數(shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，形成具有獨特的解決問題的策略和方法．?dāng)?shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思想方法形成的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、理解以及解決問題具有指導(dǎo)意義．

本講主要學(xué)習(xí)幾個重要的數(shù)學(xué)思想：“正”、“逆”互化、歸納類比、整體代入、分類討論、配方構(gòu)造、待定系數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法．

一、核心知識

二、例題解析

（一）、數(shù)學(xué)公式“正”與“逆”的應(yīng)用

• 【例1】計算：

【點撥】正向應(yīng)用多項式乘法公式，觀察每個乘積的結(jié)果，得出規(guī)律

【解答】

【反思與小結(jié)】對于結(jié)論探究問題，一般利用“特殊——一般——特殊”的規(guī)律，觀察最初的結(jié)論，從而找到規(guī)律，再進行證明。本例觀察最初的兩個等式或三個等式，猜想規(guī)律，再進行證明。

• 【舉一反三】計算與化簡：

【點撥】對于（1）能否利用例1的結(jié)論進行計算與化簡？對于（2）、（3）如何將其轉(zhuǎn)化成例1的形式從而應(yīng)用例1的公式進行解答．

【解答】

• 【例2】

【點撥】“分析法”要求的式子值，要對所求的式子進行通分變形，也要對已知的式子進行變形，變形成次數(shù)相同的式子，帶入解決。

【解答】

【反思與小結(jié)】分析法主要是從結(jié)論出發(fā)，逆向推理，通過分析要得到結(jié)論，需要怎樣的條件，從而逐步接近已知條件的分析過程。本例要得到，就要得到，觀察已知條件，怎樣得到？需要將與的兩邊分別次方和次方，從而得出解答。

• 【例3】計算：

【點撥】思考一：能否從一個因數(shù)開始逐步應(yīng)用“不完全歸納”進行解答？

思考二：觀察每個因式的特點，能否“正”或“逆”用平方差公式？應(yīng)用公式后根據(jù)每個因數(shù)的特點進行解答？

【解答】

【反思與小結(jié)】應(yīng)用不完全歸納法需要大膽猜想，小心驗證與證明。本例既可以根據(jù)各因數(shù)的特點利用乘法交換律和結(jié)合律進行組合解決，又可以利用不完全歸納法進行歸納探究。

• 【舉一反三（1）】

【點撥】能否通過“正”或“逆”用公式化簡所求的代數(shù)式，然后再證明呢？這也是求代數(shù)式的值的常用辦法。

【證明】

• 【舉一反三（2）】如果m為整數(shù)，試說明：m*5-m 能被30整除

【證明】

（二）、利用整體思想化簡求值

• 【例4】

【點撥】“分析法”思考一：要求代數(shù)式的值，觀察已知條件，能否用含x的一次代數(shù)式分別表示出所求式子中的每一項，再進行化簡求解呢？這種“各個擊破”的方法是解決此問題的關(guān)鍵。

思考二：要求代數(shù)式的值，能否將已知的條件作為一個整體代入求解？這種整體代入的方法也是一種常用方法。

【解答】

【反思與小結(jié)】對于含“零值多項式”的問題一般將要求代數(shù)式當(dāng)成被除式，“零值多項式”作為除式，將要求代數(shù)式寫成“被除式=除式×商式+余式”的形式，一般的余式為已知常數(shù)。從而得出解答。也可以根據(jù)“零值多項式”的特點，用含多項式中字母的一次式表示高次式，采取逐步“降次代入”，從而得出解答。本例采用兩種方法均可。

• 【舉一反三】

【點撥】本題的解決策略與例4一樣，可以考慮“各個擊破”法。

【解答】

（三）、“整體思想”、“待定系數(shù)法”的初步應(yīng)用

• 【例5】

【點撥】思考一：根據(jù)題意列出算式，能否根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等解決問題？

思考二：能否用“方程、等式”的觀點分析解決？觀察得到的方程解有何特點？能否代入幾個特殊解進行解答？

【解答】

【反思與小結(jié)】解決多項式的整除、含因式問題一般有兩種解決策略。第一種：利用待定系數(shù)法寫成等式形式，利用對應(yīng)系數(shù)相等，解決問題；第二種：寫成等式形式，對于含未知數(shù)的等式看成方程，而這個方程有無數(shù)個解（每個數(shù)都是它的解），可以利用幾個特殊的數(shù)進行解答。

• 【例6】如果多項式能夠被整除，求的值

【點撥】根據(jù)已知條件將其轉(zhuǎn)化成等式形式解答．

【解答】

【反思與小結(jié)】本例既可以利用待定系數(shù)法又可以應(yīng)用等式方程法解答。

（四）、完全平方數(shù)的構(gòu)造與證明

• 【例7】觀察一列數(shù)：

49，4489，444889，44448889，4444488889，………，

這列數(shù)中的每個數(shù)是否是完全平方數(shù)？如果是，請說明它們是完全平方數(shù)的理由．

【點撥】觀察49=7*2，能否得到4489=（ ）2？作出猜想，思考如何表示這列數(shù)？如何證明它們是完全平方數(shù)？

【解答】

【反思與小結(jié)】對于猜想驗證或證明完全平方式的問題，一般采用字母表示要驗證的式子，從而利用多項式的完全平方式解決問題。解答此類問題，主要注意的應(yīng)用。

（五）、整除問題的驗證與證明（以下例題為選講內(nèi)容）

【例8】若m為正整數(shù)，求證：m*3+11m必定能被6整除；

【點撥】“分析法”要證明能被6整除，只要證明能被2整除和能被3整除即可．

對于能被2整除，只要說明是偶數(shù)即可；對于能被3整除，則需要分類說明能被3整除，則問題解決．

【解答】

【反思與小結(jié)】對于含m多項式能被具體數(shù)字n整除的問題的解決策略是分類討論，將m分成n類，分類討論，分別進行證明，從而問題得證。

• 【舉一反三】若正整數(shù)a、b、c滿足a*2+b*2=c*2，且a、b、c的最大公約數(shù)為1，

①試說明：a、b、c中至少有一個能被3整除；

②試說明：a、b、c中至少有一個能被5整除；

【點撥】要證明：a、b、c中至少一個能被3整除，不容易證明，能否假設(shè)a、b、c都不能被3整除，推出矛盾，從而說明a、b、c中至少一個能被3整除？進一步思考：正整數(shù)a、b、c被3除的余數(shù)如何表示？有幾種情況？能否對每種情況分析討論？

同樣方法證明：a、b、c中至少有一個能被5整除；

【解答】

【課后練習(xí)】①若a為奇數(shù)，說明：a*2被8除的余數(shù)是1；

②利用①證明：若正整數(shù)a、b、c滿足a*2+b*2=c*2，且a、b、c的最大公約數(shù)為1，

試說明：a、b、c中至少有一個能被4整除；

三、積累與反思

本講主要學(xué)習(xí)了公式的“正”、“逆”的應(yīng)用以及歸納類比、整體代入、分類討論、配方構(gòu)造、待定系數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)于多項式的理論中含有的數(shù)學(xué)思想方法比較廣泛，在進行恒等式變形時，要注意應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，從而提高解決問題的能力。