初中數學 | 平面幾何的模型與方法系列分享（六） “兩形”之等邊三角形5

周五 | 全科專欄

師訓君評

在上篇文章中，作者使用“一條直線和一個等邊三角形來構圖”，研究了可能形成的“特殊位置的特殊結論和運動不變性”。

這次，作者將使用“兩條線段和一個等邊三角形來構圖”，研究它們之間可能形成的“特殊位置的特殊結論和運動不變性”。

其實，這邊文章可以叫做“等邊三角形和兩條線段的故事”，請認真讀完本期的內容，感受一下幾何模型的魅力吧。

回顧往期文章請點擊這里：

《初中數學|平面幾何的模型與方法系列分享（一）總綱》

《初中數學|平面幾何的模型與方法系列分享（二）“兩形”之等邊三角形》

《初中數學|平面幾何的模型與方法系列分享（三）“兩形”之等邊三角形2》

《初中數學|平面幾何的模型與方法系列分享（四）“兩形”之等邊三角形3》

《初中數學|平面幾何的模型與方法系列分享（五）“兩形”之等邊三角形4》

上一次，我使用了一條直線和一個等邊三角形來構圖，研究幾何模型和結論，分別考慮了以下三種情況：

直線和等邊三角形的一邊平行；
直線和等邊三角形的一邊垂直；
直線和等邊三角形的一邊構成任意夾角；

那么，如果這條直線“穿過”等邊三角形呢？

如下圖：

只是這一條直線，是沒有辦法形成任何命題和結論的。但是如果再增加一條直線，就可以形成非?！敖浀涞膸缀文Ｐ汀绷?。如下圖：

只不過，此時所有的命題和結論其實只需要“線段”就可以了，并不需要“直線”。

所以，本篇文章的內容研究，我都從“等邊三角形和兩條線段的構圖”來研究幾何模型和方法。

命題1：在等邊△ABC中，BD=CE，你能推導出什么結論？

如圖，

結論1：△ABD≌△BCE（通過邊角邊來證明）

結論2： AD=BE（由結論1的全等得出）

結論3：∠APE=60°（由結論1的全等得出∠1=∠2，然后再倒角證明）

結論4：P、D、C、E四點共圓（由結論3導出）

因為∠APE=60°，所以∠APB=120°，這個角度具有“不變性”，所以點P可以看作是“以AB為弦”的圓Q上的一個動點，其運動路徑是三分之一圓弧，由弧長公式就可以求出來。

結論6：這個模型中包含4對相似

你能先看看下圖，找到它們嗎？

它們分別是：

△ABD∽△BPD

△BPD∽△BCE

△APE∽△ACD

△EPA∽△EAB

命題2：在等邊△ABC中，AD=BE，你能推導出什么結論？

這時需要分類討論，第一種情況，如圖：

AD、BE關于AB上的高CF對稱，此時△ACD≌△BCE。

第二種情況，如圖：已知AD=BE，請證明∠APE=60°.

請注意，這時由已知條件得到的是“邊邊角”，不能證明△ABD≌△BCE，怎么辦呢？

根據“從已知推未知”的思想，我們可以把第二種情況和第一種情況聯(lián)系起來，如圖：

作AD關于BC上的高AH對稱的線段AD’，轉化為第一種情況，可證CD’=CE，所以BD=CD’=CE，這樣就化為了我們最開始提出的基本問題了。

命題3:在等邊△ABC中∠APE=60°

求證：AD=BE，BD=CE。

如圖：

這個證明比較簡單，利用60°和外角定理，證明∠1=∠2，然后證明△ABD≌△BCE。

接下來，我們進行一點拓展，“再增加一些條件”，看看有什么結論。

拓展１：增加“外接圓”

命題４:在等邊△ABC中，BD=CE延長AD交△ABC的外接圓于點Q，請證明：BQ=BP。

如圖：

這個證明很容易，直接利用“同弧所對的圓周角相等”，可以證明∠AQB=∠ACB=60°，從而證明△BQP是等邊三角形，所以BQ=BP。

同時，要注意到這里又再次神奇般的出現(xiàn)了“等邊+120°”模型，所以，還可以證明AQ=BQ+CQ.

此外，如果再延長BE，交外接圓于G，則BP=CG。

證明也很簡單，只需要證明△ABQ≌△BCG，然后證明CG=BQ=BP。

拓展2：增加“特殊位置”

命題5:在等邊△ABC中，BD=CE，且CP⊥AP，求證AP=2BP.

如圖：

這個問題有點難度哦，聰明的你不妨先思考一下，再往下看。

這里給出一種解法，供參考：

第1步

以AC中點Q為圓心，AC為直徑作圓，則點P在圓上；延長BE交圓Q于F，連接AF和CF，則∠AFC=90°.同時由之前的基本結論∠APE=60°，可知∠CPE=30°，所以根據同弧所對圓周角相等，∠FAC=30°，∠BAF=90°.

第2步

分別過點P和F作AB和BC的垂線，如上圖.

第3步

可以證明△BGP∽△BAF. 可得：BP·AF=BF·GP.

第4步

可以證明△AGP∽△BHF. 可得：BF·GP= FH·AP,所以BP·AF= FH·AP,

即AP:BP=AF:FH.

第5步

可以證明△AFC∽△FHC.

所以，AP:BP=AF:FH=AC:FC=2.

拓展3：從線段內部到“延長線上”

命題６：△ABC是等邊三角形，BD=CE，求證：DA=DE.

如圖，

我將這個擴展模型作為我們本篇文章的結尾，不妨留作思考題給大家。歡迎聯(lián)系我交流各種證明方法！

結語：

好了，“等邊三角形和兩條線段的故事”就講到這里。我相信其中的每一個模型都還可以有其他的拓展和延伸。歡迎大家一起學習，共同進步，如果各位讀者有新的一些拓展結論，請聯(lián)系我交流一下。

如果你覺得這篇文章對你有一點價值，請記得收藏和點贊，我們下期再見！

下期內容預告

初中數學|平面幾何的模型與方法系列分享（七）“兩形”之等邊三角形6

關于作者

樊浪，新東方教育科技集團中級教學培訓師，新東方優(yōu)能中學推廣管理中心高級產品架構師，新東方二十周年功勛教師。

本站僅提供存儲服務，所有內容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權內容，請點擊舉報。

开心六月综合激情婷婷|欧美精品成人动漫二区|国产中文字幕综合色|亚洲人在线成视频