初中數(shù)學思想方法初探
朱良茂
摘要：數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分。它反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，是對數(shù)學概念、原理和方法的本質(zhì)認識，是分析和處理數(shù)學問題的指導思想。
關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法；數(shù)學教學；數(shù)學能力

作者簡介：朱良茂，任教于安徽省太湖樸初中學。  

　　數(shù)學教學不僅是數(shù)學知識的教學，更重要的是數(shù)學思想方法的教學。教學中教師應(yīng)注重對學生的觀察、操作、分析、思考能力的培養(yǎng)，更應(yīng)不斷地滲透數(shù)學思想方法，將此作為教學的核心，為學生后繼學習打下堅實的基礎(chǔ)，會使學生終生受益。正如一位哲學家所說：“能使學生終生受用的東西的那種教育，才是最高尚的教育。”
　　數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分，它反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，是對數(shù)學概念、原理和方法的本質(zhì)認識，是分析和處理數(shù)學問題的指導思想。下面就數(shù)形結(jié)合、整體變換、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、逆變換、函數(shù)與方程等數(shù)學思想進行探討。
　　一、數(shù)形結(jié)合思想
　　數(shù)形結(jié)合思想是指看到圖形的一些特征可以想到數(shù)學式子中相應(yīng)的反映，是看到數(shù)學式子的特征就能聯(lián)想到在圖形上相應(yīng)的幾何表現(xiàn)。如教材引入數(shù)軸后，就為數(shù)形結(jié)合思想奠定了基礎(chǔ)。如有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)和絕對位的幾何意義，列方程解應(yīng)用題的畫圖分析等，這種抽象與形象的結(jié)合，能使學生的思維得到訓練。
　　數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。
　　所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式 。
　　縱觀多年來的中考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。
　　例1：如圖所示：比較a，－a，b，－b的大小
　　
簡析：在數(shù)軸上指出-a，-b兩個數(shù)表示的點，四數(shù)大小關(guān)系就一目了
然。
　　例2：有一十字路口，甲從路口出發(fā)向南直行，乙從路口以西1500米處向東直行，已知甲、乙同時出發(fā)，10分鐘后兩人第一次距十字路口的距離相等，40分鐘后兩人再次距十字路口距離相等，求甲、乙兩人的速度。     
　　簡析：畫出“十字”圖，分析表示出兩人在10分鐘、40分鐘時的位置，由圖分析從而列出方程組。
　　二、整體變換思想
　　整體變換思想是指將復雜的代數(shù)式或幾何圖形中的一部分看作一個整體進行變換，使問題簡單化。
例3：已知：y=ax7+bx5+cx3+dx-1，當x=2時，y=4，則當x=-2時，
y=             。
簡析：由已知條件求出：27a+25b+23c+2d的值，整體代入求出x=-2時，
y的值。
例4：有一個六位數(shù)，它的個位數(shù)學是6，如果把6移至第一位前面時
所得到的六位數(shù)是原數(shù)的4倍，求這個六位數(shù)。
簡析：設(shè)這個六位數(shù)的前五位數(shù)為x，那么這個六位數(shù)為：10x+8，整
體處理，問題就簡單化了。
　　三、分類討論思想
　　在解答某些數(shù)學問題時,有時會有多種情況,對各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合求解,這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法,也是一種數(shù)學思想。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓練人的思維條理性和概括性,所以在試題中占有重要的位置。
　　分類評論的一般步驟是：明確討論對象,確定對象的全體→確定分類標準,正確進行分類→逐步進行討論,獲取階段性結(jié)果→歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論。
　　分類討論應(yīng)遵循的原則：分類的對象是確定的,標準是統(tǒng)一的,不遺漏,不重復,分層次,不越級討論。
　　當某個問題有多種情況出現(xiàn)或推導結(jié)果不唯一確定時，常運用分類討論，再加以集中歸納。例如：對|a|要去掉絕對值符號，應(yīng)討論絕對值內(nèi)部式子的符號，要分三種情況去掉絕對值符號。幾何中也存在著一些數(shù)學和位置關(guān)系的分類討論。
　　例5：甲、乙兩人騎自行車，同時從相距75km的兩地相向而行，甲的速度為15km/n，乙的速度為10km/n，經(jīng)過多少小時甲、乙兩人相距25km？
　　簡析：甲、乙兩人相遇前后都會相距25km。分兩種情況解答。
　　例6：在同一圖形內(nèi)，畫出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD是∠AOB的平分線，OE是∠COB的平分線，并求出∠DOE的度數(shù)。
簡析：分∠COB在∠AOB的內(nèi)部和外部兩種情形總圖。
　　四、轉(zhuǎn)化與化歸思想
　　解決某些數(shù)學問題時,如果直接求解較為困難,可通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程,運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換,將問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說較為熟悉的問題),通過新問題的求解,、達到解決原問題的目的。這一思想方法我們稱之為“轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法”。轉(zhuǎn)化是將數(shù)學命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程,化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。轉(zhuǎn)化與化歸思想是中學數(shù)學最基本的思想方法。
　　轉(zhuǎn)化與化歸思想是指根據(jù)已有知識、經(jīng)驗，通過觀察、聯(lián)想、類比等手段，把問題進行變換，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題。如二元一次方程組，三元一次方程組的解決實質(zhì)就是化為解已經(jīng)學過的一元一次方程。如果把若干個人之間握手總次數(shù)（單握）稱為“握手問題”，那么像無三點共線的n個點之間連線；共端點射線夾角（小于平角的角）個數(shù)；一條線段上有若干個點形成的線段的條數(shù)；足球隊之間單個循環(huán)比賽場次都可轉(zhuǎn)化為“握手問題”。
　　例7：用同樣長的火柴組成6個大小相同的正方形，最少要火柴    根。
簡析：這6個大小相同的正方形可看作一個正方體的6個面，這樣所
用火柴最少。（實際上就是正方體的12條棱）。
例8：用同樣長的6根火柴棒擺大小相同的三角形，最多能擺多少個？
簡析：同樣長的6根火柴棒可以看作正三棱錐的三條棱，那么最多能
擺四個三角形。
　　五、逆變換思想
　　逆變換思想是指對一些定義、定理、公式，法則的逆用和對解題思路的逆向分析。如加減、函數(shù)、通分與約分，去括號與添括號與均為互逆變換。
　　例9：計算：2(x-1)=4(x-1)
兩邊同除以2(x-1)  得1=2
問題在于：兩邊同除以一個數(shù)或者一個式子時，這個數(shù)或式子不能為零。因為零是不能作除數(shù)的。顯然，在此題中，x-1=0 即 x=1為原方程的解
　　簡析：逆用乘法分配律。
　　例10：
　　簡析：逆用冪運算法則。
　　例11：當a=       時，|a－|a||=－2a
　　簡析：采用逆向分析，例12先看絕對值結(jié)果，根據(jù)絕對值的非負性得：-2a≥0，則a≤0。
　　六、函數(shù)與方程思想
　　函數(shù)思想是指變量與變量之間的一種對應(yīng)思想。方程思想則指把研究數(shù)學問題中已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成方程或方程組等數(shù)學模型。當函數(shù)值為零時，函數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為方程問題。同樣也可以把方程視為函數(shù)值為零時，求自變量的問題。
例12：一角的余角的3倍和它的補角的互為補角，求這個角的度數(shù)。簡析：幾何題中列方程（組）會使問題解決。
例13：某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人700人，甲、乙兩種工
種的工人的月工資分別為800元和1200元，現(xiàn)要求乙種工種的工人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的3倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？
　　簡析：建立函數(shù)關(guān)系式，確定自變量范圍，利用一次函數(shù)單調(diào)性（增減性）解決問題。
　　總之，在數(shù)學教學中，切實把握好上述幾個典型的數(shù)學思想方法，同時注重滲透的過程，依據(jù)課本內(nèi)容和學生的認識水平，從初中開始有計劃有步驟地滲透，使其成為由知識轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，成為提高學生的學習效率和數(shù)學能力的法寶。

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作者單位：安徽省太湖樸初中學