīng)用．
9.（2014年江蘇泰州中考）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
【答案】．
考點(diǎn)：公式法解一元二次方程．
10.（2014年四川巴中中考）某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價(jià)40元．經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180個(gè)，定價(jià)每增加1元，銷售量?jī)魷p少10個(gè)；定價(jià)每減少1元，銷售量?jī)粼黾?0個(gè)．因受庫(kù)存的影響，每批次進(jìn)貨個(gè)數(shù)不得超過180個(gè)，商店若將準(zhǔn)備獲利2000元，則應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？定價(jià)為多少元？
【答案】當(dāng)該商品每個(gè)單價(jià)為60元時(shí)，進(jìn)貨100個(gè)．
【解析】
試題分析：方程的應(yīng)用解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方程求解.本題利用銷售利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，根據(jù)題中條件可以列出利潤(rùn)與x的關(guān)系式，求出即可．
解：設(shè)每個(gè)商品的定價(jià)是x元，由題意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50時(shí)，進(jìn)貨180﹣10（x﹣52）=200個(gè)，不符合題意舍去．
答：當(dāng)該商品每個(gè)單價(jià)為60元時(shí)，進(jìn)貨100個(gè)．
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用（銷售問題）．
考點(diǎn)歸納
歸納1：一元二次的有關(guān)概念
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
1.一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2.一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0），其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．
3.一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
基本方法歸納：一元二次方程必須具備三個(gè)條件：（1）必須是整式方程；（2）必須只含有1個(gè)未知數(shù)；（3）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
注意問題歸納：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程．
【例1】若x=﹣2是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則a的值為（）
A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4
【答案】B．
考點(diǎn)：一元二次方程的解和解一元二次方程．
歸納2：一元一次方程的解法
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
一元二次方程的解法
1、直接開平方法
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b
2、配方法
配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有．
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法．
基本方法歸納：（1）若一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng),且方程的右邊為0,可考慮用因式分解法求解;
?。?）若一元二次方程缺少一次項(xiàng),可考慮用因式分解法或直接開平方法求解;
?。?）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,且一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時(shí)或常數(shù)項(xiàng)非常大時(shí),可考慮用配方法求解;
?。?）若用以上三種方法都不容易求解時(shí),可考慮用公式法求解．
注意問題歸納：用公式法求解時(shí)必須化為一般形式；用配方法求解時(shí)必須兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)的系數(shù)一半的平方．
【例2】用配方法解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
【答案】（其中b2﹣4ac≥0）．
【解析】
試題分析：應(yīng)用配方法解一元二次方程，要把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法．
歸納3：一元二次方程的根的判別式
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
一元二次方程的根的判別式
對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
?。?）b2－4ac＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
?。?）b2－4ac＝0?方程有兩個(gè)的實(shí)數(shù)根；
?。?）b2－4ac＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
基本方法歸納：若只是判斷方程解得情況則根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷即可．
注意問題歸納：一元二次方程的根的判別式應(yīng)用時(shí)必須滿足a≠0；一元二次方程有解分兩種情況：1、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【例3】下列方程沒有實(shí)數(shù)根的是（）
A．x2＋4x＝10B．3x2＋8x－3＝0
C．x2－2x＋3＝0D．（x－2）（x－3）＝12
【答案】C．
【解析】
試題分析：A、方程變形為：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)符合題意；
D、方程變形為：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選C．
考點(diǎn)：根的判別式．
歸納4：根與系數(shù)的關(guān)系
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別為x1，x2，則有x1＋x2＝，x1x2＝．
基本方法歸納：一元二次方程問題中，出現(xiàn)方程的解得和與積時(shí)常運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系．
注意問題歸納：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)需滿足：1、方程有解；2、a≠0．
【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的兩根，則α2+β2=（）
A.-8B.32C.16D.40
【答案】C．
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
歸納5：一元二次方程的應(yīng)用
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
1、一元二次方程的應(yīng)用
1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程（組）解應(yīng)用題的步驟相同，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)答五步．
2.列一元二次方程解應(yīng)用題中，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？碱愋?，解決這些問題應(yīng)掌握以下內(nèi)容：
?。?）增長(zhǎng)率等量關(guān)系:
A.增長(zhǎng)率＝×100%；
B.設(shè)a為原來量，m為平均增長(zhǎng)率,n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則a（1+m）n=b;當(dāng)m為平均下降率，n為下降次數(shù)，b為下降后的量時(shí)，則有a（1-m）n=b．
（2）利潤(rùn)等量關(guān)系:
A.利潤(rùn)＝售價(jià)-成本；
B.利潤(rùn)率＝利潤(rùn)成本×100%．
?。?）面積問題
3、解應(yīng)用題的書寫格式：
設(shè)→根據(jù)題意→解這個(gè)方程→答．
基本方法歸納：解題時(shí)先理解題意找到等量關(guān)系列出方程再解方程最后檢驗(yàn)即可．
注意問題歸納：找對(duì)等量關(guān)系最后一定要檢驗(yàn)．
【例5】如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花...
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