幾何：等腰三角形的判定定理及3個推論
［學習目標］
代數：會求及會用根號表示一個數的平方根和算術平方根。
幾何：理解等腰三角形的判定定理及3個推論。
二. 重點、難點
［重點］
代數：平方根、算術平方根的區(qū)別與聯系。
幾何：判定定理及3個推論的理解。
［難點］
代數：開平方屬于一種新的運算，并且負數不能進行這種運算。
幾何：性質與判定定理容易混淆。
三. 知識要點
代數
1. 新的運算：開平方——求一個數的平方根的運算。
互逆運算
2. 平方根
3. 算術平方根
4. 平方根與算術平方根的比較：
5. 用計算器求平方根：
幾何：
1. 等腰三角形的判定定理：（等角對等邊）
——與等腰三角形的性質定理互為逆定理（等邊對等角）
——作用：把角的關系轉化為邊的關系，常用來證明兩條線段相等。
2. 三個推論：
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。
推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。
——作用：把角的關系轉化為邊的關系，用來判定等邊三角形。
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
——作用：把角的關系轉化為邊的關系，可看作銳角等于30°的特殊直角三角形的性質。
【典型例題】
例1. 求值：，其中
是4的算術平方根。
分析：先化簡再求值，由是4的算術平方根，可知。
解：
∵x是4的算術平方根
例2. 已知：a、b為的平方根，且，求
分析：帶有絕對值的式子化簡，首先要去掉絕對值符號，怎么去掉絕對值符號，就要知道a、b的關系。
解：∵a、b為m的平方根，
原式
例3. 如圖，∠BCE=∠CBD，CE=BD，求證：△ABC是等腰三角形。
證明：在△BCE和△CBD中，
∴△BCE≌△CBD（SAS）
∴∠CBE=∠BCD（全等三角形對應角相等）
∴AC=AB（等腰三角形的判定定理）
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形定義）
例4. 如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，BD，AE交于N，BM⊥AE于M，若AD=CE。
求證：
證明：在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠2+∠BAN=60°（等邊三角形性質）
∴∠1+∠BAN=60°（等量代換）
∴∠BNM=60°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）
在Rt△BMN中，
∴∠NBM=30°（直角三角形的兩個銳角互余）
（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）
【模擬試題】（答題時間：25分鐘）
（一）判斷題
1. 三個角都相等的三角形是等腰三角形。（ ）
2. 等腰三角形腰大于底，則一定是銳角三角形。（ ）
3. 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（ ）
（二）解答題
1. 如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別是D、E，AB=8cm，求BE。
2. △ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于D，AE是斜邊BC上的中線，DE=4，求AB和BC。
3. 求值：，分別是25，36的平方根
【試題答案】
（一）判斷題
1. √ 2. √ 3. √
（二）解答題：
1. 解：∵AB=8cm
∴BC=8cm（等邊三角形定義）
又∵AD⊥BC
∴（等腰三角形底邊中線、高線合一）
在Rt△BDE中，
∠B=60°（等邊三角形定義）
∴∠BDE=30°（直角三角形中兩銳角互余）
∴（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）。
2. 解：在Rt△ABC中，
∵∠B=60°
∴∠C=30°（直角三角形兩銳角互余）
∴（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）
在△BAE中，EB=AB
∴∠BEA=∠BAE（等腰三角形的定義）
又∵∠B=60°
∴△BAE是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）
在Rt△ADE中，∵∠DEA=60°
∴∠DAE=30°（直角三角形兩銳角互余）
∴AE=2ED=2·4=8（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）
∴AB=8
BC=8·2=16
3. 解：原式
∵的平方根
∴原式
