《一瓣心香》（節(jié)選）: 歐拉公式完美嗎？
——日記《數(shù)學在哪？》追述
易亞蘇
（一）歐拉公式
歐拉公式：
歐拉公式被譽為最完美的數(shù)學公式，因為1.自然對數(shù)的底e含在其中；2.最重要的常數(shù)π含在其中（提示π作為常數(shù)是十進制數(shù)）；3.最重要的虛數(shù)單位i含在其中；4.最重要的運算符號+（加號）含在其中；5.最重要的關系符號=（等號）含在其中；6.最重要的兩個實數(shù)0和1也含在其中。如果真是如此，說它是最完美的數(shù)學公式，可謂當之無愧。
（二）歐拉公式推導
歐拉公式真的完美嗎？
說一簡單命題：大于零的數(shù)的任意次方大于零。
如果a>0，n為任意數(shù)，那么a^n>0。
將歐拉公式e^iπ+1=0進行簡單移項，e^iπ=-1。歐拉公式中，e>0,那么e^n>0。于是您會發(fā)現(xiàn)一個問題，e^iπ大于零嗎？e^iπ= -1成立嗎？
數(shù)學的熏陶讓我們明白，一個數(shù)的負次方即為這個數(shù)的正次方的倒數(shù)。大于零的數(shù)的任意次方——無論是正次方、還是負次方——其得數(shù)皆是大于零的。怎樣理解自然對數(shù)的底e的虛數(shù)次方問題？回顧一下歐拉公式的推導過程。
歐拉公式推導部分過程：
小結：大于零的數(shù)的任意次方大于零（本日記命題）；e大于零，e的任意次方不可能等于-1，故歐拉公式某些表達式存在嚴重漏洞。
（三）歐拉公式推導存在問題及原因
關注以上“歐拉公式推導部分過程”（2）、（3）和（4），您會發(fā)現(xiàn)問題原因所在。從（2）到（4）：
一是存在數(shù)學進制的隨意混用。在歐拉公式中，作為e的iπ次方的π是常數(shù)，為十進制；而cosπ和sinπ中π使用180°進行運算，為六十進制。歐拉公式推導中進行了兩種進制的混用。
二是存在數(shù)學概念引用的混亂。實數(shù)與虛數(shù)是不同的數(shù)學概念。發(fā)明虛數(shù)的人沿用實數(shù)的運算法則去運算虛數(shù)，卻并未證明其運算的合理性與可信度。歐拉公式中e的i虛數(shù)次方或180°次方，數(shù)學上尚未作定義。
概念不能亂用，概念的亂用往往難以察覺。說話前把概念弄懂，討論時把概念弄同。數(shù)制不可混用，數(shù)制的混用時時都在發(fā)生。運算前把數(shù)制弄清，計算時把數(shù)制弄準。
（四）歐拉公式其它表達
萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler），1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡。歐拉創(chuàng)設了許多數(shù)學符號，例如π（1736年）、i（1777年）、e（1748年）、sin和cos（1748年）、tg（1753年）、x（1755年）、Σ（1755年）、f(x)（1734年）等。歐拉是人類最杰出的數(shù)學家之一，令人尊敬。
筆者喜歡歐拉公式這樣的表達：
這個數(shù)學表達式仿佛提醒關注三角函數(shù)和虛數(shù)的關系，個中或許還隱藏著未來探索的未知或方向。
（推薦參閱《雅俗日記》中《詞玉十雕》序列《易經(jīng)》“數(shù)理別論：‘數(shù)的美麗悖論’淺陋初知”和《觸類旁通》序列《從數(shù)的分類看數(shù)學未來》）
（五）歐拉公式剖析聯(lián)想
一流數(shù)學家談說命題（概念清晰的真命題），二流數(shù)學家列出等式（形式簡明的符號式），三流數(shù)學家嚴謹推證（推導無疵的全過程）。只談說數(shù)學公式美丑的不入流。不假思索的崇媚，無疑是大腦萎縮的一種表現(xiàn)。思考數(shù)學公式美丑，不如思考大腦為何萎縮。哲學的美丑皆在內(nèi)涵，所謂外觀的美，充其量只能形容漂亮，談不上美。
雨后山林，陰涼潮濕的叢林中會有蘑菇生出，而最美麗的蘑菇往往是最有毒的蘑菇。
憑欄望，古人山依在；溝壑縱橫已茫茫，雪架天梯何處去。能不憶江南。
二〇一八年十二月七日星期五日記（2），松柏鎮(zhèn)，神農(nóng)架雪
