老黃懷著敬畏的心情，打開2022年全國高考數(shù)學(xué)理科卷，直奔?jí)狠S題而去。這是一道不等式問題，屬于選修4-5，不等式選講的內(nèi)容。通常這類問題都是很難的，類似題型曾經(jīng)在2008年江西高考數(shù)學(xué)卷中誕生了號(hào)稱高考數(shù)學(xué)史上最難的壓軸題，至今老黃還沒有想到如何用自己的方法去解決它。因此老黃是做好打持久戰(zhàn)的準(zhǔn)備來面對(duì)這道高考理數(shù)不等式壓軸題的。
但是沒想到，老黃只用了不到一分鐘，就找到解決問題的思路，又用了一分多鐘，就把它解決了。不由得老黃有點(diǎn)懷疑自己是不是哪里弄錯(cuò)了，怎么有簡單到兩分鐘就可以搞定的高考數(shù)學(xué)理科壓軸題呢？簡單讓人瞠目結(jié)舌。因?yàn)檫@道題竟然只運(yùn)用到解決不等式問題最常規(guī)的武器“均值不等式”。最多就是從兩個(gè)數(shù)值的均值不等式，延伸到三個(gè)數(shù)值的均值不等式，毫無難度可言。題目是這樣的：
已知a,b,c都是正數(shù)，且a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1, 證明：
(1)abc≤1/9；(2)a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2根號(hào)(abc)).
因?yàn)轭}目實(shí)在太容易，老黃就不急著講了。先給大家分析一下解決這類不等式壓軸題，通常使用的三類常規(guī)武器。
1、就是均值不等式a^2+b^2>=2ab，或者它的變形形式a+b>2根號(hào)(ab)，其中a,b都是正數(shù)。需要注意的是，這個(gè)不等式是恒成立的，但如果要應(yīng)用它來求最值，就不一定成立了。因?yàn)橹挥性赼b是定值，或者a+b是定值時(shí)，才能用它來求最值。
2、構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，通過求輔助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷輔助函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性來證明不等式成立。關(guān)鍵在“適當(dāng)”這兩個(gè)字上。對(duì)簡單的問題，只要造構(gòu)不等式兩側(cè)式子的差為輔助函數(shù)，或者兩側(cè)式子的商為輔助函數(shù)就可以了。但是有很多難題，需要構(gòu)造特殊的輔助函數(shù)，這是最考數(shù)學(xué)功底的。
3、利用一些常用的不等式。在數(shù)學(xué)中，有許許多多常用的不等式。所謂常用，那也是相對(duì)的。如果您懂的，就是常用的不等式，如果您不懂的，就不是常用的不等式。別人懂得多，常用的不等式就多，就有很大概率可以找到適合解題的已知不等式，來證明要證明的不等式。如果您懂得少，就可能找不到適合的已知不等式來證明。2008年江西高考數(shù)學(xué)壓軸題的最后一問中，難以證明的部分，根據(jù)參考答案，就需要用到一個(gè)極少人知道的不等式，所以它就成了號(hào)稱史上最難的高考數(shù)學(xué)壓軸題了。老黃一直想繞開那個(gè)不等式，又不超出高中數(shù)學(xué)的認(rèn)知范圍來證明，卻一直沒有做到。所以這個(gè)方法，最重要的就是對(duì)常用不等式的積累，以及檢索有用的已知不等式的能力。
當(dāng)然，解決這類不等式壓軸題的統(tǒng)一思路是“放縮”，所以老黃把它歸納為“一種思路，三類武器”?，F(xiàn)在就言歸正傳，來解這道簡單的高考理數(shù)壓軸題：
證明：(1)a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)≥3倍三次根號(hào)(a^(3/2)*b^(3/2)*c^(3/2))=3倍根號(hào)(abc),
因此3倍根號(hào)(abc)≤1, 從而根號(hào)(abc)≤1/3，兩邊平方得：abc≤1/9.
【第一小題簡單很正常，但沒想到下面的第二小題同樣簡單。】
(1)a/(a+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=abc(1/(bc(b+c))+b/(ac(a+c))+c/(ab(a+b))【可能只有這一步稍難點(diǎn)】
≤abc(1/(2b^(3/2)*c^(3/2))+1/(2a^(3/2)*c^(3/2))+1/(2a^(3/2)*b^(3/2))【這用的全是均值不等可式。以及簡單的“分母變小，分?jǐn)?shù)變大”原理】
=abc(a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2))/(2a^(3/2)*b^(3/2)*c^(3/2))【通分相加，簡單的步驟不寫出來都合情合理】
=abc/(2a^(3/2)*b^(3/2)*c^(3/2))=1/(2根號(hào)(abc)).
這么簡單的高考理科數(shù)學(xué)壓軸題，有沒有嚇到您??！
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