［學(xué)習(xí)目標］
1. 理解把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的一個原則；明確解分式方程的基本思路；
2. 會用去分母法，換元法解可化為一元二次方程的分式方程；
3. 理解在方程兩邊乘以整式有可能增根，從而知道驗根是解分式方程的必要步驟；
4. 正確理解行程問題，工程問題等的有關(guān)概念和規(guī)律，會列分式方程解有關(guān)問題的應(yīng)用題；
5. 通過列分式方程解有關(guān)應(yīng)用題，就是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這就要求能對實際問題分析、概括、總結(jié)、解，從而能進一步地提高分析問題和解決問題的能力。
6. 結(jié)合分式方程應(yīng)用題的分析與解答，體會辯證唯物主義的觀點，力求懂得：理論知識來源于實踐，反過來去更好地指導(dǎo)實踐。
二. 重點、難點：
1. 教學(xué)重點：
①會解可化為一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必須驗根。理解方程的同解原理。會運用換元思想方法等計算技巧。
②列分式方程解有關(guān)應(yīng)用題。
2. 教學(xué)難點：
①會運用換元思想方法等計算技巧。
②如何分析和使用復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，對于難點，解決的關(guān)鍵是抓住基本量之間的關(guān)系，通過基本量之間的關(guān)系的分析設(shè)出未知數(shù)和列出方程。
③清楚地懂得列分式方程解應(yīng)用題應(yīng)首先檢驗所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考慮所滿足方程的解是否與題意相吻合。
【典型例題】
例1. 解分式方程
①
②
分析：直接去分母是一種把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的最常用的方法。關(guān)鍵是找出各分式的最簡公分母，并在方程兩邊同時乘以這個最簡公分母，最后必須驗根。
解：①原方程可化為
方程兩邊同乘以得：
即：
檢驗：把
∴是原方程的增根，原方程無實根。
②原方程可化為
方程兩邊同乘以得：
檢驗：把
把
∴是原方程的增根，原方程的根是。
點撥：解分式方程的指導(dǎo)思想，去分母化歸成整式方程，但去分母會產(chǎn)生增根，必須驗根。
例2. 用換元法解方程。
①
②
③
分析：根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特征，常?？捎脫Q元法化簡分式方程，這時若直接去分母會出現(xiàn)高次方程。
解：①設(shè)，則原方程可化為
當時，，
當時， ∴
∵，∴此方程無實根。
經(jīng)檢驗，，都是原方程的根。
∴原方程的根是。
②設(shè)，原方程化為
當
當
經(jīng)檢驗：都是原方程的解。
③設(shè)，則
∴
原方程可化為
當
∴
當
∴
經(jīng)檢驗：原方程的根是
點撥：換元使求解過程簡捷，注意避免①審題時忽視“換元法”而直接去分母；②換元后忘了“還原”；③沒驗根，這些典型錯誤。
例3. 解方程
①
②
分析：考查重新分組化簡方程的能力。對于①可合并同分母分式，再去分母。②中要注意到，，可重新分組化簡求解。
解：①原方程可化為
去分母，得
∴
檢驗，把均不為零，
∴原方程的解為。
②原方程可化為
經(jīng)檢驗原方程的解是。
點撥：分組重新組合，是本題化簡求解的關(guān)鍵，應(yīng)注意，從本題的組合形式中體會組合思想與方法。
例4. 解關(guān)于x的方程
①
②
分析：分式方程中含兩個或兩個以上字母，明確未知數(shù)，與一般的分式方程解法類同。
解：①原方程可化為
經(jīng)檢驗，原方程的解是
②，，原方程可化為
當
當
經(jīng)檢驗，原方程的根是。
點撥：解含字母系數(shù)的分式方程的方法與解一般分式方程的方法相同，但要注意從題中識別字母的取值范圍，并分情況討論。
例5. 甲、乙兩車從A、B兩地同時相向勻速而行，相遇后用4小時到達B地，乙用9小時到達A地，甲、乙走完全程各用幾小時？
分析：考查列分式方程解“行程問題”的能力。對于本題若設(shè)甲、乙兩車相遇時，各行x小時，那么甲走完全程用小時，乙用小時，若將之看成工程問題，則不難解決。
解：解法1：設(shè)甲、乙兩車相遇時各行x小時，則甲走完全程用小時，乙走完全程用小時，則
經(jīng)檢驗，都是原方程的根，但不合題意，舍去。
∴
答：甲10小時能走完全程，乙15小時能走完全程。
解法2：設(shè)甲、乙兩車相遇時各行x小時，甲走x小時的路程與乙走9小時路程相等，則
以下同解法1。
點撥：該題表面上是行程問題，實為工程問題，若能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，問題解答將會簡化。
例6. 有一特殊材料制成的質(zhì)量為30克的泥塊，現(xiàn)把它切開為大、小兩塊，將較大泥塊放在一架不等臂天平的左盤中，稱質(zhì)量為27克；又將較小泥塊放在該天平右盤中，稱質(zhì)量8克。若只考慮該天平臂長不等，其他因素忽略不計，請依據(jù)杠桿的平衡原理，求較大泥塊和較小泥塊的質(zhì)量。
分析：從兩泥塊的關(guān)系入手，應(yīng)設(shè)較大泥塊質(zhì)量為x克，以便列方程解之。
解：設(shè)較大泥塊x克，則較小泥塊為（30－x）克。
若天平的左、右臂分別為a cm，b cm。
由題意
解得
經(jīng)檢驗，均是原方程的解。
由題意應(yīng)舍去
∵當
∴答：較大泥塊18克，較小泥塊為12克。
點撥：在解此類問題時，充分注意要求的兩個量之間的關(guān)系，這樣才能使列出的方程，簡捷且易于求解。
［總結(jié)擴展］
1. 明確解分式方程的基本思路，是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化途徑是去分母，換元，特別注意換元時，先設(shè)元再換元，還原，最后檢驗；
2. 明白分式方程解的過程中，出現(xiàn)增根的原因，會驗根；
3. 在學(xué)習(xí)了分式方程的基礎(chǔ)上，來解決實際應(yīng)用問題，而解問題的關(guān)鍵是將涉及基本量之間的關(guān)系，運用到隱含在題目中的相等關(guān)系中去，以便列出方程而解決問題。
4. 提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中實際問題的意識，要求能對實際問題分析、概括、總結(jié)、解，從而能進一步地提高分析問題和解決問題的能力。
【模擬試題】（答題時間：30分鐘）
一、選擇題
1. 解方程，則（ ）
A. B.
C. D. 的實數(shù)
2. 如果設(shè)，那么分式方程
可以變形為（ ）
A. B.
C. D.
3. 關(guān)于x的方程的根是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 關(guān)于x的方程有增根，a為（ ）
A. B.
C. D. 無法求解
5. 方程的解是（ ）
A. B. C. D. 3
二、填空題
6. 若方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍____________。
7. 若，則的值為___________。
8. 若設(shè)，可化成整式方程__________。
三、解答題
9. 解方程
10. 用換元法解下列方程。
①
②
11. A、B兩地相距60千米，某人騎自行車從A地到B地，在回來的路上用原來速度騎1小時后，因事停車20分鐘，以后他加快速度，比原來每小時多行4千米，這樣回來所用時間和去時所用時間恰好相等，求原來的速度。
12. 有一項工作，甲、乙、丙三人合做，若干天可完成。如果甲一人獨做要多6天，乙一人獨做較甲多9天，丙獨做需2倍于三人合做天數(shù)。問各人獨做需多少天？
【試題答案】
一、選擇題
1. B 2. B 3. C 4. A 5. D
二、填空題
6.
7.
8.
三、解答題：
9. 設(shè)，則原方程化為，∴
，檢驗均滿足原方程。
10. ①設(shè)，則
解之檢驗得：
。
②令
解得
解之檢驗：
11. 設(shè)原速度為x千米/時，則
∴（舍）
答：略。
12. 設(shè)甲獨做要x天完成，則三人合做要（x－6）天，乙獨做要（x＋9）天，丙獨做要2（x－6）天，由題意：
解得：
檢驗均為原方程的根，但不合題意，舍去。所以。
答：完成此工作，甲、乙、丙獨做各需9天、18天、6天。
【勵志故事】
成人儀式上的賬單
4月23日報道，22日，南京三中舉行了成人宣誓儀式，儀式上，學(xué)校公布了一份特殊的賬單。
“出生：2000元；奶粉：約3600元；小學(xué)6年學(xué)雜費：約3600元……合計：約76380元?！边@是三中對本校100名高三學(xué)生進行的調(diào)查，讓他們估算自己的“成長成本”，孩子們估算約為76380元。但令孩子們吃驚的是，家長卻認為，在這18年中，他們對孩子的有形投入竟然達到了10萬，這與孩子們自己的估算相差了2萬多。在調(diào)查中，過半的家庭月收入都只有一兩千元。
該校一位老師認為，成人意味著責任，這份“賬單”就是想讓孩子懂得，責任的分量。
讀高三的學(xué)生喻文君說，父母在自己身上傾注的絕不只是金錢，還有更寶貴的愛，這是不能用物質(zhì)和金錢去衡量的。這份“特殊賬單”對學(xué)生們是個教育。
