基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”
教學(xué)的認(rèn)識與實踐*
任念兵（華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 201203）
欣賞
所謂“欣賞”，《辭?！返慕忉屖恰邦I(lǐng)略玩賞”，《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋是“享受美好的事物，領(lǐng)略其中的趣味”。數(shù)學(xué)欣賞，是一種高級的思維活動和特殊的實踐活動，以一定深度的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)習(xí)得和數(shù)學(xué)認(rèn)知為前提，并依托于欣賞者的科學(xué)素養(yǎng)、文化修養(yǎng)等，能夠增進(jìn)對數(shù)學(xué)概念、知識和思想的理解。
數(shù)學(xué)欣賞
“數(shù)學(xué)欣賞”的提法雖然并不新鮮，但是直到張先生呼吁之后，“數(shù)學(xué)欣賞”才與數(shù)學(xué)教學(xué)（尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)）聯(lián)系起來，引發(fā)了關(guān)于“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)的熱烈討論。本文將立足于張奠宙先生對“數(shù)學(xué)欣賞”含義的教學(xué)理解，在分析“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，提出基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”課堂教學(xué)的基本認(rèn)識，并談?wù)劰P者在校本選修課《高中數(shù)學(xué)欣賞》上的教學(xué)實踐與思考。
1.“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)研究的現(xiàn)狀
在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行“數(shù)學(xué)欣賞”的已有研究成果具有以下特點：
（1）研究大多集中于欣賞數(shù)學(xué)的外在美感，較少欣賞數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和理性精神。
（2）欣賞的具體案例大多集中于數(shù)學(xué)發(fā)展史上的經(jīng)典模型、趣味問題等，較少針對高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提煉、欣賞。
（3）研究內(nèi)容大多是在日常課堂教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)欣賞”，專門研究“數(shù)學(xué)欣賞”校本課程開發(fā)的成果不多。
總體而言，在課堂教學(xué)中對高中數(shù)學(xué)進(jìn)行欣賞的相關(guān)研究，目前還處于初步探索階段。
2．基于核心概念的數(shù)學(xué)欣賞的基本認(rèn)識
2.1 核心概念
在一個概念體系中，有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯(lián)系，我們稱這些概念為核心概念。由核心概念生長出來的概念稱為子概念。把握住數(shù)學(xué)的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了數(shù)學(xué)知識的根本，掌握了知識增長的源泉。概念教學(xué)的核心是“概括”，而“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力”，核心概念的概括和梳理對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的作用。鑒于數(shù)學(xué)核心概念在增長數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)能力上的中心地位，筆者在數(shù)學(xué)欣賞課堂教學(xué)中，堅持每個課例都緊緊圍繞某個核心概念（或重要的子概念），數(shù)學(xué)欣賞也就成了欣賞數(shù)學(xué)概念。
2.2 內(nèi)容選擇
首先，對于構(gòu)造性強(qiáng)、思維跨度大、方法創(chuàng)新程度高的教學(xué)內(nèi)容，可以讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的探索發(fā)現(xiàn)的過程，通過概念發(fā)生發(fā)展歷史中的關(guān)鍵節(jié)點，了解數(shù)學(xué)概念經(jīng)歷的由“火熱的思考”到“冰冷的美麗”的演變過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。比如，在“欣賞對數(shù)”中可以介紹對數(shù)發(fā)展史的關(guān)鍵節(jié)點[8]。
其次，數(shù)學(xué)欣賞要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，充分挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量。一方面是對選取的概念進(jìn)行系統(tǒng)的剖析（內(nèi)涵、外延、各種表征），一方面是選取與概念對應(yīng)的“好題”，通過解題幫助領(lǐng)悟核心概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。
最后，如何看待中國傳統(tǒng)文化的現(xiàn)實意義，是當(dāng)前的一個理論熱點。我國當(dāng)前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程，并非中國古代數(shù)學(xué)的延伸，而是全盤從西方引入的。因此，將西方數(shù)學(xué)與中華文明進(jìn)行適度整合，從中華文化的角度來詮釋西方數(shù)學(xué)，是一項值得思考的課題。比如，在“欣賞無限”中，筆者列舉了與數(shù)學(xué)中研究“無限”的方法有意境相通之處的若干名句。
2.3 結(jié)構(gòu)化教學(xué)
我們討論的數(shù)學(xué)欣賞，都是把學(xué)習(xí)過的教學(xué)素材按照研究的主題集中在一起讓學(xué)生重新欣賞，為了在這種復(fù)習(xí)中提升對相關(guān)主題的認(rèn)識層次，避免簡單地炒冷飯，就需要對選擇的教學(xué)素材進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M織。筆者在數(shù)學(xué)欣賞課堂上，都是按照結(jié)構(gòu)化教學(xué)的原則來組織欣賞素材。
每節(jié)課都圍繞一個中心論題（核心概念或重要子概念）展開教學(xué)，經(jīng)歷“從表面到本質(zhì)——理解概念的內(nèi)涵與外延”“從抽象到具體——對概念的不同表現(xiàn)形式的具體把握”“從孤立到系統(tǒng)——對概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認(rèn)識，將概念組織為具有層次性、立體化的結(jié)構(gòu)體系”的過程，精心組織相關(guān)的數(shù)學(xué)素材，使相應(yīng)的核心概念（及其反映的重要思想）成為一個有機(jī)整體，使學(xué)生形成邏輯關(guān)系清晰、聯(lián)系緊密的概念序列，從而形成功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。比如，在“欣賞角”中，通過對空間中“線面角”“面面角”的兩種理解(可以看成是“線線角”的最值、通過平面的法線可以轉(zhuǎn)化為“線線角”)來闡述角概念的內(nèi)涵，通過“有向角”來說明角概念的外延，通過直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系來認(rèn)識角概念的多元表征。
2.4 校本教材
在數(shù)學(xué)欣賞校本教材的編寫上，主要是以專題案例的形式進(jìn)行組織。數(shù)學(xué)學(xué)科獨特的結(jié)構(gòu)性決定了難以就單一知識點開發(fā)出豐富的數(shù)學(xué)欣賞的素材，而需要整合知識內(nèi)容，將零散的學(xué)習(xí)內(nèi)容集中起來進(jìn)行專題開發(fā)，放大某個數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯某種數(shù)學(xué)價值。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，校本教材中各專題緊緊圍繞高中數(shù)學(xué)教材中的核心內(nèi)容，大部分素材都取自教材、高考題等，只在數(shù)學(xué)發(fā)展史、人文意境等方面補(bǔ)充適當(dāng)?shù)钠渌牧稀?/p>
在校本教材的課程體系建構(gòu)中，不要求知識的系統(tǒng)性，而在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)以點帶面地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具理性和價值理性，引導(dǎo)學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)理性精神的前提下，感悟數(shù)學(xué)的人文意境。《高中數(shù)學(xué)欣賞》校本教材的編寫，最重要的指向是挖掘隱藏在高中數(shù)學(xué)教材的概念、結(jié)論背后的數(shù)學(xué)思想方法，欣賞數(shù)學(xué)的理性精神。
3. 高中數(shù)學(xué)欣賞選修課的教學(xué)實踐
3.1 課程開設(shè)時間
許多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，剛開始接觸時沒有辦法說透，真正的欣賞是在基本的理解和掌握的基礎(chǔ)上才會產(chǎn)生的。從這個意義上說，數(shù)學(xué)欣賞，是在基本理解的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的深入理解。所以，數(shù)學(xué)欣賞選修課應(yīng)在大部分高中數(shù)學(xué)內(nèi)容已經(jīng)學(xué)完的條件下開設(shè)，考慮到一線教學(xué)的實際，筆者決定在高二第二學(xué)期開設(shè)選修課，以一種全新的復(fù)習(xí)形式，挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生對高中數(shù)學(xué)的理解。
3.2 課程案例開發(fā)
案例（專題）的開發(fā)是設(shè)計數(shù)學(xué)欣賞的根本。筆者梳理了上海高中數(shù)學(xué)教材中的所有內(nèi)容（主要是代數(shù)和幾何），選取了背后蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)欣賞素材的若干概念，依次開發(fā)了數(shù)學(xué)欣賞十二講。涉及高二第二學(xué)期知識點的內(nèi)容盡量放在課程的后面幾講，大致配合日常必修課教學(xué)的進(jìn)度。
3.3 學(xué)生學(xué)習(xí)評價
因為不同的學(xué)生處于不同的欣賞層次，所以需要對學(xué)生在數(shù)學(xué)欣賞選修課上的學(xué)習(xí)進(jìn)行開放的評價，重點體現(xiàn)在考核方式上。筆者要求學(xué)生在學(xué)期末交一份作業(yè)（任選一種形式）：寫一篇數(shù)學(xué)欣賞的小文（可以是讀書筆記、上課感受等）、編一道值得欣賞的數(shù)學(xué)題（可以是改編做過的一道好題）、做一個數(shù)學(xué)小課題（可以是通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題）。
4. 高中數(shù)學(xué)欣賞課程的教學(xué)思考
4.1 數(shù)學(xué)欣賞與數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)
數(shù)學(xué)欣賞教學(xué)立足于核心概念（或重要子概念），通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，整合體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的素材，幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是具有開闊視野、靈活思維并善于多角度思考問題的前提，是學(xué)生數(shù)學(xué)能力強(qiáng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的重要表現(xiàn)和保證。通過數(shù)學(xué)欣賞課程的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、人文價值、美學(xué)價值，激發(fā)對于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動力的認(rèn)識，受到優(yōu)秀文化的熏陶，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
4.2 數(shù)學(xué)欣賞與教師專業(yè)發(fā)展
數(shù)學(xué)欣賞的前提是對數(shù)學(xué)知識必須有一個真正的認(rèn)識，融會貫通之后，才能在一定層次上進(jìn)行欣賞。開展數(shù)學(xué)欣賞教學(xué)，對教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求，除了具有豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗和扎實的數(shù)學(xué)功底外，還應(yīng)具備一定的文史功底(包括數(shù)學(xué)史)，惟有教師多讀多思多悟，才能在案例開發(fā)時對貼切的素材信手拈來，在課堂教學(xué)中能游刃有余。尤其需要指出的是，數(shù)學(xué)欣賞的教學(xué)素材，課本中沒有現(xiàn)成的設(shè)計，現(xiàn)有文獻(xiàn)成果雖然可以提供部分借鑒，但立足于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)秀案例仍需要研究者通過學(xué)習(xí)和鉆研，自己去發(fā)現(xiàn)和提煉，這需要教師對數(shù)學(xué)的獨到理解，也需要教師教學(xué)智慧的迸發(fā)，更需要教師教學(xué)經(jīng)驗的積淀。在數(shù)學(xué)欣賞案例開發(fā)中，做到“于無聲處聽驚雷，于無色處見繁花”，對教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)業(yè)務(wù)功底提出了極大的挑戰(zhàn)。
筆者一邊學(xué)習(xí)張奠宙先生的有關(guān)數(shù)學(xué)欣賞的理論論述，一邊積極開發(fā)一些選修課的教學(xué)案例、課例，嘗試如何將“數(shù)學(xué)欣賞”落實到校本選修課中，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。希望有更多的老師加入到數(shù)學(xué)欣賞的教學(xué)實踐中來，并在教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論構(gòu)建上的思考，從實踐到理論，開展一些實證研究工作。
*本文是上海市青年教師教育教學(xué)研究課題“高中‘?dāng)?shù)學(xué)欣賞’校本課程的開發(fā)研究”（Y2015A13S122V2075）的階段性成果.
參考文獻(xiàn)
1. 章建躍.數(shù)學(xué)課程改革與教師專業(yè)化發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2007（12）：3-7
2. 張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010（1-2）：3-7
3. 張奠宙.談?wù)n堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（10）：1-2
4. 張奠宙.數(shù)學(xué)欣賞：一片等待開發(fā)的沃土[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2014（1-2）：3-6
5. 李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報，2009（8）：1-3,9
6. 邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討[J].課程﹒教材﹒教法，2009（7）:47-51
7. 林崇德. 我的心理學(xué)觀[M].北京：商務(wù)印書館，2008:401
8. 任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)三探[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（8）：26-30
9. 任念兵，汪健.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)初探[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（7）：28-32
10. 章建躍. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計研究[J].數(shù)學(xué)通報，2006（7）:20-26
11. 任念兵，汪健.再議在高三復(fù)習(xí)課上“玩概念”[J].數(shù)學(xué)通報，2016（4）：7-11
12. 張奠宙.萬變不離其宗——數(shù)學(xué)欣賞：欣賞數(shù)學(xué)中的不變量與不變性質(zhì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（1）：1-3
13. 任念兵，汪健.立足教材理解數(shù)學(xué)優(yōu)化教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2016（8）：21-25
14. 章建躍等.美國高中數(shù)學(xué)核心概念圖[J].課程﹒教材﹒教法，2013（11）:115-121
15. 任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)再探[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（12）:27-31
