函數(shù)的奇偶性定義：
1．偶函數(shù)：一般地，對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么就叫做偶函數(shù)．
2．奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)的定義域的任意一個，都有，那么就叫做奇函數(shù)．
二、函數(shù)的奇偶性的幾個性質(zhì)
1、對稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；
2、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個都必須成立；
3、可逆性：
4、等價性：
5、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于
6、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。
7、判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義。
8、如果一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則這個函數(shù)在x=0處的函數(shù)值一定為0。并且關(guān)于原點對稱。
三、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征
一般地：
奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；
即：f(x)為奇函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于原點對稱 點（x,y）→（-x,-y）
偶函數(shù)的圖像關(guān)于
即： f(x)為偶函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于Y軸對稱 點（x,y）→（-x,y）
奇函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（例：奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。）
偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反（例：偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減）。
2．函數(shù)奇偶性與單調(diào)性(最值)之間的關(guān)系
(1)若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是增函數(shù)，且有最小值－M.
(2)若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
五、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用
1、函數(shù)的對稱性
如果函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線?______對稱．
一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的對稱軸方程是?______.
兩個函數(shù)
2、函數(shù)的周期性
函數(shù)的周期性的定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈D，若存在非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D都有?________，則函數(shù)
f(x)為周期函數(shù)，T為y＝f(x)的一個周期．
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
(3)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也一定是f(x)的周期．
若函數(shù)f(x)對定義域中任意x滿足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－(a≠0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，它的一個周期是?________.若
六、函數(shù)的奇偶性的判斷
函數(shù)奇偶性的因素有兩個：定義域的對稱性和數(shù)量關(guān)系。判斷函數(shù)奇偶性就是判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)四種情況。
判斷函數(shù)奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查
1、若定義域不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；
若定義域?qū)ΨQ，則有成為奇（偶）函數(shù)的可能，到底怎樣，取決于數(shù)量關(guān)系
若
若
2．討論函數(shù)奇偶性時，注意定義域優(yōu)先原則．
3．由奇偶函數(shù)的圖象的對稱性，只要知道函數(shù)在原點的一側(cè)區(qū)間上的有關(guān)性質(zhì)，就可得出函數(shù)在其
對稱區(qū)間上的性質(zhì)．
4．若T是f(x)的一個周期，則kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期．
5．(1)若函數(shù)f(x)存在兩條平行于y軸的對稱軸，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；若函數(shù)f(x)具有奇偶性，又
有一條平行于y軸的對稱軸，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)．
6．注意函數(shù)性質(zhì)的逆向應(yīng)用．
（2）、圖像法：
f(x)為奇函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于原點對稱 點（x,y）→（-x,-y）
f(x)為偶函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于Y軸對稱 點（x,y）→（-x,y）
（3）、特值法：根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，在定義域內(nèi)取特殊值自變量，計算后根據(jù)因變量的關(guān)系判斷
函數(shù)奇偶性。
（4）、性質(zhì)法
（5）、函數(shù)奇、偶性的運算：利用已知函數(shù)的奇偶性及以下準(zhǔn)則（前提條件為兩個函數(shù)的定義域交集不為空集）：
1)若f(x)與g(x)都是奇函數(shù)，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區(qū)間上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函數(shù)，f(x)·g(x)與為偶函數(shù)．
2)若f(x)與g(x)都是偶函數(shù)，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區(qū)間上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函數(shù)．
3）奇函數(shù)與偶函數(shù)的和（差）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；
4)若f(x)與g(x)中一個為奇函數(shù)，另一個為偶函數(shù)，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區(qū)間上，
f(x)·g(x)，都為奇函數(shù)．
3．若y＝f(x)為奇函數(shù)，且y＝f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.
性質(zhì)
1、偶函數(shù)沒有反函數(shù)（偶函數(shù)在定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù)），奇函數(shù)的反函數(shù)仍是奇函數(shù)。
2、偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同。
3、對于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)
若g(x)奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F（x）是奇函數(shù)
若g(x)奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F（x）是偶函數(shù)
5、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點對稱
案例分析：
考點一、判斷函數(shù)的奇偶性
例1．判斷下列函數(shù)是否是偶函數(shù)．（1）
（3）f (x) = x + x3 +x5； （4）f (x) = x2 +1；
（7）f (x) = 0.
變式訓(xùn)練
1、判斷下列函數(shù)的是否具有奇偶性：
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；
2、下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是( )
①偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是f(0)＝0；
③偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4
考點二、分段函數(shù)的奇偶性
解析：分別討論每一個區(qū)間與其對稱區(qū)間上的對稱性，是否符合奇偶性的定義．
例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：
①
②
分析：先驗證函數(shù)定義域的對稱性，再考察
解：（1）
（2）當(dāng)＞0時，－＜0，于是
當(dāng)＜0時，－＞0，于是
綜上可知，在R－∪R+上，
例2、判斷函數(shù)f(x)＝的奇偶性．
思路點撥：分x＞0或x＜0兩種情況計算f(－x)，然后再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．
解：函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．
①當(dāng)x＞0時，－x＜0，
則f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②當(dāng)x＜0時，－x＞0，
則f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．
【名師點撥】 分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．也可根據(jù)圖象判定．
1、如果函數(shù)f(x)＝，其奇偶性怎樣？
解：當(dāng)x＞0時，f(x)＝x3－3x2＋1，－x＜0，f(－x)＝－(－x)3－3(－x)2＋1＝x3－3x2＋1＝f(x)．
當(dāng)x＜0時，f(x)＝－x3－3x2＋1.－x＞0，f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝f(x)．
綜上可得f(－x)＝f(x)
∴f(x)為偶函數(shù)．
考點二、利用奇偶函數(shù)圖像的對稱性質(zhì)
偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，反過來， 若一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).
由奇函數(shù)的定義可得：
奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反過來， 若一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則這個
函數(shù)是奇函數(shù)
例2．如圖，給出了奇函數(shù)y = f (x)的局總圖象，求f (– 4).
例3．如圖，給出了偶函數(shù)y = f (x)的局部圖象，試比較f (1)與 f (3)
1．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象必過點( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)，即自變量?。璦時，函數(shù)值為－f(a)，故圖象必過點(－a，－f(a))．
答案：C
2．若函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有兩個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴f(x)與x軸的兩個交點關(guān)于y軸對稱，若一根為x1，則另一根必為－x1，故f(x)＝0的所有實根之和為0.
答案：C
3．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故選A.
答案：A
考點三、根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式
例3、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
分析：由奇函數(shù)的定義知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)計算當(dāng)x<0時f(x)的表達式，構(gòu)成定義在R上的奇函數(shù)．
解：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．
∵當(dāng)x<0時，－x>0，∴f(x)＝－f(－x)＝－2x2＋3x＋1.
又∵奇函數(shù)f(x)在原點的定義，f(0)＝0.
∴f(x)＝
1、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
[解析] 本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的求法．f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－(－1)]＝－3，
故選A.
2、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x(1＋)，求當(dāng)x∈(－∞，0)時f(x)的解析式．
解：設(shè)x∈(－∞，0)，則－x∈(0，＋∞)．由已知得f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．
∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)．
即f(x)＝x(1－)，∴當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)的解析式為f(x)＝x(1－)．
考點三、利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍
例1、已知函數(shù)的定義域為
（1）是奇函數(shù)；（2）在定義域上單調(diào)遞減；（3）
求
1、設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：利用奇函數(shù)性質(zhì)知f(x)在[－2,2]上是減函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)性，脫去符號“f”，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式(組)．
解∵f(x)在[－2,2]上為奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－2,2]上為減函數(shù)，又f(1－m)<f(m)．
∴ 即解得－1≤m<.
變式體驗1 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，－3]上是增函數(shù)，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是( )
A．增函數(shù)且最大值是4 B．增函數(shù)且最小值是4
C．減函數(shù)且最大值是4 D．減函數(shù)且最小值是4
解析：作一個符合條件的函數(shù)的簡圖．觀察圖形，可知f(x)在[3,5]上是增函數(shù)，且最小值為4.
答案：B
變式訓(xùn)練：
1、已知奇函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且
A.
2、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R
4．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)
C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù) D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)
5．若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝______.
考點五、函數(shù)奇偶性的證明、奇偶函數(shù)的單調(diào)性
例1、已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
（1）試判斷f(x)的奇偶性；
（2）若-
解：(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此時,f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù).
（2）當(dāng)x≤a時,f(x)=x2-x+a+1=(x-
∵a≤
從而函數(shù)f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a2+1.
當(dāng)x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+
∵a≥-
最小值為f(a)=a2+1.
綜上得，當(dāng)-
例2、已知f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求a、b的值；
解：(1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立，
則2(a＋b)x2＋2a＝0對任意的實數(shù)x恒成立．∴a＝b＝0.
考點五、函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用
例1、若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值．
分析：注意到g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函數(shù)，則g(－x)＋g(x)＝0.
解：當(dāng)x>0時，f(x)≤8，則當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)≤8，設(shè)x∈(－∞，0)，則
f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3
＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6
＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2.
所以f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.
1、已知f(x)與g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，則F(2)＝ 1?。?/p>
解：(1)因為f(x)與g(x)都是奇函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋b[－g(x)]＋3＝6，
所以F(x)＝6－F(－x)，
所以F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.
2、已知函數(shù)f(x)＝x3＋sinx的定義域為(－1,1)，則滿足不等式f(a2－1)＋f(1－2a)<0的a的取值范圍是 (0,1) .
解：因為f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，所以f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即f(a2－1)<f(2a－1)．
1、設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x＝
則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
2、定義在{x|x∈R，x≠1}上的函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），當(dāng)x＞1時，f(x)＝
3、設(shè)函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6個不同的實數(shù)根，
則這6個實數(shù)根的和為
4、設(shè)函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數(shù)y=f（x）恰有6個不同的零點，則這6個零點
的和為
5、函數(shù)f（x）在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且f（x）滿足條件：對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），
f（1+x）=-f（x），則f（x）是（ ?。?/p>
A．奇函數(shù)但非偶函數(shù) B．偶函數(shù)但非奇函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)
考點六、抽象函數(shù)奇偶性的判斷
例1、已知函數(shù)f(x)，x∈R，若對任意實數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求證：f(x)為奇函數(shù)．
證明 設(shè)a＝0，則f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又設(shè)a＝－x，b＝x，則f(0)＝f(－x)＋f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函數(shù)．
變式遷移3 證明 令x1＝0，x2＝x，
則得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①
又令x1＝x，x2＝0，得
f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②
由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．
例2、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的a、b∈R都滿足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)證明f(x)為奇函數(shù)．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)證明：∵a，b∈R，∴可賦a、b為某些特殊值．
令a＝b＝－1，則f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，
∴f(x)為奇函數(shù)．
1、已知函數(shù)f(x)對一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
分析：判定函數(shù)的奇偶性應(yīng)湊f(－x)的形式，令y＝－x即可．
解：(1)證明：由題意知，f(x)的定義域是R，它關(guān)于原點對稱．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得
f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)．
(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函數(shù)，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
例3、已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-
（1）證明： ∵函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱.
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
（2）解：方法一 設(shè)x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù).又∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（-2）為最大值，f(6)為最小值.
∵f(1)=-
∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.
方法二 設(shè)x1＜x2,且x1,x2∈R.
則f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.
∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.
考點七、函數(shù)的周期性及應(yīng)用
例1、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.
(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；
(2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式；
(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
解：(1)因為y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，且f(x)為奇函數(shù)，所以f(2－x)＝f(x)．
因為f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．
(2)因為x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.
設(shè)x∈[－2,0]，則－x∈[0,2]，又f(x)是奇函數(shù)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
當(dāng)x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]，
所以f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x－8＋x2－8x＋16＝x2－6x＋8.
即當(dāng)x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)由x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2，可得f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
又x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8，可得f(3)＝－1，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而f(x＋4)＝f(x)，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]×503＝0.
1、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足：①f(x)＝f(2－x)；②當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x2.
(1)判斷函數(shù)f(x)是否是周期函數(shù)；
(2)求f(5.5)的值．
例2、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；
(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的個數(shù)．
(1)證明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．
(2)解 當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，設(shè)－1≤x≤0，則0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)．
又設(shè)1<x<3，則－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)．
又∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)
∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)．
∴f(x)＝
由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 014，則≤n≤.又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，
∴在[0,2 014]上共有503個x使f(x)＝－.
考點八、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例1、定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，對任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)且f(0)≠0.
(1)求證：f(0)＝1；
(2)判斷y＝f(x)的奇偶性；
(3)若存在正常數(shù)C，使f()＝0.
①求證：對任意x∈R，有f(x＋C)＝－f(x)成立；
②試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)？如果是，找出它的一個周期；如果不是，請說明理由．
分析：(1)用賦值法；(2)依題設(shè)構(gòu)造f(－x)與f(x)的關(guān)系；(3)存在型問題，可由存在入手推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論．
解 ：(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，則2f(0)＝2f2(0)．
又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2)令x＝0，則f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
所以f(y)＝f(－y)，即f(x)＝f(－x)，
又x∈R，所以f(x)為偶函數(shù)．
(3)①證明：用x＋，(C>0)替換x，y，則f(x＋＋)＋f(x＋－)＝2f(x＋)·f()．
又f()＝0，所以f(x＋C)＋f(x)＝0，即f(x＋C)＝－f(x)；
②由①的結(jié)論知f(x＋2C)＝－f(x＋C)＝f(x)(C>0)，
所以f(x)是周期函數(shù)，2C就是它的一個周期．
點評：特殊值法是解決抽象函數(shù)問題常用的有效方法，通過所給關(guān)系式，對其中的變量進行有效賦值，注意借助具體模
型思考，聯(lián)系解題目標(biāo)賦值．
1、設(shè)f(x)是定義在[－1,1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝g(2－x)，且當(dāng)x∈[2,3]時，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)3.
(1)求f(x)的表達式；
(2)是否存在正實數(shù)a(a>6)，使函數(shù)f(x)的圖象最高點在直線y＝12上，若存在，求出正實數(shù)a的值；若不存在，
請說明理由．
【解析】(1)當(dāng)x∈[－1,0]時，2－x∈[2,3]，
f(x)＝g(2－x)＝2a(－x)－4(－x)3＝4x3－2ax，
因為y＝f(x)在[－1,1]是偶函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝f(－x)＝－4x3＋2ax.
(2)命題等價于f(x)max＝12，由于f(x)為偶函數(shù)，故只需考慮0≤x≤1的情況．f ′(x)＝－12x2＋2a (0≤x≤1，a>6)．
由f ′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．
因為>1，所以當(dāng)0≤x≤1時，f ′(x)>0，
即f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．
所以f(x)max＝f(1)＝12，所以a＝8.
綜上，存在a＝8使得f(x)的圖象的最高點在直線y＝12上．
鞏固練習(xí)：
1、f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)，又當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)＝2x－1，則f(log6)等于 ( )．
A．－5 B．－6 C．－ D．－
解析 f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，
∴f(log6)＝－.
答案 D
2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，當(dāng)x∈[3,5]時，f(x)＝2－|x－4|，則下列不等式一定成立的是 ( )．
A．
解析 當(dāng)x∈[－1,1]時，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，
顯然當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)為減函數(shù)，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.
答案 A
4．已知函數(shù)f(x)＝則該函數(shù)是 ( )．
A．偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減
C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D． 奇函數(shù)，且單調(diào)遞減
解析 當(dāng)x>0時，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，故f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上為增函數(shù)，又x≥0時1－2－x≥0，x<0時2x－1<0，故f(x)為R上的增函數(shù)．
答案 C
1．函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則 ( )．
A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數(shù)
解析 由已知條件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．則f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函數(shù)f(x＋3)也是奇函數(shù)．
答案 D
2．設(shè)函數(shù)D(x)＝則下列結(jié)論錯誤的是 ( )．
A．D(x)的值域為{0,1} B．D(x)是偶函數(shù)C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調(diào)函數(shù)
解析 顯然D(x)不單調(diào)，且D(x)的值域為{0,1}，因此選項A、D正確．若x是無理數(shù)，－x，x＋1是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，－x，x＋1也是有理數(shù)．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．則D(x)是偶函數(shù)，D(x)為周期函數(shù)，B正確，C錯誤．
答案 C
3．f(x)＝2x＋sin x為定義在(－1,1)上的函數(shù)，則不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________.
解析 f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)．于是原不等式為f(1－a)<f(2a－1)等價于解得<a<1.
答案
4．若定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝－f(x)，則下列結(jié)論：①f(x)的圖象關(guān)于點
解析 由函數(shù)為奇函數(shù)且滿足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f＝－f，f＝f，所以②③正確．
答案?、冖?/p>
5．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
解析 由題意知，函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案 0
6．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.
解析 因為y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時，y＝2，所以當(dāng)x＝－1時，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案?。?
三、解答題(共25分)
7．(12分)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．
解 (1)因為對定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，所以令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝0，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)．
8．(13分)設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．
解 由偶函數(shù)性質(zhì)知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，
因此f(1－m)<f(m)等價于
解得：<m≤2.
因此實數(shù)m的取值范圍是.
5．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)．求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，
當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2，(x≠0)
顯然為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函數(shù)f(x)＝x2＋既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
(2)f′(x)＝2x－＝，
當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，
當(dāng)a>0時，由f′(x)＝>0，
解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，
可知 ≤2.解得0<a≤16.
綜上可知實數(shù)a的取值范圍是(－∞，16]．
4．設(shè)
在
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
4. A
5．已知函數(shù)
則
A．偶函數(shù)，奇函數(shù) B．奇函數(shù)，偶函數(shù) C．偶函數(shù)，偶函數(shù) D．奇函數(shù)，奇函數(shù)
5. D
或當(dāng)
當(dāng)
7. 已知冪函數(shù)
6．已知函數(shù)f(x)＝，若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
答案：C
24．已知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，則f（1）的值（ ）
A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為0 D．可正可負(fù)
6．已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上有定義，
(1)f(x)為奇函數(shù)；
(2)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．
證明 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，
再由f(x)＋f(y)＝
令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0，
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)為奇函數(shù)．
(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減．令0<x1<x2<1，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f.
∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0，
即>0.
又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，
∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1.
由題意，知f<0，即f(x2)<f(x1)，
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)＝0，
∴f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減.
