一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
一、知識(shí)要點(diǎn)：
1、一次函數(shù)：若兩個(gè)變量x,y存在關(guān)系為y=kx+b (k≠0, k,b為常數(shù))的形式，則稱y是x的函數(shù)。
注意：（1）k≠0,否則自變量x的最高次項(xiàng)的系數(shù)不為1；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，y=kx，y叫x的正比例函數(shù)。
2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線
（1）兩個(gè)常有的特殊點(diǎn)：與y軸交于（0，b）；與x軸交于（- ，0）。
（2）正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是經(jīng)過（0，0）和（1，k）的一條直線；一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是經(jīng)過（- ，0）和（0，b）的一條直線。
（3）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。
3、一次函數(shù)圖象的性質(zhì)：
（1）圖象在平面直角坐標(biāo)系中的位置:
（2）增減性：
k>0時(shí)，y隨x增大而增大；
k<0時(shí)，y隨x增大而減小。
4、求一次函數(shù)解析式的方法
求函數(shù)解析式的方法主要有三種：
一是由已知函數(shù)推導(dǎo)，如例題1；
二是由實(shí)際問題列出兩個(gè)未知數(shù)的方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，如例題4的第一問。
三是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，如例2的第二小題、例7。
其步驟是：①根據(jù)題給條件寫出含有待定系數(shù)的解析式；②將x、y的幾對值或圖象上幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述的解析式中，得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組；③解方程，得到待定系數(shù)的具體數(shù)值；④將求出的待定系數(shù)代入要求的函數(shù)解析式中。
二、例題舉例：
例1、已知變量y與y1的關(guān)系為y=2y1,變量y1與x的關(guān)系為y1=3x+2，求變量y與x的函數(shù)關(guān)系。
分析：已知兩組函數(shù)關(guān)系，其中共同的變量是y1,所以通過y1可以找到y(tǒng)與x的關(guān)系。
解：∵ y=2y1
y1=3x+2,
∴ y=2(3x+2)=6x+4,
即變量y與x的關(guān)系為：y=6x+4。
例2、解答下列題目
（1）（甘肅省中考題）已知直線 與y軸交于點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）。
（A）（0，–3） （B） （C） （D）（0，3）
（2）(杭州市中考題)已知正比例函數(shù) ，當(dāng)x=–3時(shí)，y=6．那么該正比例函數(shù)應(yīng)為（ ）。
（A） （B） （C） （D）
（3）（福州市中考題）一次函數(shù)y=x+1的圖象，不經(jīng)過的象限是（ ）。
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析與答案：
(1) 直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，特點(diǎn)是橫坐標(biāo)是0，縱坐標(biāo)可代入函數(shù)關(guān)系求得。
或者直接利用直線和y軸交點(diǎn)為（0，b），得到交點(diǎn)（0，3），答案為D。
(2) 求解析式的關(guān)鍵是確定系數(shù)k，本題已知x=-3時(shí)，y=6，代入到y(tǒng)=kx中，解析式可確定。答案D: y=-2x。
(3) 由一次函數(shù)y=kx+b的圖象性質(zhì)，有以下結(jié)論：
，
題目中y=x+1，k=1>0，則函數(shù)圖象必過一、三象限；b=1>0，則直線和y軸交于正半軸，可以判定直線位置，也可以畫草圖，或取兩個(gè)點(diǎn)畫草圖判斷，圖像不過第四象限。
答案：D。
例3、（遼寧省中考題）某單位急需用車；但又不準(zhǔn)備買車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)體車主或一國營出租車公司其中的一家簽訂月租車合同。設(shè)汽車每月行駛x千米，應(yīng)付給個(gè)體車主的月費(fèi)用是y1元，應(yīng)付給出租車公司的月費(fèi)用是y2元，y1、y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象（兩條射線）如圖，觀察圖象回答下列問題：
（1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租國營公司的車合算？
（2）每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同？
（3）如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2300千米，那么這個(gè)單位租哪家的車合算？
分析：因給出了兩個(gè)函數(shù)的圖象可知一個(gè)是一次函數(shù)，一個(gè)是一次函數(shù)的特殊形式正比例函數(shù)，兩條直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1500，表明當(dāng)x=1500時(shí)，兩條直線的函數(shù)值y相等，并且根據(jù)圖像可以知道x>1500時(shí)，y2在y1上方；0<x<1500時(shí)，y2在y1下方。利用圖象，三個(gè)問題很容易解答。
答：(1)每月行駛的路程小于1500千米時(shí)，租國營公司的車合算。
[或答:當(dāng)0≤x＜1500(千米)時(shí),租國營公司的車合算]。
(2)每月行駛的路程等于1500千米時(shí),租兩家車的費(fèi)用相同。
(3)如果每月行駛的路程為2300千米,那么這個(gè)單位租個(gè)體車主的車合算。
例4、（河北省中考題）某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線先后投產(chǎn)。在乙生產(chǎn)線投產(chǎn)以前，甲生產(chǎn)線已生產(chǎn)了200噸成品；從乙生產(chǎn)線投產(chǎn)開始，甲、乙兩條生產(chǎn)線每天分別生產(chǎn)20噸和30噸成品。
（1）分別求出甲、乙兩條生產(chǎn)線投產(chǎn)后，各自總產(chǎn)量y（噸）與從乙開始投產(chǎn)以來所用時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天結(jié)束時(shí)，甲、乙兩條生產(chǎn)線的總產(chǎn)量相同；
（2）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，作出上述兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象；觀察圖象，分別指出第15天和第25天結(jié)束時(shí)，哪條生產(chǎn)線的總產(chǎn)量高？
分析：（1）根據(jù)給出的條件先列出y與x的函數(shù)式， =20x+200， ＝30x，當(dāng) = 時(shí)，求出x。
（2）在給出的直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可以看出第15天和25天結(jié)束時(shí)，甲、乙兩條生產(chǎn)線的總產(chǎn)量的高低。
解：（1）由題意可得：
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)時(shí)對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是：y=20x+200，
乙生產(chǎn)線生產(chǎn)時(shí)對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是：y=30x，
令20x+200=30x，解得x=20，即第20天結(jié)束時(shí)，兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量相同。
（2）由（1）可知，甲生產(chǎn)線所對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)圖象一定經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，200）和
B（20，600）；
乙生產(chǎn)線所對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)圖象一定經(jīng)過兩點(diǎn)O（0，0）和B（20，600）。
因此圖象如右圖所示，由圖象可知：第15天結(jié)束時(shí)，甲生產(chǎn)線的總產(chǎn)量高；第25天結(jié)束時(shí)，乙生產(chǎn)線的總產(chǎn)量高。
例5．直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點(diǎn)在y軸上，求此直線解析式。
分析：直線y=kx+b的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點(diǎn)，若兩直線平行，則解析式的一次項(xiàng)系數(shù)k相等。例如y=2x，y=2x+3的圖象平行。
解：∵ y=kx+b與y=5-4x平行，
∴ k=-4，
∵ y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交于y軸，
∴ b=18，
∴ y=-4x+18。
說明：一次函數(shù)y=kx+b圖象的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定點(diǎn)，即函數(shù)圖象平行于直線y=kx，經(jīng)過(0，b)點(diǎn)，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與y軸交點(diǎn)定b。
例6．直線與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)B到x軸的距離為2，求直線的解析式。
解：∵ 點(diǎn)B到x軸的距離為2，
∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，±2），
設(shè)直線的解析式為y=kx±2,
∵ 直線過點(diǎn)A（-4，0），
∴ 0=-4k±2,
解得：k=± ,
∴直線AB的解析式為y= x+2或y=- x-2。
說明：此例看起來很簡單，但實(shí)際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。
（1）圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)；
（2）直線與y軸交于B點(diǎn)，則點(diǎn)B（0，yB）；
（3）點(diǎn)B到x軸距離為2，則|yB|=2；
（4）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)等于直線解析式的常數(shù)項(xiàng)，即b=yB；
（5）已知直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)yB，可設(shè)y=kx+yB；
下面只需待定k即可。
三、提高與思考
例1．已知一次函數(shù)y1=(n-2)x+n的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，判斷y2=(3- )xn+2是什么函數(shù)，寫出兩個(gè)函數(shù)的解析式，并指出兩個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的位置及增減性。
解：依題意，得
解得n=-1，
∴ y1=-3x-1,
y2=(3- )x, y2是正比例函數(shù)；
y1=-3x-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y1隨x的增大而減?。?
y2=(3- )x的圖象經(jīng)過第一、三象限，y2隨x的增大而增大。
說明：由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)就是圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)”來構(gòu)造方程。
例2．已知一次函數(shù)的圖象，交x軸于A（-6，0），交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，且點(diǎn)B在第三象限，它的橫坐標(biāo)為-2，△AOB的面積為6平方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。
分析：自畫草圖如下：
解：設(shè)正比例函數(shù)y=kx，
一次函數(shù)y=ax+b，
∵ 點(diǎn)B在第三象限，橫坐標(biāo)為-2，
設(shè)B（-2，yB），其中yB<0，
∵ =6，
∴ AO·|yB|=6，
∴ yB=-2，
把點(diǎn)B（-2，-2）代入正比例函數(shù)y=kx，得k=1，
把點(diǎn)A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，
得
解得：
∴ y=x, y=- x-3即所求。
說明：（1）此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式，注意兩個(gè)函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示；
（2）此例需要把條件（面積）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B的坐標(biāo)。這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式 AO·
BD=6（過點(diǎn)B作BD⊥AO于D）計(jì)算出線段長BD=2，再利用|yB|=BD及點(diǎn)B在第三象限計(jì)算出yB=-2。若去掉第三象限的條件，想一想點(diǎn)B的位置有幾種可能，結(jié)果會(huì)有什么變化？（答：有兩種可能，點(diǎn)B可能在第二象限（-2，2），結(jié)果增加一組y=-x, y= (x+3)。
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