一. 教學(xué)內(nèi)容：
具體函數(shù)應(yīng)用
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 一次函數(shù)（
）
2. 二次函數(shù)（
）
3. 三次函數(shù)（
）
4. 正比例函數(shù)（）
5. 反比例函數(shù)（）
6. 指數(shù)函數(shù)（且）
7. 對(duì)數(shù)函數(shù)（且）
8. 冪函數(shù)
9. （）
10. （）
11.
【典型例題】
[例1] 已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中滿足，（）。
（1）求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；
（2）求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍。
考查方向：本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力。
知識(shí)背景：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題及數(shù)與形的完美結(jié)合。
易錯(cuò)分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問(wèn)題的突破口，而忽略了“數(shù)”。
技巧方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化。
（1）證明：由消去y得
∵ ∴ ∴
∴，即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)
（2）解：設(shè)方程的兩根為和，則，
∵ ∴，解得
∵的對(duì)稱軸方程是
時(shí)，為減函數(shù) ∴，故
[例2] 已知關(guān)于x的二次方程
（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（－1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的范圍。
（2）若方程兩根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的范圍。
考查方向：本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問(wèn)題。
知識(shí)背景：解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義。
易錯(cuò)分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn)。
技巧方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制。
解：（1）條件說(shuō)明拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（－1，0）和（1，2）內(nèi)，畫出示意圖，得
∴
（2）據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間（0，1）內(nèi)，列不等式組
（這里是因?yàn)閷?duì)稱軸應(yīng)在區(qū)間（0，1）內(nèi)通過(guò)）
[例3] 已知對(duì)于的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程的根的取值范圍。
解：由條件知，即，∴
（1）當(dāng)時(shí)，原方程化為
∵
∴時(shí)，時(shí)， ∴
（2）當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴
綜上所述，
[例4] 已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn)。
（1）證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上；
（2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。
考查方向：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力。
知識(shí)背景：（1）證明三點(diǎn)共線的方法：。
（2）第（2）問(wèn)的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程（1），即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)。
易錯(cuò)分析：不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問(wèn)題。
技巧方法：本題第一問(wèn)運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問(wèn)運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)A的坐標(biāo)。
（1）證明：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為
由題意知：，則A、B縱坐標(biāo)分別為
因?yàn)?/span>A、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以，點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為（）（）
由于
所以OC的斜率：，OD的斜率：
由此可知：，即O、C、D在同一條直線上
（2）解：由BC平行于x軸知：
即，代入得
由于知，∴，又，∴，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）
[例5] 在平面上有一點(diǎn)列，，…，，…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)，點(diǎn)（）與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂點(diǎn)的等腰三角形。
（1）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；
（2）若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)，以為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍；
（3）設(shè)，若?。?/span>2）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由。
考查方向：本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)、最值等知識(shí)點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個(gè)思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對(duì)綜合知識(shí)分析和運(yùn)用的能力。
知識(shí)背景：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識(shí)。
易錯(cuò)分析：考生對(duì)綜合知識(shí)不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口。
技巧方法：本題屬于知識(shí)綜合題，關(guān)鍵在于讀題過(guò)程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，并會(huì)運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)去解決問(wèn)題。
解：（1）由題意知： ∴
（2）∵函數(shù)遞減，∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)，有
則以為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是，即，解得或，∴
（3）∵，∴，∴，數(shù)列是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)，，于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式且
由得：，8，∴
[例6] 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意，都有，且。
（1）求；（2）證明是周期函數(shù)；（3）記，求。
技巧方法：由變形為是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
（1）解：因?yàn)閷?duì)，都有
所以，
又因?yàn)?/span>
又 ∴ ，
（2）證明：依題意設(shè)關(guān)于直線X=1對(duì)稱，故，即
又由是偶函數(shù)知，∴
將上式中以代換得，這表明是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期。
（3）解：由（1）知
∵……
……
∴
又∵的一個(gè)周期是2，∴
∴，因此
[例7] 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)時(shí)，且。
（1）求證：為奇函數(shù)；
（2）在區(qū)間上，求的最值；
（1）證明：令，得令，得，
即，∴是奇函數(shù)
（2）解：任取實(shí)數(shù)且，這時(shí)
因?yàn)?/span>時(shí)，∴ ∴在上是減函數(shù)
故的最大值為，最小值為，而
∴在區(qū)間上的最大值為12，最小值為－12
[例8] 已知函數(shù)，
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（2）若對(duì)任意，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。
考查方向：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力。
知識(shí)背景：本題主要通過(guò)求的最值問(wèn)題來(lái)求的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想。
易錯(cuò)分析：考生不易考慮把求的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決。
技巧方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得。
（1）解：當(dāng)時(shí)，
∵在區(qū)間上為增函數(shù)，∴在區(qū)間上的最小值為
（2）解法一：在區(qū)間上，恒成立恒成立
設(shè)
遞增
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，故
解法二：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒為正；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，故當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，故
[例9] 設(shè)是實(shí)數(shù)，記，。
（1）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義，則。
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（3）求證：對(duì)每個(gè)，函數(shù)的最小值都不小于1。
（1）證明：先將變形，
當(dāng)時(shí)，，∴恒成立，故的定義域?yàn)?/span>R
反之，若對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義，則只須，令，即，解得，故。
（2）解析：設(shè)
∵是增函數(shù)，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，而
顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)為最小值
（3）證明：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴
[例10] 已知奇函數(shù)是定義在（－3，3）上的減函數(shù)，且滿足不等式
，設(shè)不等式解集為A，B=，求函數(shù)
的最大值。
考查方向：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。
知識(shí)背景：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。
易錯(cuò)分析：題目不等式中的“”號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域。
技巧方法：借助奇偶性脫去“”號(hào)，轉(zhuǎn)化為的不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值。
解：由得且，故
又∵是奇函數(shù)，∴，又在（－3，3）上是減函數(shù)
∴，即，解得或
綜上得，即，
∴=
又知在B上為減函數(shù)
∴
【模擬試題】
1. 若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. 設(shè)二次函數(shù)，若，則的值為（ ）
A. 正數(shù) B. 負(fù)數(shù) C. 非負(fù)數(shù) D. 正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能
3. 已知二次函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
4. 二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，若，則的取值范圍是 。
5. 已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式（且）
（1）令，求的表達(dá)式；（2）若時(shí)，有最小值8，求和的值。
6. 如果二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求的取值范圍。
7. 二次函數(shù)中實(shí)數(shù)、、滿足=0，其中，求證：
（1） （2）方程在（0，1）內(nèi)恒有解。
8. 一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量（件）與售價(jià)P（元/件）之間的關(guān)系為=，生產(chǎn)件的成本R=元。
（1）該廠的月產(chǎn)量多大時(shí)，月獲得的利潤(rùn)不少于1300元？
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？
9. 函數(shù)與的圖象可能是（ ）
10. 定義在區(qū)間（－∞，+∞）的奇函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合，設(shè)，給出下列不等式：① ；② ；③ ；
④ 其中成立的是（ ）
A. ①與④ B. ②與③ C. ①與③ D. ②與④
11. 若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
12. 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值。
13. 設(shè)。
（1）證明：在其定義域上的單調(diào)性；
（2）證明：方程有惟一解；
（3）解不等式
14. 定義在上的函數(shù)滿足①對(duì)任意，都有
；② 當(dāng)時(shí)，有，求證：
。
【試題答案】
1. C
解析：當(dāng)即時(shí)，不等式為，恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，所以的范圍是。
2. A
解析：∵的對(duì)稱軸為，且，則，而
∴，∴，∴。
3.
解析：只需或即或?！?/span>
4.
解析：由知為對(duì)稱軸，由于距對(duì)稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，∴，∴
5. 解：（1）由得
由知，代入上式得
∴ ，即
（2）令，則
① 若，要使有最小值8，則在上應(yīng)有最大值，但在上不存在最大值。
② 若，要使有最小值8，則應(yīng)有最小值
∴ 當(dāng)時(shí)， 由得，∴所求，
6. 解：∵
（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意。
（2）當(dāng)時(shí)，則解得
綜上所述，的取值范圍是且
7. 證明：（1）
由于是二次函數(shù)，故，又，所以
（2）由題意，得
① 當(dāng)時(shí)，由（1）知
若，則，又，所以在內(nèi)有解
若則
又，所以在內(nèi)有解
② 當(dāng)時(shí)同理可證
8. 解：（1）設(shè)該廠的月獲利為，依題意得
由知
∴，∴，解得
∴當(dāng)月產(chǎn)量在件之間時(shí)，月獲利不少于1300元。
（2）由（1）知
∵為正整數(shù)，∴或33時(shí)，y取得最大值為1612元。
∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1612元。
9. C
解析：分類討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)
10. C
解析：用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)，又沒(méi)360docimg_501_
則360docimg_502_
360docimg_503_
∴360docimg_504_
又360docimg_505_
360docimg_506_
∴ 360docimg_507_
即①與③成立
11. 解析：設(shè)360docimg_508_，則原方程可變?yōu)?/span>360docimg_509_①
方程①有兩個(gè)正實(shí)根，則360docimg_510_解得：360docimg_511_
12. 解：（1）當(dāng)360docimg_512_時(shí)，函數(shù)360docimg_513_，此時(shí)360docimg_514_為偶函數(shù)；當(dāng)360docimg_515_時(shí)，360docimg_516_，此時(shí)函數(shù)360docimg_517_既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。
（2）① 當(dāng)360docimg_518_時(shí)，函數(shù)360docimg_519_，若360docimg_520_，則函數(shù)360docimg_521_在360docimg_522_上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)360docimg_523_在360docimg_524_上的最小值為360docimg_525_
若360docimg_526_，則函數(shù)360docimg_527_在360docimg_528_上的最小值為360docimg_529_，且360docimg_530_
② 當(dāng)360docimg_531_時(shí)，函數(shù)360docimg_532_
當(dāng)360docimg_533_時(shí)，則函數(shù)360docimg_534_在360docimg_535_上的最小值為：360docimg_536_，
且360docimg_537_，若360docimg_538_，則函數(shù)360docimg_539_在360docimg_540_上單調(diào)遞增
從而，函數(shù)360docimg_541_在360docimg_542_上的最小值為360docimg_543_
綜上，當(dāng)360docimg_544_時(shí)，函數(shù)360docimg_545_的最小值是360docimg_546_
當(dāng)360docimg_547_時(shí)，函數(shù)360docimg_548_的最小值是360docimg_549_；當(dāng)360docimg_550_時(shí)，函數(shù)360docimg_551_的最小值是360docimg_552_
13.（1）證明：由360docimg_553_得360docimg_554_的定義域?yàn)椋ǎ?/span>1，1），易判斷360docimg_555_在（－1，1）內(nèi)是減函數(shù)
（2）證明：∵360docimg_556_ ∴ 360docimg_557_，即360docimg_558_是方程360docimg_559_的一個(gè)解
若方程360docimg_560_還有另一個(gè)解360docimg_561_，則360docimg_562_
由反函數(shù)的定義知360docimg_563_，與已知矛盾，故方程360docimg_564_有惟一解
（3）解：360docimg_565_，即360docimg_566_
∴360docimg_567_或360docimg_568_
14. 證明：對(duì)360docimg_569_中的360docimg_570_，令360docimg_571_，得360docimg_572_
再令360docimg_573_，又得360docimg_574_，即360docimg_575_
∴ 360docimg_576_在360docimg_577_上是奇函數(shù)
設(shè)360docimg_578_，則360docimg_579_
∵360docimg_580_ ∴ 360docimg_581_ ∴ 360docimg_582_
于是由②知360docimg_583_，從而360docimg_584_，即360docimg_585_
故360docimg_586_在360docimg_587_上是單調(diào)遞減函數(shù)
根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知360docimg_588_在360docimg_589_上仍是遞減函數(shù)，且360docimg_590_
∵360docimg_591_
360docimg_592_
∴ 360docimg_593_
360docimg_594_
∵360docimg_595_時(shí)，有360docimg_596_，∴360docimg_597_，故原結(jié)論成立
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