王冠中
根式函數(shù)的最值問題具有靈活性強、難度大的特點，許多同學望而生畏、一籌莫展。實際上，只要認真分析題意，注意條件的應用，即可找到合理恰當?shù)慕夥ā１疚膶⒔榻B幾種巧用構造法求解根式函數(shù)最值的方法，供大家參考。
一、構造直線的斜率求解
例1. 求函數(shù)的最值。
分析：如圖1，由知，其中A（－1，0），P（）。P在半圓上，易知
，故
二、構造對稱點求解
例2. 求函數(shù)的最小值。
分析：由知，其中P（x，0）、A（2，3）、B（5，1）。作B的對稱點B′（5，－1）。由平面幾何知識知，故
三、構造直線的交點求解
例3. 求函數(shù)的最大值。
分析：如圖3，由知，其中P（x，0）、A（1，6）、B（－1，2）。由平面幾何知識知，當P為直線AB與x軸的交點（－2，0）時，y取最大值。
所以
四、構造兩點間的距離求解
例4. 求函數(shù)的最小值。
分析：如圖4，由知，其中P（x，0）、A（－1，2）、B（3，－1）。由平面幾何知識得故
五、構造平面向量求解
例5. 求函數(shù)的最大值。
分析：由題意，令則有當且僅當同向共線，即，也即時，y取最大值15。
六、構造對偶式求解
例6. 求函數(shù)的最值。
分析：易知則，由z在［4，29］上單調(diào)遞增知故，從而又，所以，于是
七、構造二次函數(shù)求解
例7. 求函數(shù)的最值
分析：令，則
所以
所以故
八、構造三角函數(shù)求解
例8. 求函數(shù)的最值。
分析：由函數(shù)的定義域為［－1，1］，令，則由知故，所以
九、構造圓求解
例9. 求函數(shù)的最大值。
分析：由，可令，則
（當且僅當時，取“＝”號）。所以
十、構造線性規(guī)劃求解
例10. 求函數(shù)的最值。
分析：令則故其中點（u，v）在如圖5所示的圓弧上，顯然有故有所以
十一、構造點到直線的距離求解
例11. 求函數(shù)的最大值。
分析：由令，則故y表示半圓上的點（u，v）到直線l：的距離，易知A到l的距離即為y的最大值。
十二、構造兩線間的距離求解
例12. 求函數(shù)的最小值。
分析：如圖7，作半圓C：，直線l：，作x軸的垂線交C、l于A、B，則作半圓的平行于l的切線l′。顯然，當A為切點時，|AB|最小，連OA并延長交l于M。由平面幾何知識知，所以
十三、構造定比分點求解
例13. 求函數(shù)的最小值。
分析：令，則，故從而有于是，是P（y，0）分所成的比，其中由又故
所以
十四、構造方程求解。
例14. 求函數(shù)的最大值。
分析：由得，兩邊平方并整理得
由題意上述關于x的方程有實根
所以解得
所以（當且僅當時，y取最大值）。
十五、構造復數(shù)求解
例15. 求函數(shù)的最大值。
分析：由，則
由復數(shù)的性質(zhì)得
所以
