作者：周飛鵬

本文是Barra協(xié)方差矩陣Eigen-Adjust調(diào)整（Jose Menchero, Jun Wang, D.J.Orr, 2011）的中國市場檢驗(yàn)。我們測試了A股市場上四種資產(chǎn)或組合的預(yù)期波動與實(shí)際波動的偏差，并發(fā)現(xiàn)特征因子組合（Eigenfactors）以及利用有效前沿（Markowitz, 1952）計算的最優(yōu)組合，波動率偏誤較大，存在較嚴(yán)重低估真實(shí)波動率的情況。

我們接著用Eigen-Adjust方法對協(xié)方差矩陣進(jìn)行調(diào)整，檢驗(yàn)了利用調(diào)整后的協(xié)方差矩陣所構(gòu)建的最優(yōu)化組合以及特征因子組合，發(fā)現(xiàn)其預(yù)期波動率與實(shí)際波動率的偏差被大幅消除。最后我們根據(jù)偏差統(tǒng)計量測試了模型中不同放縮系數(shù)的調(diào)整效果。

實(shí)證檢驗(yàn)證明了可以利用Eigen-Adjustment消減協(xié)方差矩陣估計的偏誤，對于提高資產(chǎn)配置的樣本外表現(xiàn)具有重大意義。同時，本文中的資產(chǎn)也可以用因子替代（某因子收益率即為純因子組合），在利用因子投資的過程中也可以利用該方法對因子收益率協(xié)方差矩陣進(jìn)行調(diào)整以大幅降低估計的偏差。

對資產(chǎn)收益率協(xié)方差矩陣的估計是許多資產(chǎn)配置問題中的核心命題。馬克維茨（1952）提出的均值-方差框架在開創(chuàng)定量研究上取得成功，但同時在應(yīng)用過程中也常受質(zhì)疑，其中最大的問題在于資產(chǎn)預(yù)期收益率以及協(xié)方差矩陣的估計常與現(xiàn)實(shí)存在較大偏差。比如，有學(xué)者指出，均值-方差框架的優(yōu)化器（Optimizers）實(shí)際上是“誤差最大化器”，最優(yōu)化過程傾向于把更多的權(quán)重放在預(yù)期收益率估計誤差最大的資產(chǎn)上，導(dǎo)致樣本外表現(xiàn)較差。類似的，優(yōu)化器傾向于把大量的對沖性頭寸放在樣本內(nèi)有高度相關(guān)性同時收益差又較低的資產(chǎn)上，若相關(guān)性在樣本外難以持續(xù)，組合風(fēng)險將大于預(yù)期。

因此，如何獲得更準(zhǔn)確的收益、協(xié)方差矩陣的估計成為能否應(yīng)用均值-方差框架的核心問題。Jose Menchero, Jun Wang, D.J. Orr（2011）基于矩陣特征分解以及Monte Carlo模擬的方法提出一種對協(xié)方差矩陣的調(diào)整手段，稱之為Eigen-Adjusted Covariance，并在美國權(quán)益市場上的回測中檢驗(yàn)了其具有良好的消減估計偏差的效果。

本文將介紹Eigen-Adjustment的原理及過程，同時在中國A股市場上檢驗(yàn)其調(diào)整效果。

我們首先會基于50只股票構(gòu)建四種組合，并計算超過12年的范圍內(nèi)、四種組合的波動率偏差統(tǒng)計量。

這50只股票篩選方式為：2019年1月23日自由流通市值最大、且2006年以來都有數(shù)據(jù)、剔除（廣發(fā)證券：000776.SZ）后的前50個公司（剔除“廣發(fā)證券”原因是其在2006年初波動率異常）。整個回測區(qū)間為：2006年1月1日-2019年1月23日。

股票收益率采用相對“市場”超額，此處的“市場收益率”為50只票的自由流通市值加權(quán)：

我們采用周期T=200個交易日滾動計算資產(chǎn)協(xié)方差矩陣V0，計算方式如下：

我們記n=0時為市場收益，即：

Menchero（2011）定義了一種波動率偏差統(tǒng)計量，計算方式如下：

記Rt是t日組合收益率，σt是在t日開始時對組合波動率的預(yù)測值，則可計算一個標(biāo)準(zhǔn)化的收益：

偏差統(tǒng)計量即由該標(biāo)準(zhǔn)化收益的標(biāo)準(zhǔn)差表示：

τ為測試窗口的天數(shù)，等于總回測區(qū)間交易日數(shù)減去協(xié)方差矩陣的滾動周期所含交易日數(shù)。

該偏差統(tǒng)計量代表了已實(shí)現(xiàn)波動率與預(yù)測波動率的比值，若預(yù)測精準(zhǔn)，我們期待B≈1。但B永遠(yuǎn)不會等于1，通常會按給定置信水平找到一個置信區(qū)間，在正態(tài)性假設(shè)以及精準(zhǔn)預(yù)測下，Menchero給出95%置信區(qū)間大概為

但是真實(shí)的金融數(shù)據(jù)往往是厚尾的，落入置信區(qū)間的樣本為減少；同時，不會有準(zhǔn)確預(yù)測，因此前面給出的置信區(qū)間也過于嚴(yán)格。但我們不會圍繞B是否等于1做過多討論，我們的重點(diǎn)是使用該統(tǒng)計量去觀察過大的B偵測到的風(fēng)險預(yù)測中過大的系統(tǒng)偏誤。

我們首先考察個股在回測區(qū)間內(nèi)的波動率預(yù)測偏差統(tǒng)計量，每天收盤收益即t日收益率，前一天收盤后計算的過去200個交易日標(biāo)準(zhǔn)差即為t日開始時預(yù)測波動率，由此計算50個股票和市場組合的偏差統(tǒng)計量，如圖1顯示，股票按整個回測區(qū)間內(nèi)已實(shí)現(xiàn)波動率的升序排列。可以看到偏差統(tǒng)計量幾乎都在1附近，說明在個股層面上，樣本協(xié)方差矩陣V0（此處其實(shí)就是標(biāo)準(zhǔn)差）提供了很好的預(yù)測準(zhǔn)確性。

接著，我們測試100個隨機(jī)組合的波動率偏差。組合收益由下式給定：

fnt為股票n在第t天的收益率（相對市場超額），εln為隨機(jī)組合l中股票n的權(quán)重，為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽樣得到的隨機(jī)數(shù)，并且強(qiáng)制限定當(dāng)n=0，即市場組合，εln=0。得到隨機(jī)權(quán)重后，每組內(nèi)權(quán)重再進(jìn)行Z-SCORE標(biāo)準(zhǔn)化，這樣每個隨機(jī)組合就是零額投資的。

圖2展示了這100個隨機(jī)組合（按整個回測區(qū)間內(nèi)已實(shí)現(xiàn)波動率升序排列）的波動率偏差統(tǒng)計量（計算時，組合在某天的預(yù)期波動率由過去T=200天內(nèi)股票收益率協(xié)方差矩陣以及股票權(quán)重向量得到），可以看到，絕大多數(shù)的組合偏差接近于1，說明對于隨機(jī)組合來說，協(xié)方差矩陣對組合波動率有較好的預(yù)測能力。

首先給出“特征因子組合”（Eigenfactors）的定義。

給定一個樣本內(nèi)協(xié)方差矩陣V0，對其進(jìn)行特征分解，即可得到一個由V0的特征向量構(gòu)成的方陣。該方陣中每一列為一個V0的特征向量，即為一個特征因子組合在個股上的權(quán)重。即一個特征向量代表了一個特征因子組合（Eigenfactors）。

由特征分解的結(jié)果可知，這些特征因子組合之間的相關(guān)性為零（?? = ????0????），特征因子組合間的協(xié)方差矩陣在非對角線元素上為零。

特征因子組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義并不明顯（考慮其權(quán)重代表什么？），但是Menchero指出，它們在組合優(yōu)化的過程中扮演重要角色。例如，第一個特征因子組合，實(shí)際上是最小化組合方差問題在權(quán)重和為1的約束下的解；而與之對應(yīng)的，最后一個特征因子組合是在最大化組合方差上的解。

這實(shí)際上在暗示我們通常我們對最優(yōu)化組合風(fēng)險的低估來源于特征因子組合（即特征向量）。為深入研究，我們計算了50個特征因子組合（協(xié)方差矩陣的維數(shù)應(yīng)該等于特征向量數(shù)目），在整個回測周期上的偏差統(tǒng)計量，結(jié)果如下圖。

可以看到特征組合的波動率偏差與序號有明顯負(fù)相關(guān)性，最左端的特征組合是最小化方差的解，存在著對真實(shí)波動率的嚴(yán)重低估，而最右端為最大化方差組合，存在對真實(shí)波動一定程度的高估。總體上，特征組合的波動率偏差統(tǒng)計量偏離1較遠(yuǎn)，且實(shí)際中我們常使用最小方差作為組合優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，而測試結(jié)果證實(shí)了這種做法確實(shí)會低估真實(shí)波動，這是我們最為憂慮的。

前面我們提到特征因子組合與最優(yōu)化的結(jié)果有著某種聯(lián)系，但每個組合的經(jīng)濟(jì)意義依舊不是非常明確，因此這里我們直接研究最優(yōu)化給出的組合中是否存在用預(yù)測波動率會產(chǎn)生較大的偏誤。

由于真實(shí)股價數(shù)據(jù)已經(jīng)給定，在特定約束條件下我們只能找到一個最優(yōu)組合，這對研究偏誤是不夠的。為了研究多個最優(yōu)組合，我們依然采用產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法模擬產(chǎn)生最優(yōu)組合。

在真實(shí)股價給定的情況下，為了生成100個最優(yōu)組合，我們需要有與之對應(yīng)的100個預(yù)期收益率，對應(yīng)100種情境；而預(yù)期協(xié)方差矩陣則都是用同一個，即由真實(shí)股價滾動計算得到的V0。

我們隨機(jī)生成100個alpha信號：

等式右邊第一個參數(shù)是第j個組合第n個股票的預(yù)期收益率（常數(shù)），從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽樣得到；

等式右邊第二個參數(shù)是組合j在第t天截面上所有股票的等式右邊第一個參數(shù)市值加權(quán)均值。

等式右邊整體即得組合j中股票n在t日的alpha：等式左邊。

我們隨即利用樣本協(xié)方差矩陣V0以及預(yù)期收益率：等式左邊，在組合alpha即ω‘α=1的約束下構(gòu)建最小方差組合。根據(jù)Grinold and Kahn（2000），在組合收益為1約束下的最小方差組合權(quán)重由下式給出：

V即樣本協(xié)方差矩陣，α為等式左邊構(gòu)成的列向量，即各股預(yù)期收益向量。

這樣就得到了100個最優(yōu)化組合在每天各股上的權(quán)重，繼而可計算每個組合當(dāng)日的收益率Rjt：

hjnt為最優(yōu)權(quán)重，fnt為各股當(dāng)日真實(shí)超額收益。

此處需要思考一下這個過程。100個組合中，每個組合內(nèi)各股的預(yù)期收益率向量是隨機(jī)產(chǎn)生的，但產(chǎn)生后就是“常數(shù)”（實(shí)際上并非常數(shù)，差別來源于與每日股票市值變化導(dǎo)致的α-jt變化），這一步實(shí)際上是用相對固定的預(yù)期收益率來區(qū)別100個組合。同時，也許會有疑惑，為什么預(yù)期收益率是模擬產(chǎn)生的，計算最優(yōu)化結(jié)果的另一輸入——協(xié)方差矩陣用的又是真實(shí)樣本協(xié)方差陣，且計算組合收益時又用個股的真實(shí)收益率？其實(shí)這不難理解。模擬值的意義是，假設(shè)在某種情境下，我們的各股具有模擬出的預(yù)期收益率，但是真實(shí)股價相當(dāng)于是抽樣，其樣本均值不一定要與預(yù)期收益率相同。樣本協(xié)方差矩陣其實(shí)代表了相關(guān)性與波動率，用協(xié)方差陣和預(yù)期收益率，即可確定各股的預(yù)期分布，真實(shí)股價是此分布的抽樣。前文提到均值-方差框架的兩個輸入量：收益、波動的估計不準(zhǔn)導(dǎo)致最優(yōu)化結(jié)果不理想，所以我們此處做的就是假設(shè)預(yù)期收益是正態(tài)的也是“準(zhǔn)確的”，只留下波動的預(yù)期由樣本協(xié)方差確定，相當(dāng)于控制變量，我們便可針對性地研究由于波動率估計不準(zhǔn)確帶來的偏誤。

利用Rjt及協(xié)方差矩陣便可計算波動偏差統(tǒng)計量。

下圖為100個最優(yōu)化組合的波動率偏差統(tǒng)計量（中位數(shù):1.503），可以直觀地看到幾乎所有組合的樣本協(xié)方差矩陣都嚴(yán)重低估了組合的真實(shí)波動率，因此不難想象這些最優(yōu)化出來的結(jié)果在樣本外不會帶來太好的表現(xiàn)。

用數(shù)值模擬估計特征因子偏誤

前面我們看到不論是特征因子組合還是最小方差組合，樣本協(xié)方差對組合波動率的估計有系統(tǒng)性的偏誤，主要體現(xiàn)為低估真實(shí)波動。因此我們考慮對樣本協(xié)方差進(jìn)行調(diào)整以盡可能消除這種偏誤，具體的，我們從協(xié)方差陣的特征因子組合也就是矩陣的特征向量矩陣入手研究，期望通過對特征組合的波動率調(diào)整，以達(dá)到對協(xié)方差陣的調(diào)整。

Menchero（2011）指出，我們可以通過數(shù)值模擬的過程，假定樣本協(xié)方差代表真實(shí)的波動率，也就是預(yù)期波動率，統(tǒng)計在預(yù)期波動率給定的情況下，模擬出的“樣本協(xié)方差”與預(yù)期波動率的偏差，并利用這種偏差反過來對樣本協(xié)方差進(jìn)行調(diào)整。這是因?yàn)镸enchero發(fā)現(xiàn)模擬出來的“樣本協(xié)方差”與真實(shí)樣本協(xié)方差（即模擬過程中的預(yù)期波動）間的偏差，和真實(shí)樣本協(xié)方差與真實(shí)波動率間的偏差極為相似?；诖?，數(shù)值模擬過程可以用以消除特征因子組合的波動率偏誤。

前面我們說明了數(shù)值模擬過程可以用以消除特征因子組合的波動率偏誤，那么本能的，我們就想用這種方法對協(xié)方差矩陣進(jìn)行調(diào)整，并檢驗(yàn)基于調(diào)整后協(xié)方差陣構(gòu)造的兩種資產(chǎn)組合（特征因子組合、最優(yōu)化組合）的波動率偏差統(tǒng)計量，是否被有效調(diào)整至1附近。

調(diào)整過程如下：

1、首先用收益率向量f(N×T)計算樣本協(xié)方差矩陣V0(N×N)的無偏估計。

2、對V0特征分解得到特征因子組合U0(N×N)、及其協(xié)方差矩陣D0(N×N)。D0是對特征因子組合協(xié)方差陣的無偏估計。

3、此時，我們暫時假設(shè)樣本協(xié)方差陣V0是“真實(shí)的”收益分布，那么D0就是“真實(shí)的”特征因子組合協(xié)方差陣，繼而可以利D0用產(chǎn)生m組特征因子組合的收益率矩陣bm(N×T)。bm中第k行元素從N(0,D0(K))中抽樣得到，D0(K)是D0對角線上第k個元素。繼而計算擬合出的特征因子組合收益率：

4、易知，模擬得到的收益率fm的真實(shí)協(xié)方差陣應(yīng)當(dāng)就是V0，但由于抽樣誤差，對應(yīng)協(xié)方差估計值為：

5、Vm依然是V0的無偏估計量，同樣對其進(jìn)行特征分解，Um為模擬的特征因子組合：

6、由于我們已知“真實(shí)的”股票收益率協(xié)方差是V0，便可以通過反Um過來計算特征因子組合的“真實(shí)”協(xié)方差D~m：

7、由于Um并非“真實(shí)”特征組合，D~m不一定是對角矩陣，此處我們不研究非對角線元素，只研究每個特征組合各自的方差與“真實(shí)值”有何不同。為了消除偏誤，我們首先計算所有擬合中，某個特征組合波動率的平均偏誤：

M是模擬總次數(shù)。

8、每次模擬我們是有正態(tài)性、平穩(wěn)性假設(shè)的，真實(shí)金融數(shù)據(jù)則不滿足以上兩點(diǎn)，因此實(shí)際中，為了計算真實(shí)的“經(jīng)驗(yàn)波動率偏誤”，還需對λ(k)進(jìn)行調(diào)整。而這里，我們就選取最簡單的放縮方式：

a是一個經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，可以通過測試最終調(diào)整結(jié)果的好壞來確定，見附錄。由于我們擔(dān)心低估真實(shí)波動率，所以對模擬出來的波動率做一定倍數(shù)的放大處理。

9、我們認(rèn)為V0相對真實(shí)協(xié)方差的偏誤，與Vm相對V0的偏誤相同。故可通過調(diào)整特征組合協(xié)方差D0，再將調(diào)整后D0的變換回股票協(xié)方差：

V~0即最終調(diào)整后的股票收益率協(xié)方差矩陣。

接下來，我們測試Eigen-Adjust方法對于消除協(xié)方差偏誤是否有效。具體的，我們依然計算組合的波動率偏差統(tǒng)計量，計算方式與前文相同，不同的是構(gòu)建組合過程中，以及計算偏差統(tǒng)計量過程中使用的協(xié)方差矩陣一律替換為Eigen-Adjust調(diào)整后的協(xié)方差。

做法上，我們對每天的樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行Eigen-Adjust調(diào)整，每次調(diào)整中蒙特卡洛模擬次數(shù)為300，放縮系數(shù)采用2.36（見附錄）。

我們首先考察特征因子組合。使用調(diào)整的協(xié)方差陣后，與基于樣本協(xié)方差的組合相比，改善效果較明顯。雖然仍有部分組合的偏差統(tǒng)計量離1有距離，但大部分特征組合的偏差已處在1附近，尤其是此前傾向于低估真實(shí)波動的組合調(diào)整后低估被消除。由于特征因子組合的經(jīng)濟(jì)意義并不直接，而我們最終關(guān)注的是最優(yōu)化結(jié)果是否存在明顯波動估計偏誤，因此在下節(jié)我們還將測試最優(yōu)組合（最小方差）的調(diào)整效果。

我們接著考察特征調(diào)整對于組合尋優(yōu)的意義。使用調(diào)整的協(xié)方差陣后，改善效果十分直觀。與基于樣本協(xié)方差的組合相比，100個最小方差組合的波動率偏差直線下降，均處于1附近（均值1.024，在以計算偏差統(tǒng)計量的時間窗口t=2975計算的+-(2/t)^2誤差范圍內(nèi)；見附錄），說明最小方差組合對波動率的低估被有效消除，這對資產(chǎn)配置、提高優(yōu)化組合在樣本外的表現(xiàn)有極其重要意義。

我們測試了Eigen-Adjust第8步中不同放縮系數(shù)下，協(xié)方差的調(diào)整效果。

具體的，我們令α∈[1.00,2.60]，步長0.08。分別測算每次最優(yōu)組合波動率偏差統(tǒng)計量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如下表。由于我們擔(dān)心的是最小方差組合會低估真實(shí)的波動率，而放縮系數(shù)是對協(xié)方差的方所調(diào)整，因此理論上在合理范圍內(nèi)，越大偏差統(tǒng)計量應(yīng)當(dāng)越小，而結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。前文提到了，即使完美的調(diào)整也無法讓偏差統(tǒng)計量等于1，即使在正態(tài)性、平穩(wěn)性假設(shè)下，偏差統(tǒng)計量的95%置信區(qū)間是+-(2/t)^2，t是偏差統(tǒng)計量計算區(qū)間的交易日數(shù)。從均值來看，當(dāng)=2.36時，偏差統(tǒng)計量已在此范圍內(nèi)。

引用

1. Markowitz, Harry. 1952. “PortfolioSelection.”Journal of Finance, vol.7:77-91.

2. Menchero, Wang, Orr. 2011. “Eigen-AdjustedCovariance Matrices”MSCI Barra ResearchPaper, No. 2011-14

3. Grinold, and R.Khan. 2000. Active Portfolio Management. New York:McGraw-HILL.

WQFA 英文全稱 WindQuant Quantitative Finance Analyst。由萬礦聯(lián)合眾多金融機(jī)構(gòu)以及高校，共同開展的一項(xiàng)專業(yè)量化人才培養(yǎng)計劃。

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