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拿破侖定理

　在△ABC中,向三邊分別向外側(cè)作正三角形，然后把這三個(gè)正三角形的中心連結(jié)起來所構(gòu)成的一定是正三角形.

這一定理可以等價(jià)描述為：若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形，則它們的頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．

拿破侖定理證明方法

1.在許莼舫的三圓共點(diǎn)的啟發(fā)下，用四點(diǎn)共圓來獲得奇妙的證明。

2.輔助線，證明此題。

3.用三角形的全等，三角形的相似推導(dǎo)出來該定理。

4.用旋轉(zhuǎn)的方法也證明了該定理。

　　在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABD，等邊△ACF，等邊△BCE。

　　如何證明：CD=AE=BF？

　　思路：利用旋轉(zhuǎn)的方法來證明包含有這兩條線段的兩個(gè)三角形全等。

　　證明：∵△ABD是等邊三角形；△ACF是等邊三角形；

　　∴∠DAB=∠FAC=60°；

　　∴∠DAC=∠BAF；

　　在△DAC和△BAF中；

　　DA=BA；

　　∠DAC=∠BAF；

　　CA=FA；

　　∴△DAC≌△BAF；（SAS）

　　∴CD=BF；

　　∵△ABD和△BCE是等邊三角形；

　　∴∠DBA=∠EBC=60°；

　　∴∠DBC=∠ABE；

　　在△DBC和△ABE中；

　　BD=BA；

　　∠DBC=∠ABE；

　　BC=BE；

　　∴△DBC≌△ABE；（SAS）

　　∴CD=AE；

　　∴ CD=BF=AE；

利用四點(diǎn)共圓來證明三圓共點(diǎn)。這是證明拿破侖定理的基礎(chǔ)。

　　在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABD，等邊△ACF，等邊△BCE。

　　如何證明：這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)？

　　思路：利用四點(diǎn)共圓來證明三圓共點(diǎn)。這是證明拿破侖定理的基礎(chǔ)。

　　證明：設(shè)等邊△ABD的外接圓和等邊△ACF的外接圓相交于O；連AO、CO、BO。

　　∴∠ADB=∠AFC=60°；

　　∵ A、D、B、O四點(diǎn)共圓；A、F、C、O四點(diǎn)共圓；

　　∴∠AOB=∠AOC=120°；

　　∴∠BOC=120°；

　　∵△BCE是等邊三角形

　　∴∠BEC=60°；

　　∴ B、E、C、O四點(diǎn)共圓；

　　∴ 這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)。

結(jié)論：因?yàn)橹芙堑扔?span lang="EN-US">360°，所以，∠AOB= ∠AOC=120°時(shí)，∠BOC就等于120°；

用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)定理和判定定理來證明三圓共點(diǎn)的問題

　　在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABD，等邊△ACF，等邊△BCE。

　　求證：這3個(gè)等邊三角形的中心M、N、P的連線構(gòu)成一個(gè)等邊三角形？

　　思路：利用已有的三個(gè)圓和三個(gè)四點(diǎn)共圓來證明。

　　證明：設(shè)等邊△ABD的外接圓⊙N，等邊△ACF的外接圓⊙M，等邊△BCE的外接圓⊙P

　　相交于O；連AO、CO、BO。

　　∵ A、D、B、O四點(diǎn)共圓；

　　A、F、C、O四點(diǎn)共圓

　　B、E、C、O四點(diǎn)共圓

　　∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；

　　∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；

　　∵ NP、MP、MN是連心線；

　　BO、CO、AO是公共弦；

　　∴BO⊥NP于X；

　　CO⊥MP于Y；

　　AO⊥NM于Z。

　　∴ X、P、Y、O四點(diǎn)共圓；

　　Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓；

　　Z、N、X、O四點(diǎn)共圓；

　　∴∠N=∠M=∠P=60°；

　　即△MNP是等邊三角形。

　　結(jié)論：圖中本沒有圓，為了方便讀圖，我特地畫出了三個(gè)等邊三角形的外接圓：⊙N、⊙M、⊙P，而且還有三個(gè)四點(diǎn)共圓之輔助圓。一共六個(gè)圓。這是多么奇妙的構(gòu)思啊！

　　其他的證法：

　　在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABD，等邊△ACF，等邊△BCE。

　　如何證明：這三個(gè)等邊三角形的中心的連線構(gòu)成一個(gè)等邊三角形？

　　思路1：為了充分展示這個(gè)命題的證法之蹊蹺，請(qǐng)看學(xué)生自己的證法。利用旋轉(zhuǎn)的三角形全等來證明。

　　證明1：將△NBP繞? 臥點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°至△GCP；連GM；則NP=PG，∠CGP=∠BNP；

　　設(shè)∠ABC=α、∠ACB=β；

　　∠NBP=60°+α；

　　∴∠GCP=60°+α；

　　∵∠MCP=60°+β；

　　∴∠GCM=360°-（60°+α）

　　-（60°+β）；

　　=240°-（α+β）；

　　=240°-（180-∠BAC）

　　=60°+∠BAC；

　　=∠NAM；

　　在△MAN和△MCG中；

　　MC=MA；

　　∠GCM=∠NAM；

　　CG=NA；

　　∴△MAN≌△MCG；（SAS）

　　∴MN=MG；∠CGM=∠ANM；∠CMG=∠AMN；

　　在△MNP和△MGP中；

　　MN=MG；

　　PM=PM；

　　PN=PG；

　　∴△MNP≌△MGP；（SSS）

　　∴MN=MG；∠PNM=∠PGM；∠PMN=∠PMG；

　　∵∠BNA=120°

　　∴∠MNP=∠MGP=∠CGP+∠CGM=∠BNP+∠ANM=60°；

　　∵∠AMC=120°；∠CMG=∠AMN；

　　∴∠NMG=120& deg;；

　　∴∠PMN=∠PMG=60°；

　　∴∠N=∠M=∠P=60°；

　　即△MNP是等邊三角形。

結(jié)論1：該證法：第一步：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)三角形全等△MAN≌△MCG；第二步：證明翻折的兩個(gè)三角形全等△MNP≌△MGP；第三步：由∠BNA=120°推導(dǎo)出∠MNP=60°；第四步：由∠AMC=120°推導(dǎo)出∠PMN=∠PMG=60°。這后兩步更艱難??！

　　思路2：為了更充分展示這個(gè)命題的證法之蹊蹺，請(qǐng)看我自己的證法。利用旋轉(zhuǎn)的三角形相似來證明。

　　證明2：如圖8-28乙所示：連NA、NB；MA、MC；PB、PC。再連CD、BF、AE。

　　∵∠BAF=60°+∠BAC；

　　∠DAC=60°+∠BAC；

　　∴∠BAF=∠DAC；

　　在△BAF和△DAC中；

　　DA=BA；

　　∠BAF=∠DAC；

　　CA=FA；

　　∴△BAF≌△DAC；（SAS）

　　∴DC=BF

　　同理：DC=AE；

　　∴DC=BF=AE；

　　∵∠NAM=60°+∠BAC；

　　∠DAC=60°+∠BAC；

　　∴ ∠NAM=∠DAC；

　　∵AD=2ANcos30°=AN

　　AC=2AMcos30°=AM

　　∴ =

　　在△NAM和△DAC中；

　　= ；

　　∠NAM=∠DAC；

　　∴△NAM∽△DAC；（SAS）

　　∴ =；

　　同理：=、=。

　　∴NM=MP=PN；

　　即△MNP是等邊三角形。

　　結(jié)論2：該證法：第一步：證明旋轉(zhuǎn)的三個(gè)三角形全等△DAC≌△BAF≌△EAB；得到：DC=BF=AE。這是一般的學(xué)生都能做到的。第二步：證明旋轉(zhuǎn)的三對(duì)三角形相似△NAM∽△DAC；△MCP∽△FCB；△PBN∽△EBA！這也是一般的學(xué)生都能做到的，但是組合起來就不是一般學(xué)生所能想到的。須知：第一：用SAS證相似就不是一道簡(jiǎn)單的相似題了。第二：任何復(fù)雜的問題都是由簡(jiǎn)單的問題復(fù)合而成的。

　　證明法三：

　　以作出的三個(gè)等邊三角形的中點(diǎn)（外心）構(gòu)造三個(gè)外接圓⊙X，⊙Y，⊙Z

拿破侖定理第三證明圖

　　交于根心O（根心定理）

　　連接AO、BO、CO為根軸

　　XY、YZ、XZ為等邊三角形外接圓的連心線

　　∵平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線

　　∴AO⊥YZ，BO⊥XZ，CO⊥XY

　　且有四邊形BOCE、AOCD、FBOA為圓內(nèi)接四邊形

　　∴∠BOC、∠AOC、∠AOB為120°

　　（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，角BEC、CDA、BFA為60度）

　　∴∠X=360-120-90-90=60°同理可得∠Y=60° ∠Z=60°。

拿破侖定理的兩種推廣

定理1

　　以△ABC的三邊為底邊各向形外作等腰三角形BCD，CAE和ABF，這三個(gè)等腰三角形的底角各為α，β和γ，且α+β+γ=90°，則

　　∠FDE=90°-α，∠DEF=90°-β，∠EFD=90°-γ．

證明

　　為方便計(jì)，把△ABC的三內(nèi)角簡(jiǎn)記為A、B、C．因DC=DB，則可將△DCE繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)∠BDC至△DBG位置，連FG．

　　∵∠FBG=360°-∠DBF-∠DBG

　　=360°-(α+β+γ) - (α+C+β)

　　=180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ

　　=A+β+γ=∠FAE．

　　又BG=CE=AE，FB=FA，

　　∴△FBG≌△FAE，FG=FE．

　　從而△DGF≌△DEF，∠FDG=∠FDE，

　　同理∠DEF=90°-β，∠EFD=90°-γ．

定理2．

　　在△ABC的外側(cè)作三角形△BCP、△CAQ和△ABR，使∠PBC=∠QAC=α，∠PCB=∠QCA=β，∠RAB=∠RBA=γ，且α+β+γ=90°，則RQ=RP，且∠QRP=2α．

證明

　　RB繞R逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α至RG，連BG、AG、QG．

　　∵∠GBA=∠GBR-γ

　　=90°-α-γ

　　=β

　　又RA=RB=RG，

　　即R為△ABG的外心，

　　∴△ABG∽△ACQ∽△BCP，

　　又∠BAC=∠GAQ，

　　又∠RGQ=∠AGQ+∠AGR

　　=∠ABC+α+γ=∠RBP，

　　∴∠RGQ≌△RBP．

　　∴RQ=RP．

　　又因∠GRQ=∠BRP，

　　∴∠QRP=∠GRB=2α．

計(jì)算法證明:

　　設(shè)新三個(gè)三角形的中心分別是O1　O2　O3，

　　設(shè)出角度及邊長(zhǎng)，表達(dá)出∣O1O2∣及∣O1O3∣的長(zhǎng).經(jīng)計(jì)算均等于（a2+b2+c2）/6]+(abc/2*√3*R)

　　其中分別為三邊長(zhǎng)，R為三角形ABC外接圓半徑

　　有興趣的朋友可以試試（尤其是高中朋友，可作為三角部分的練習(xí)題）

　　還可以用余弦定理來證明，思路是用三角形三邊長(zhǎng)a,b,c和（余弦定理）來表示等邊三角形三邊邊長(zhǎng)，輔助線很簡(jiǎn)單。