數(shù)學(xué)中考知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)總結(jié)專題一 數(shù)與式考點(diǎn)1.1、實(shí)數(shù)的概念及分類1、 實(shí)數(shù)的分類有理數(shù)：整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．如：－3，，0.231，0.737373...，，．無(wú)理數(shù)：無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)如：π，－，0.1010010001...(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0)．實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)． 2、無(wú)理數(shù) 在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住"無(wú)限不循環(huán)"這一時(shí)之，它包含兩層意思：一是無(wú)限小數(shù)；二是不循環(huán)．二者缺一不可．歸納起來(lái)有四類： （1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如等； （2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如+8等； ?。?）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001...等； ?。?）某些三角函數(shù)，如sin60o等注意：判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的屬性(如有理數(shù)、無(wú)理數(shù))，應(yīng)遵循：一化簡(jiǎn)，二辨析，三判斷．要注意："神似"或"形似"都不能作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)． 3、非負(fù)數(shù)：正實(shí)數(shù)與零的統(tǒng)稱。（表為：x≥0）常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有： 性質(zhì)：若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。 4、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。 解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。①畫(huà)一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较?，就得到?shù)軸（"三要素"）②任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示?！?③如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)?！ ∽饔茫篈.直觀地比較實(shí)數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對(duì)值意義;C.建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?！ ?、相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。即：(1)實(shí)數(shù)的相反數(shù)是．(2)和互為相反數(shù)． 6、絕對(duì)值一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。(1)一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．即：﹝另有兩種寫(xiě)法﹞(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．☆(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零，例如：若，則，，．注意：│a│≥0,符號(hào)"││"是"非負(fù)數(shù)"的標(biāo)志;數(shù)a的絕對(duì)值只有一個(gè);處理任何類型的題目，只要其中有"││"出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉"││"符號(hào)?！ ?、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。即(1)實(shí)數(shù)(≠0)的倒數(shù)是． (2)和互為倒數(shù)?！?3)注意0沒(méi)有倒數(shù)． 8、有效數(shù)字 一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。 9、科學(xué)記數(shù)法 把一個(gè)數(shù)寫(xiě)做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。（1）確定：是只有一位整數(shù)數(shù)位的數(shù)．（2）確定n：當(dāng)原數(shù)≥1時(shí)，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；；當(dāng)原數(shù)<1時(shí)，是負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)（含整數(shù)位上的零）。例如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10ˉ5．（3）.近似值的精確度：一般地，一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位（4）按精確度或有效數(shù)字取近似值，一定要與科學(xué)計(jì)數(shù)法有機(jī)結(jié)合起來(lái)．10、實(shí)數(shù)大小的比較 知識(shí)1、數(shù)軸 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。 解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用?！ ≈R(shí)2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法 ?。?）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。 ?。?）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)， ?。?）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)， ?。?）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。 ?。?）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。11、實(shí)數(shù)的運(yùn)算 （做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大） 1、加法交換律 2、加法結(jié)合律 3、乘法交換律 4、乘法結(jié)合律 5、乘法對(duì)加法的分配律 6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序1． 先算乘方開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。2． （同級(jí)運(yùn)算）從"左"到"右"（如5÷×5）;(有括號(hào)時(shí))由"小"到"中"到"大"。12、有理數(shù)的運(yùn)算：加法：①同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，把絕對(duì)值相加。②異號(hào)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。③一個(gè)數(shù)與0相加不變。減法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。乘法：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。除法：①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。乘方：求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)?？键c(diǎn)1.2、實(shí)數(shù)與二次根式 1、平方根 如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）?！ ∫粋€(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。 正數(shù)a的平方根記做""?！ ?、算術(shù)平方根 正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作""?！ ≌龜?shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零?！ ? （0） ；注意的雙重非負(fù)性： -（<0） 0注意：算術(shù)平方根與絕對(duì)值① 聯(lián)系：都是非負(fù)數(shù)，=│a│②區(qū)別：│a│中，a為一切實(shí)數(shù);中，a為非負(fù)數(shù)。3、算術(shù)平方根的估算方法：兩端逼近法．例如：估算．(精確到0．1)∵∴．又∵，又∵6更靠近5．76，∴ 4、立方根 如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）?！ ∫粋€(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。 注意：，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。 二次根式 5、二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號(hào)""；被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)?！ ?、最簡(jiǎn)二次根式 若二次根式滿足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式?！ 』胃綖樽詈?jiǎn)二次根式的方法和步驟： （1）如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫(xiě)成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)?！ 。?）如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)?！ ?、同類二次根式 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式?！ ?、二次根式的性質(zhì) ?。?） ?。?） ?。?）（4） 注： 9、根式運(yùn)算法則： ?、偶臃ǚ▌t（合并同類二次根式）; ?、瞥恕⒊ǚ▌t; ?、欠帜赣欣砘篈.;B.;C.. 10.指數(shù) ⑴ (-冪，乘方運(yùn)算)① a＞0時(shí)，＞0;②a＜0時(shí)，＞0（n是偶數(shù)），＜0（n是奇數(shù)）⑵零指數(shù)：=1（a≠0）負(fù)整指數(shù)：=1/（a≠0,p是正整數(shù)） 11、二次根式混合運(yùn)算 二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）?？键c(diǎn)1.3、代數(shù)式與整式 1、代數(shù)式 用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。 表示方根的代數(shù)式叫做根式?！ 『嘘P(guān)于字母開(kāi)方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無(wú)理式。 注意：①?gòu)耐庑紊吓袛?②區(qū)別：、是根式，但不是無(wú)理式（是無(wú)理數(shù)）?！ ?、單項(xiàng)式 只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式?！ ∽⒁猓?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式?！ ∽⒁猓合禂?shù)與指數(shù)：區(qū)別與聯(lián)系：①?gòu)奈恢蒙峡?②從表示的意義上看其含義有：①不含有加、減運(yùn)算符號(hào)．②字母不出現(xiàn)在分母里．③單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者字母也是單項(xiàng)式．④不含"符號(hào)"．多項(xiàng)式 3、多項(xiàng)式 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)?！ 雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。 用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值?！ ∽⒁猓海?）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的取值代入?！ ? （2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體"代入?！ ?、同類項(xiàng) 所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)?！ ? 條件：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同 合并依據(jù)：乘法分配律 5、去括號(hào)法則 ?。?）括號(hào)前是"+"，把括號(hào)和它前面的"+"號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào)?！ 。?）括號(hào)前是"﹣"，把括號(hào)和它前面的"﹣"號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)?！ ?、整式的運(yùn)算法則 整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類項(xiàng)?！ ≌降某朔ǎ骸 ≌降某ǎ骸 ∽⒁猓海?）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。（3）計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。（4）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中，有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。（5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。（6）（7）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。考點(diǎn)1.4、整式的乘除 同上考點(diǎn)1.5、因式分解 1、因式分解 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式?！ ?、因式分解的常用方法 ?。?）提公因式法： ?。?）運(yùn)用公式法：① 擴(kuò)展： ② 擴(kuò)展： 或同理：或③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．公式拓展：⑥ ?、撷唷 、帷 、狻 、稀 。?）分組分解法： ?。?）十字相乘法： 3、因式分解的一般步驟： ?。?）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式?！ 。?）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式 ?。?）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止?？键c(diǎn)1.6、分式 1、分式的概念 一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式?！ ?、分式的性質(zhì) ?。?）分式的基本性質(zhì)： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。 基本性質(zhì)：=（m≠0） ?。?）分式的變號(hào)法則： 分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變?！ 》?hào)法則： 3、分式的運(yùn)算法則 技巧： 4、繁分式：①定義：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化簡(jiǎn)方法（兩種）通常把繁分式寫(xiě)成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)．專題二 方程與不等式方程的分類考點(diǎn)2.1 一元一次方程及可以化為一元一次方程的分式方程一元一次方程的概念 1、方程 含有未知數(shù)的等式叫做方程?！ ?、方程的解 能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解?！ ?、等式的性質(zhì) ?。?）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式?！ =b←→a+c=b+c （2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式?！ =b←→ac=bc (c≠0) 4、一元一次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。注意：解法 一元一次方程的解法：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化成1→解。驗(yàn)根說(shuō)明：對(duì)于以為未知數(shù)的最簡(jiǎn)方程，若沒(méi)有給出字母a和b的取值范圍，其解有下面三種情況：①時(shí)一元一次方程，有唯一解．②，時(shí)，方程無(wú)解．③，時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解． 分式方程 5、分式方程 分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程?！ ?、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是將"分式方程"轉(zhuǎn)化為"整式方程"。它的一般解法是： ?。?）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母 ?。?）解所得的整式方程 ?。?）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。 7、分式方程的特殊解法 換元法： 換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。注意．方程的增根與遺根(1)在方程變形時(shí)，能產(chǎn)生不適合原方程的根叫做方程的增根．(2)在方程變形時(shí)，由于盲目變形，在方程的兩邊同除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而導(dǎo)致方程遺根． 8、常用的相等關(guān)系1． 行程問(wèn)題（勻速運(yùn)動(dòng)） 基本關(guān)系：s=vt ⑴相遇問(wèn)題(同時(shí)出發(fā))： +=; ?、谱芳皢?wèn)題（同時(shí)出發(fā)）： 若甲出發(fā)t小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則 ?、撬泻叫校?⑷配料問(wèn)題：溶質(zhì)=溶液×濃度溶液=溶質(zhì)+溶劑 ?、桑鲩L(zhǎng)率問(wèn)題： ?、剩こ虇?wèn)題：基本關(guān)系：工作量=工作效率×工作時(shí)間（常把工作量看著單位"1"）。 ?、耍畮缀螁?wèn)題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 注意語(yǔ)言與解析式的互化 如，"多"、"少"、"增加了"、"增加為（到）"、"同時(shí)"、"擴(kuò)大為（到）"、"擴(kuò)大了"、...... 又如，一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是abc。 注意從語(yǔ)言敘述中寫(xiě)出相等關(guān)系。如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。㈤注意單位換算如，"小時(shí)""分鐘"的換算;s、v、t單位的一致等。 列方程（組）解應(yīng)用題 是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是： ?、艑忣}。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什么?！ 、圃O(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。 ?、怯煤粗獢?shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量?！ 、葘ふ蚁嗟汝P(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的?！ 、山夥匠碳皺z驗(yàn)。 ?、蚀鸢浮！ 【C上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵?？键c(diǎn)2.2 二元一次方程組 1、二元一次方程 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（ 2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解。 3、二元一次方程組兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。一般形式：（不全為0） 4二元一次方程組的解 使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。 5、二元一次方程組的解法 基本思想："消元"解法：（1）代入法（2）加減法⑶二元一次方程組一元一次方程組． 6、三元一次方程 把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程?！ ?、三元一次方程組由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。(1)一般形式：(2)解法：三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組．考點(diǎn)2.3一元一次不等式〔組〕1、不等式 用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。 2、不等式的解集 對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解。 對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集?！ ∏蟛坏仁降慕饧倪^(guò)程，叫做解不等式。 3、用數(shù)軸表示不等式的方法 4、不等式基本性質(zhì)⑴、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變?！ 、?、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變?！ 、恰⒉坏仁絻蛇叾汲艘裕ɑ虺裕┩粋€(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變?！ 〔坏仁降男再|(zhì)：⑴a>b←→a+c>b+c ⑵a>b←→ac>bc(c>0) ?、莂>b←→ac<bc(c<0) ?、龋▊鬟f性）a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d. 5、一元一次不等式⑴、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)?！ 、?、一元一次不等式的解法 （在數(shù)軸上表示解集） 解一元一次不等式的一般步驟： ?。?）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1即通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，把不等式化為(或)()的形式，再把系數(shù)化為1得出不等式的解集．說(shuō)明：在去分母和化系數(shù)為l時(shí)，需特別注意不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)，要將不等號(hào)改變方向，其解集情況如下：①當(dāng)時(shí)，(或)．②當(dāng)時(shí)，(或)．③當(dāng)時(shí)，若，不等式無(wú)解(或不等式的解集為一切實(shí)數(shù))．④當(dāng)時(shí)，若，不等式的解為一切實(shí)數(shù)(或不等式無(wú)解)．6、一元一次不等式組⑴、一元一次不等式組的概念 幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組?！ 讉€(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集?！ ∏蟛坏仁浇M的解集的過(guò)程，叫做解不等式組?！ ‘?dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集?！ 、?、一元一次不等式組的解法 （在數(shù)軸上表示解集） ?。?）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集 ?。?）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。即先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即為不等式組的解集．兩個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組的解集的一般情況可見(jiàn)下表(其中)．口訣不等式組解集在數(shù)軸上表示同小取小同大取大大小取中兩背為空不等式組無(wú)解考點(diǎn)2.4 一元二次方程 1、一元二次方程 含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程?！ ?、一元二次方程的一般形式 ，它的特征是：等式左邊十一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。3、一元二次方程的解法 ①、直接開(kāi)平方法 利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根?！ 、凇⑴浞椒ā ∨浞椒ㄊ且环N重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有?！ 、?、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： ?、?、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法?！?、一元二次方程根的判別式 根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用""來(lái)表示，即①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．③方程無(wú)實(shí)數(shù)根．④方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。反之：①一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根②一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根③一元二次方程無(wú)實(shí)根④一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根結(jié)論：（1）若二次三項(xiàng)式是完全平方式，則方程的判別式=0。（2）方程有實(shí)數(shù)根，包括兩種情況：①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，②，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根?！ ≌f(shuō)明：根的判別式最常見(jiàn)的用法有： ①不解方程判別一元二次方程根的情況。 ?、谟煞匠谈那闆r確定某些字母的值或范圍． 5、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。注意⑴逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：?！ 、瞥Ｓ玫仁剑骸 、?，⑷6、一元二次方程的應(yīng)用題（1）商品利潤(rùn)問(wèn)題：每件商品利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)漲價(jià)時(shí)： 商品總利潤(rùn)=每件商品利潤(rùn)×商品件數(shù)=(原來(lái)利潤(rùn)+漲價(jià))×（原來(lái)件數(shù)-減少件數(shù)）降價(jià)時(shí)： 商品總利潤(rùn)=每件商品利潤(rùn)×商品件數(shù)=(原來(lái)利潤(rùn)-降價(jià))×（原來(lái)件數(shù)+增加件數(shù)）（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：①（其中是原來(lái)數(shù)量，是增長(zhǎng)次數(shù)，是次增長(zhǎng)后到達(dá)數(shù)）②（3）矩形內(nèi)修路問(wèn)題的常用思路是用平移集中法。列方程(組)解應(yīng)用題，千萬(wàn)不要死記硬背例題的類型及其解法，要具體問(wèn)題具體分析，一般來(lái)講，應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：1．審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能找出能夠表示應(yīng)用問(wèn)題的全部含義的等量關(guān)系．2．設(shè)未知數(shù)：選擇一個(gè)或幾個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗浚米帜副硎?，并根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的未知量．3．列方程(組)：根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)．4．解方程(組)：其過(guò)程可以省略，但要注意技巧和方法。5．檢驗(yàn)：首先檢查所列方程(組)是否正確，然后檢驗(yàn)所得方程的解是否符合題意．6．寫(xiě)答：不要忘記單位名稱．7、分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母．②特殊解法：換元法．(2)驗(yàn)根：由于在去分母過(guò)程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大而有可能產(chǎn)生增根．因此，驗(yàn)根是解分式方程必不可少的步驟，一般把整式方程的根的值代人最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．說(shuō)明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法．8．二元二次方程組(1)由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組．(2)由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程組成的方程組．基本解法是：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；降次，轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．專題三 函數(shù)考點(diǎn)3.1 位置與坐標(biāo)1、平面直角坐標(biāo)系 在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系?！ ∑渲?，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)O（即公共的原點(diǎn)）叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面?！ 榱吮阌诿枋鲎鴺?biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限?！ ?、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念 點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有"，"分開(kāi)，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)，（a，b）和（b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點(diǎn)，由點(diǎn)P向軸作垂線，垂足對(duì)應(yīng)著軸上的一個(gè)實(shí)數(shù)；由點(diǎn)P向軸作垂線，垂足對(duì)應(yīng)著軸上一個(gè)實(shí)數(shù)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)就是()，其中叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．說(shuō)明：點(diǎn)的坐標(biāo)的定義實(shí)際上給出了求點(diǎn)的坐標(biāo)的一種非常重要的方法，要注意橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的順序不能顛倒． 3、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征﹝1﹞、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一象限 點(diǎn)P(x,y)在第二象限 點(diǎn)P(x,y)在第三象限 點(diǎn)P(x,y)在第四象限 ﹝2﹞、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征 點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù) 點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù) 點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x(chóng)，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0） ﹝3﹞、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x(chóng)與y相等 點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x(chóng)與y互為相反數(shù) ﹝4﹞、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。 位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同?！ 々z5﹞、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是． ﹝6﹞、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離 點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離： 點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于 點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于 點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于☆．﹝7﹞ (1)若PQ∥x軸，則．． (2)若PQ∥y軸，則．☆﹝8﹞．若，，當(dāng)是線段AB的中點(diǎn)時(shí)*﹝9﹞.若，，則﹝10﹞．坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 考點(diǎn)3.2 函數(shù)的表示函數(shù)的概念1．常量與變量：在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；在某一變化過(guò)程中保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量．2．函數(shù)：在某一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，其中x做自變量，y是因變量．(1)自變量取值范圍的確定①整式函數(shù)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．②分式函數(shù)自變量的取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù)．③二次根式函數(shù)自變量的取值范嗣是使被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)，若涉及實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)，除滿足上述要求外還要使實(shí)際問(wèn)題有意義．(2)函數(shù)值：對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求得的函數(shù)的對(duì)應(yīng)值．3．函數(shù)常用的表示方法：解析法、列表法、圖象法．由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖象，一般步驟是：列表、描點(diǎn)、連線． 考點(diǎn)3.3 一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念 一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。 特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為0時(shí)，（k為常數(shù)，k0）。這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)?！钫f(shuō)明：直線位置與常數(shù)的關(guān)系(1)決定直線的傾斜角(直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角的大小)．①傾斜角為銳角．②直線過(guò)點(diǎn)(0，b)且平行于x軸的直線．③傾斜角為鈍角．(2)b決定直線與y軸交點(diǎn)的位置．①b>0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的上方．②b=0直線過(guò)原點(diǎn)．③b<0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；(3)如圖l，(4)如圖2，(5)設(shè)直線上有兩點(diǎn)，，則 2、一次函數(shù)的圖像 所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線函數(shù)解析式自變量取值范圍圖象增減性正比例函數(shù)全體實(shí)數(shù)①當(dāng)k>0時(shí)，y隨x增大而增大；②當(dāng)k><0時(shí)，y隨x增大而減小。一次函數(shù)全體實(shí)數(shù)3、 一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征： 一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的直線。k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y0 x 圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0 x 圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0b>0y0 x圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0 x圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例?！ ?、正比例函數(shù)的性質(zhì) 一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)： ?。?）當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大； ?。?）當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小?！ ?、一次函數(shù)的性質(zhì) 一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)： ?。?）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大 ?。?）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小 6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定 確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。斜率： b為直線在y軸上的截距①直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式: y＝kx＋b(k≠0)②由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式:③由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式：④設(shè)兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若⑤點(diǎn)P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 考點(diǎn)3.4、反比例函數(shù) 1、反比例函數(shù)的概念 一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)?！ ?、反比例函數(shù)的圖像 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸?！ ?、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖像yO xyO x性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別 在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨x 的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別 在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨x 的增大而增大?！ ?、反比例函數(shù)解析式的確定 確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、的幾何意義 設(shè)是反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸、軸的垂線，垂足為A，則（1）△OPA的面積．（2）矩形OAPB的面積。這就是系數(shù)的幾何意義．并且無(wú)論P(yáng)怎樣移動(dòng)，△OPA的面積和矩形OAPB的面積都保持不變?！ 【匦蜳CEF面積=，平行四邊形PDEA面積= 考點(diǎn)3.5、 二次函數(shù)二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)?！ 〗凶龆魏瘮?shù)的一般式?！ ?、二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線?！ 佄锞€的主要特征： ①有開(kāi)口方向；②有對(duì)稱軸；③有頂點(diǎn)?！ ?、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法 五點(diǎn)法： ?。?）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸 ?。?）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像?！ ‘?dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像?！ ?、二次函數(shù)的解析式 （10~16分） 二次函數(shù)的解析式有三種形式： ?。?）一般式： ?。?）頂點(diǎn)式： （3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。注意：拋物線位置由決定． (1)決定拋物線的開(kāi)口方向①開(kāi)口向上．②開(kāi)口向下． (2)決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．①圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方．②圖象過(guò)原點(diǎn)．③圖象與y軸交點(diǎn)在x軸下方． (3)決定拋物線對(duì)稱軸的位置(對(duì)稱軸：)①同號(hào)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．②對(duì)稱軸是y軸．③異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)． (4)頂點(diǎn)坐標(biāo)． (5)決定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況．、?、佟?gt;0拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)． ②△=0拋物線與x軸有唯一的公共點(diǎn)(相切)．?、邸?lt;0拋物線與x軸無(wú)公共點(diǎn)． (6)二次函數(shù)是否具有最大、最小值由a判斷． ①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值． ?、诋?dāng)a<0時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值．（7）的符號(hào)的判定： 表達(dá)式，請(qǐng)代值，對(duì)應(yīng)y值定正負(fù)； 對(duì)稱軸，用處多，三種式子相約； 軸兩側(cè)判，左同右異中為0； 1的兩側(cè)判，左同右異中為0； -1兩側(cè)判，左異右同中為0.?。?）函數(shù)圖象的平移：左右平移變x，左+右－；上下平移變常數(shù)項(xiàng)，上+下-；平移結(jié)果先知道，反向平移是訣竅；平移方式不知道，通過(guò)頂點(diǎn)來(lái)尋找?！。?）對(duì)稱：關(guān)于x軸對(duì)稱的解析式為，關(guān)于y軸對(duì)稱的解析式為，關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱的解析式為，在頂點(diǎn)處翻折后的解析式為（a相反，定點(diǎn)坐標(biāo)不變）。?。?0）結(jié)論：①二次函數(shù)(與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次函數(shù)的頂點(diǎn)在x軸上Δ=0；②二次函數(shù)(的頂點(diǎn)在y軸上二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；③二次函數(shù)(經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則。?。?1）二次函數(shù)的解析式：①一般式：(，用于已知三點(diǎn)。②頂點(diǎn)式：，用于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或最值或?qū)ΨQ軸。（3）交點(diǎn)式：，其中、是二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若已知對(duì)稱軸和在x軸上的截距，也可用此式。5、二次函數(shù)的最值 （10分） 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。 如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。6、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0 xy0 x性質(zhì)（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值， 7、二次函數(shù)中，的含義： 表示開(kāi)口方向：>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上 <0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下 與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x= 表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，） 8、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)?！ ∫虼艘辉畏匠讨械模诙魏瘮?shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。 當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)?！ ⊙a(bǔ)充： 1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） y 如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2） 則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為 A 0 x1 B 2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間） 左加右減、上加下減開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸直線直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)()增減性當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減少；最值當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，求用代入法 考點(diǎn)3.6、 二次函數(shù)的應(yīng)用題考點(diǎn)3.7、 用函數(shù)觀念看方程與不等式方程思想數(shù)學(xué)思想 函數(shù)思想轉(zhuǎn)化思想數(shù)形結(jié)合分類討論y ＝0 一元一次方程 kx﹢b ＝0 直線與x軸交點(diǎn)y＞0 kx﹢b ＞0 x軸上方部分y＜0 一元一次不等式 kx﹢b ＜0 x軸下方部分二元一次方程組 解是坐標(biāo) 坐標(biāo)是解y＝0一元二次方程 ＝0 與x軸交點(diǎn)y＞0 ＞0 x軸上方部分y＜0一元二次不等式 ＜0 x軸下方部分解是橫坐標(biāo) 橫坐標(biāo)是解專題四 空間圖形與證明考點(diǎn)4.1 點(diǎn) 線 面 相交線 平行線和視圖直線、射線和線段1、幾何圖形 從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形?！ ×Ⅲw圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。 平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形?！ ?、點(diǎn)、線、面、體 （1）幾何圖形的組成 點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形?！ 【€：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。 面：包圍著體的是面，分為平面和曲面?！ ◇w：幾何體也簡(jiǎn)稱體?！ 。?）點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。 3、直線的概念 一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無(wú)限延伸的。 4、射線的概念 直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線。這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)。 5、線段的概念 直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段。這兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)?！ ?、點(diǎn)、直線、射線和線段的表示 在幾何里，我們常用字母表示圖形?！ ∫粋€(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示?！ ∫粭l直線可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示?！ ∫粭l射線可以用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來(lái)表示?！ ∫粭l線段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示?！ ∽⒁猓骸 。?）表示點(diǎn)、直線、射線、線段時(shí)，都要在字母前面注明點(diǎn)、直線、射線、線段?！ 。?）直線和射線無(wú)長(zhǎng)度，線段有長(zhǎng)度?！ 。?）直線無(wú)端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，線段有兩個(gè)端點(diǎn)。 ?。?）點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有線面兩種： ①點(diǎn)在直線上，或者說(shuō)直線經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)?！ 、邳c(diǎn)在直線外，或者說(shuō)直線不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)?！ ?、直線的性質(zhì) ?。?）直線公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線?！ 。?）過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條。 ?。?）直線是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。 ?。?）直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)?！ 。?）兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。 8、線段的性質(zhì) （1）線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線段最短。 ?。?）連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。 ?。?）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等?！ 。?）線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。 9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理 垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線?！ 【€段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等?！ ∧娑ɡ恚汉鸵粭l線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 角 10、角的相關(guān)概念 有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊?！ ‘?dāng)角的兩邊在一條直線上時(shí)，組成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角。 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角?！ ?1、角的表示 角可以用大寫(xiě)英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法： ?、儆脭?shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等?！ 、谟眯?xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ?、塾靡粋€(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等?！ 、苡萌齻€(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè)。 12、角的度量 角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用"°"表示，1度記作"1°"，n度記作"n°"。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1'"。 把1' 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1""。 1°=60'=60" 13、角的性質(zhì) （1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)?！ 。?）角的大小可以度量，可以比較 （3）角可以參與運(yùn)算。 15、角的平分線及其性質(zhì) 一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線?！ 〗堑钠椒志€有下面的性質(zhì)定理： （1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 ?。?）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上?！∠嘟痪€ 16、相交線中的角 兩條直線相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做臨補(bǔ)角?！ ∨R補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。 直線AB，CD與EF相交（或者說(shuō)兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中∠1與∠5這兩個(gè)角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；∠3與∠5這兩個(gè)角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角?！ ?7、垂線 兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足?！ ≈本€AB，CD互相垂直，記作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，讀作"AB垂直于CD"（或"CD垂直于AB"）?！ 〈咕€的性質(zhì)： 性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直?！ ⌒再|(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短?！ ∑叫芯€ （3~8分）18、平行線的概念 在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號(hào)"∥"表示，如"AB∥CD"，讀作"AB平行于CD"?！ ⊥黄矫鎯?nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。 注意： ?。?）平行線是無(wú)限延伸的，無(wú)論怎樣延伸也不相交?！ 。?）當(dāng)遇到線段、射線平行時(shí)，指的是線段、射線所在的直線平行。 19、平行線公理及其推論 平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。 推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行?！ ?0、平行線的判定 平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行。 平行線的兩條判定定理： ?。?）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?！ 。?）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！ ⊙a(bǔ)充平行線的判定方法： ?。?）平行于同一條直線的兩直線平行?！ 。?）垂直于同一條直線的兩直線平行。 ?。?）平行線的定義?！ ?1、平行線的性質(zhì) ?。?）兩直線平行，同位角相等。 ?。?）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 ?。?）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 命題、定理、證明22、命題的概念 判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。 理解：命題的定義包括兩層含義： （1）命題必須是個(gè)完整的句子； （2）這個(gè)句子必須對(duì)某件事情做出判斷。 命題的分類（按正確、錯(cuò)誤與否分） 真命題（正確的命題） 命題 假命題（錯(cuò)誤的命題） 所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。 所謂錯(cuò)誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。公理 人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理?！ 《ɡ怼 ∮猛评淼姆椒ㄅ袛酁檎_的命題叫做定理。 證明 判斷一個(gè)命題的正確性的推理過(guò)程叫做證明。 證明的一般步驟 ?。?）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。 ?。?）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證?！ 。?）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。 投影與視圖23、投影 投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影?！ ∑叫型队埃河善叫泄饩€（如太陽(yáng)光線）形成的投影稱為平行投影。 中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。 24、視圖 當(dāng)我們從某一角度觀察一個(gè)實(shí)物時(shí)，所看到的圖像叫做物體的一個(gè)視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖?！ ≈饕晥D：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖?！ 「┮晥D：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。 左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時(shí)也叫做側(cè)視圖?？键c(diǎn)4.2、三角形及全等三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)1、三角形的概念 由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。 2、三角形中的主要線段 ?。?）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線?！ 。?）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線?！ 。?）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）?！ ?、三角形的穩(wěn)定性 三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀?！ ?、三角形的特性與表示 三角形有下面三個(gè)特性： ?。?）三角形有三條線段 （2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形 ?。?）首尾順次相接 三角形用符號(hào)""表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作"ABC"，讀作"三角形ABC"。 5、三角形的分類 三角形按邊的關(guān)系分類如下： 不等邊三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形 三角形按角的關(guān)系分類如下： 直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形） 三角形 銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形） 斜三角形 鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形） 把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形?！ ?、三角形的三邊關(guān)系定理及推論 ?。?）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊?！ ⊥普摚喝切蔚膬蛇呏钚∮诘谌??！ 。?）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用： ?、倥袛嗳龡l已知線段能否組成三角形 ②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍?！ 、圩C明線段不等關(guān)系。 7、三角形的內(nèi)角和定理及推論 三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°?！ ⊥普摚骸 、僦苯侨切蔚膬蓚€(gè)銳角互余。 ?、谌切蔚囊粋€(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和?！ 、廴切蔚囊粋€(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。 8、三角形的面積 三角形的面積=×底×高 全等三角形1、全等三角形的概念 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。 2、全等三角形的表示和性質(zhì) 全等用符號(hào)"≌"表示，讀作"全等于"。如△ABC≌△DEF，讀作"三角形ABC全等于三角形DEF"?！ ∽ⅲ河泝蓚€(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"邊角邊"或"SAS"） （2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"角邊角"或"ASA"） ?。?）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"邊邊邊"或"SSS"）?！ ≈苯侨切稳鹊呐卸ǎ骸 ?duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"斜邊、直角邊"或"HL"） 4、全等變換 只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換?！ ∪茸儞Q包括一下三種： （1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。 ?。?）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。 ?。?）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。考點(diǎn)4.3 等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì) （1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論： 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角） 推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合?！ ⊥普?：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。 ?。?）等腰三角形的其他性質(zhì)： ①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45° ?、诘妊切蔚牡捉侵荒転殇J角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）?！ 、鄣妊切蔚娜呹P(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a ?、艿妊切蔚娜顷P(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推論： 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點(diǎn)與底邊兩端點(diǎn)距離相等。1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；2、如果一個(gè)三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個(gè)邊的對(duì)角），那么這個(gè)三角形是等腰三角形角平分線1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等。1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊（平分對(duì)邊），那么這個(gè)三角形是等腰三角形；2、三角形中兩個(gè)角的平分線相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點(diǎn)和底邊兩端點(diǎn)距離相等。1、如果一個(gè)三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對(duì)角），那么這個(gè)三角形是等腰三角形；2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊邊底的一半<腰長(zhǎng)<周長(zhǎng)的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位線 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線?！ 。?）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形?！ 。?）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半?！ ∪切沃形痪€定理的作用： 位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行?！ ?shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系?！ 〕Ｓ媒Y(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有： 結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半?！ 〗Y(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形?！ 〗Y(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形?！ 〗Y(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分?！ 〗Y(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等?！ ∽⒁猓褐匾o助線 ⑴中點(diǎn)配中點(diǎn)構(gòu)成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線證明方法 ?、胖苯幼C法：綜合法、分析法 ?、崎g接證法-反證法：①反設(shè)②歸謬③結(jié)論 ⑶證線段相等、角相等常通過(guò)證三角形全等 ⑷證線段倍分關(guān)系：加倍法、折半法 ⑸證線段和差關(guān)系：延結(jié)法、截余法 ?、首C面積關(guān)系：將面積表示出來(lái)考點(diǎn)4.4 直角三角形1、有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形。 直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC寫(xiě)作Rt△ABC?！ ≈苯侨切问且环N特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：2、性質(zhì) 性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余 性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)，外接圓半徑R＝C/2）。 性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。 性質(zhì)5: 射影定理 在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系纳溆昂托边叺谋壤许?xiàng) ∠ACB=90° CD⊥AB ?。ǎ矗〢BCD=ACBC(可用面積來(lái)證明） (5)直角三角形的外接圓的半徑R=1/2BC, (6)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)； r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二) 性質(zhì)6:在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半； 在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°。3、判定方法： 判定1：有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形?！ ∨卸?：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形?！ ∨卸?： 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 判定4：若一個(gè)三角形30°內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形?！ ∨卸?：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形?！ ∨卸?：在直角三角形中，60度內(nèi)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的 根號(hào)3/2 判定7：在證明直角三角形全等的時(shí)候 可以利用HL 兩個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等 以及一個(gè)直角邊對(duì)應(yīng)相等 可判斷兩直角
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