［學(xué)習(xí)目標(biāo)］
1. 熟練掌握二次三項式的意義；了解二次三項式的因式分解與解一元二次方程的關(guān)系；運用一元二次方程的求根公式在實數(shù)范圍內(nèi)將二次三項式分解因式。
2. 學(xué)會用列一元二次方程的方法解實際應(yīng)用題。
3. 通過二次三項式的因式分解的學(xué)習(xí)，提高分析問題，解決問題的能力；進一步了解認識問題和解決問題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。
4. 通過一元二次方程的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識；深刻體會轉(zhuǎn)化，方程，數(shù)形結(jié)合等初等數(shù)學(xué)的思想方法。
二. 重點、難點：
1. 教學(xué)重點：
①應(yīng)用公式法將二次三項式因式分解；會用列一元二次方程的方法解決實際應(yīng)用的問題。
②在列一元二次方程的方法解應(yīng)用題時，分析題意找出表示全部含義的相等關(guān)系，是能否列出方程的前提和保證。
2. 教學(xué)難點：
①一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關(guān)系；一個二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件。
②在列一元二次方程的方法解應(yīng)用題時，分析題意找等量關(guān)系是難點；注意求解后，檢驗根是否符合實際意義。
【典型例題】
例1. 分解因式
① ②
③ ④
⑤
分析：前四個均為二次三項式或二元二次三項式
的因式分解，直接用公式進行分解。
其中為方程的兩根。
，其中為關(guān)于x的方程的兩根。
第五個用平方差公式，再用公式法分解二次三項式。
解：①令
∴
②解法1：令，則
∴
解法2：
解法3：
③令，解這個關(guān)于x的方程得：
∴
④∵
∴不能因式分解，在實數(shù)范圍。
⑤
∵令，無實根。
∴在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式。
∵令
∴
∴
點撥：②中三種方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意結(jié)果寫成冪的形式。③二元時選其中一元為主元，另一元為已知數(shù)，即可。注意最終結(jié)果的簡潔形式，④⑤中都要考慮二次三項式可在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件是：，⑤要綜合應(yīng)用，并注意因式分解必須徹底。
例2. 分解因式：
分析：形如的多項式，叫關(guān)于x，y的二元二次多項式，它的因式分解有三種方法：①雙十字相乘法，②待定系數(shù)法，③公式法。
解：解法1：
∵
∴
解法2：設(shè)
比較對應(yīng)項系數(shù)
∴
解法3：整理為關(guān)于x的二次三項式
令，則
∴
∴
例3. 黃崗百貨商店服裝柜銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為迎接“六·一”，商場決定降價，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？
分析：經(jīng)濟類問題應(yīng)用。要切實理解減少庫存是本題需要。
解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元，根據(jù)題意，
解得：
因要減少庫存，∴，
答：每件童裝應(yīng)降價20元。
例4. 某中學(xué)的校辦工廠的年產(chǎn)值1998年是50萬元，年年增加，到2000年達60.5萬元。問（1）平均每年的年產(chǎn)值增長率是多少？（2）三年總產(chǎn)值多少？
分析：儲蓄中復(fù)利計本利和與生產(chǎn)值增長率問題。假設(shè)年利率為x，本金a，則n年后本利和為，增長率亦如此。
解：（1）設(shè)每年平均增長率x，則1999年產(chǎn)值萬元，2000年產(chǎn)值萬元，
由題意：
解得：（不合題意，舍去）
答：平均每年增長率為10%。
（2）
答：1998至2000年這三年總產(chǎn)值為165.5萬元。
點撥：注意舍去不合題意的根，別忽略（2）的計算與做答。
例5. 兩個連續(xù)偶數(shù)積為288，求這兩個數(shù)。
分析：兩個連續(xù)偶數(shù)差2，可設(shè)x，。
解：設(shè)這兩個偶數(shù)分別為x，x+2，根據(jù)題意，
解得：
答：這兩個連續(xù)偶數(shù)是16，18或－18，－16。
點撥：如果兩個連續(xù)奇數(shù)也可這樣設(shè)，但更好的設(shè)法是：
，就有
∴更簡單。
例6. 一個矩形的硬紙片，它的長比寬的2倍少4厘米，在它的四個角上各剪去一個邊長為2厘米的正方形，然后折成一個無底的小盒子，如果這個小盒的體積為484立方厘米，求原來矩形紙片的長和寬。
分析：設(shè)原矩形寬為x厘米，那么長厘米，在四個角各剪去一個邊長為2厘米的正方形折成無蓋小盒，則小盒底面寬為厘米，長為厘米，高為2厘米。
解：設(shè)原矩形紙片的寬為x厘米，則長為厘米，根據(jù)題意列方程，得：
∴（負值舍去）
∴
答：原矩形紙片的長為26厘米，寬為15厘米。
點撥：列一元二次方程可解決體面積有關(guān)的應(yīng)用題，注意舍根。
例7. 一個直角三角形，斜邊，兩條直角邊長相差，求這個直角三角形的兩條直角邊的長。
分析：在Rt△中，三邊a，b，c滿足，這是構(gòu)造方程的相等關(guān)系。
解：設(shè)一條直角邊長為x cm，則另一條邊長為。
根據(jù)題意列方程
解得 （不合題意，舍去）
。
答：兩條直角邊長分別是8cm和4cm。
點撥：很多幾何題求邊時，用方程思想解決，而相等關(guān)系多由勾股定理提供，掌握本題很重要，體現(xiàn)了“幾何問題代數(shù)化”。
例8. 用100cm的金屬絲，作成矩形的框子，使面積分別為（1）500cm2；（2）625cm2；（3）800cm2。是否辦得到，求出它的長和寬（精確到mm）。
分析：可列方程組解決面積問題。
解：設(shè)矩形長為x(cm)，寬為y(cm)，則
（1）
由為方程的兩根。
答：面積為500cm2時，長約是36.2cm，寬約是13.8cm。
（2）
易知x，y是方程的兩根，
答：面積為625cm2時，長是25cm，寬也是25cm，圍成邊長25cm的正方形。
（3）
x，y為方程的兩根，
無實根。
答：面積800cm2，周長100cm的矩形不存在。
點撥：解題后，思考三小題：用100cm長的鐵絲圍成500cm2的矩形做成了；再圍大點，面積625cm2，圍成了正方形；再大點，面積800cm2，圍不成。長度有限的鐵絲怎能圍出要多大，有多大的矩形呢！當(dāng)正方形時面積達到最大值。
［總結(jié)擴展］
（1）用公式法將二次三項式因式分解的步驟是先求出方程的兩個根，再將形式。
（2）二次三項式因式分解的條件是：當(dāng)，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)可以分解；時，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不可以分解。
（3）聯(lián)系所學(xué)知識總結(jié)出遇見二次三項式因式分解的步驟：①首先考慮能否提取公因式；②其次考慮能否選用十字相乘法；③最后考慮公式法。
（4）通過二次三項式因式分解的學(xué)習(xí)，提高分析問題、解決問題的能力；通過結(jié)論探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，對學(xué)生進行辯證唯物主義思想教育，滲透認識事物的一般規(guī)律。
（5）注意：①在進行類似分解因式時，千萬不要漏掉字母y；②因式分解一定進行到不能再分解為止；③分解時注意二次三項式因式分解的條件。
（6）“一元二次方程的應(yīng)用”是“一元一次方程的應(yīng)用”的繼續(xù)和發(fā)展。由于用一元一次方程（或一次方程組）解的應(yīng)用題，一般都可以用算術(shù)方法解，而用一元二次方程來解的應(yīng)用題，一般說是不能用算術(shù)法來解的。所以，通過學(xué)習(xí)大家要認識到用代數(shù)方法解應(yīng)用題的優(yōu)越性和必要性。
（7）列方程解應(yīng)用題的方法來說，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出方程，解方程，判斷根是否適合題意，作出正確的答案。列出一元二次方程，其應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如在幾何、物理及其他學(xué)科中都有大量問題存在。
（8）善于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，嚴格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系，正確布列方程。由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，滲透轉(zhuǎn)化與方程的思想方法。
（9）進一步體會數(shù)字在實踐中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
【模擬試題】（答題時間：30分鐘）
一、選擇題
1. 下列多項式不能在實數(shù)范圍內(nèi)分解的是
A. B.
C. D.
2. 多項式實數(shù)范圍內(nèi)分解如下
A.
B.
C.
D.
3. 兩個連續(xù)正整數(shù)的和的平方比它們的平方和大112，則這兩個正整數(shù)是
A. 5，6 B. 7，8 C. 8，9 D. 6，7
4. 某印刷廠一月印50萬冊，二，三月共印132萬冊，問二、三月平均每月增長的百分數(shù)是
A. 20% B. C. 10% D. 15%
5. 某工廠計劃在長24米，寬20米的空地中間劃出一塊32平方米的長方形建一住房，并且四周剩余地一樣寬，那么這寬度應(yīng)是
A. 14米 B. 8米
C. 14米或8米 D. 以上都不對
二、填空題
6. 因式分解
①＝
②＝
③＝
④＝
⑤＝
7. 一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)的平方，且個位數(shù)比十位數(shù)大3，則這個兩位數(shù)是_________。
8. 某藥品經(jīng)兩次降價，從原來每箱60元降為每箱48.6元，平均每次降價率為_________。
9. 有兩個數(shù)不等，和17，積比小點數(shù)的平方大30，用方程求這兩數(shù)，設(shè)_________，根據(jù)題意，列方程得_________。
10. 一矩形面積132cm2，周長46cm，則矩形長是_________，寬是_________。
11. 連續(xù)兩個正奇數(shù)的平方和等于202，這兩個奇數(shù)中較小的是_________。
三、解答題：
12. 已知二次三項式是一個完全平方式，求m的值。
13. 面積為150m2的矩形雞場，長邊靠墻（墻長18m），另三邊用竹籬笆圍成，若籬笆長35m，求雞場的長和寬。
14. 一批上衣原來每件500元，第一次降價，銷售甚慢，第二次大幅降價的百分率是第一次的2倍，結(jié)果以每件240元價格迅速售出，求每次降價的百分率。
15. 在長為a的線段AB上有一點C，且AC是AB、BC的比例中項，求線段AC的長。
【試題答案】
一、選擇題
1. C 2. B 3. B 4. A 5. B
二、填空題
6. ①
②
③
④
⑤
7. 25或36
8. 10%
9. 小數(shù)為x，
10. 12cm，11cm
11. 9
三、解答題：
12. 解：
∵原二次三項式是完全平方式
∴
13. 解：設(shè)籬笆長為x cm，根據(jù)題意，
解得：
檢驗：，雞場長超過墻長是不可能的，舍去。
又
答：雞場長為15m，寬為10m。
14. 設(shè)第一次降價的百分率為x，則第二次降價的百分率為2x，
依題意
即
∴（不合題意，舍去）
又
答：第一次降價20%，第二次降價40%。
15. 解：由題意，
（舍負）
∴
答：線段AC長為a。
【勵志故事】
用進廢退
意大利小男孩托蒂有一只十分奇怪的眼睛。說“十分奇怪”，主要是因為眼科大夫多次會診得出的結(jié)論都相同：從生理上看，這是一只完全正常的眼睛。但是這只眼睛卻是失明的。一只完全正常的眼睛何以失明了呢？原來，當(dāng)小托蒂呱呱墜地時，由于這只眼睛輕度感染，曾被繃帶纏了兩個星期，正是這種對常人來說幾乎沒有任何副作用的治療，對剛剛出生、大腦正處于構(gòu)建發(fā)育關(guān)鍵期的嬰兒托蒂造成了極大的傷害。他的大腦由于長時間無法從這只眼睛接受任何外界信息，就認為它瞎了，于是原先該為它工作的大腦神經(jīng)組織也隨之“戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移”了。
小托蒂遭遇的不幸并非偶然性的特殊個案。后來，研究人員在動物身上做了很多類似的實驗，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都是一樣的，都嚴格執(zhí)行著“用進廢退”的規(guī)則。
