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初中精品微課， 數(shù)學(xué)奧林匹克國家一級教練執(zhí)教。
已知題目中出現(xiàn)線段中點(diǎn)或兩邊倍半關(guān)系，要想到的輔助線有：
1、倍長中線
2、等腰三角形三線合一
3、中位線
4、直角三角形斜邊上的中線
I、通過構(gòu)造中位線來解決相關(guān)問題
（1）通過構(gòu)造中位線解決線段倍半問題：
先來看書本中的一道課后證明題，
證明三角形重心性質(zhì)：
例1 已知：△ABC中，中線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AO=2DO, CO=2EO
思路：要證線段倍半關(guān)系，可倍長或取中點(diǎn)，下面用取中點(diǎn)構(gòu)造中位線證明，分別取AO、CO中點(diǎn)G、H，依次連接GEDF，根據(jù)中位線性質(zhì)，可證DE∥GF，DE=GF，推得四邊形GEDF為“平四”，得：EO=FO=FC,DO=OG=AG
（注：本題也可用倍長或相似證明）
練習(xí)1 已知：△ABC中，點(diǎn)E為中線AD中點(diǎn)，連BE并延長交AC于點(diǎn)F.
求證：CF=2AF，BE=3EF
提示：
(2) 通過構(gòu)造中位線解決中點(diǎn)四邊形相關(guān)題型：
中點(diǎn)四邊形有關(guān)結(jié)論有：
1、依次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)可得平行四邊形
2、依次連接對角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)可得菱形
3、依次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)可得矩形
4、依次連接對角線相等且互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)可得正方形
（以上結(jié)論易證，由學(xué)生自己畫圖證明并掌握）
例2 已知：OA=OB,OC=OD,且∠AOB=∠COD=α，E、F、G、H分別為
AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn),
（1）求證：四邊形EFGH為菱形
（2）當(dāng)α=___°時，四邊形EFGH為正方形
簡析：
連對角線,先證明四邊形EFGH為“平四”
1、由“手拉手”全等可證AC=BD，再證EH=HG,可得菱形
2、當(dāng)α=90°時，可證AC⊥BD，可證菱形EFGH為正方形。
例3 已知：RT△ABC中，∠A=90°，D、E分別為AC、AB邊上兩動點(diǎn)，連BD、CE，F(xiàn)、G、M、N分別為BC、DE、CE、BD邊上中點(diǎn),
（1）求證：FG=MN
（2）當(dāng)動點(diǎn)D、E滿足什么關(guān)系時，FG⊥MN
練習(xí)3 已知：正方形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，且EG⊥FH,依次連接EFGH,分別取EF、FG、GH、HE各邊中點(diǎn)J、K、L、I，連KI、LJ,探究線段KI與LJ的關(guān)系，并證明.
(3)通過構(gòu)造中位線把分散的邊角集中在一起
例4 已知：四邊形ABCD中,M、N分別為AD、BC邊的中點(diǎn)，AB=8,CD=6
（1）當(dāng)∠ABC+∠DCB=90°時，求MN的值.
（2）求：MN的最大值
簡析：
（1）連BD,取BD中點(diǎn)H,連HM,HN，通過導(dǎo)角，可證∠MEN=90°，勾股得MN=5
練習(xí)4 已知：四邊形ABCD中,AB=CD,M、N分別為AC、BD邊的中點(diǎn),分別延長BA、DC交于G,延長NM交BG于F,交BG延長線于E
求證：△EFG為等腰三角形
小結(jié)：已知兩對邊，連對角線，取其中點(diǎn)構(gòu)造中位線，可把已知兩邊縮小一半集中在一個三角形中，并通過已知邊、角的轉(zhuǎn)化來解決問題。
小結(jié)：已知四邊形兩對角線，取一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線，可把已知兩對角線縮小一半集中在一個三角形中，并通過已知邊、角的轉(zhuǎn)化來解決問題
練習(xí)5 已知：四邊形ABCD中，AB=CD，F分別為BD、AC的中點(diǎn)，H、G分別為EF、BC的中點(diǎn)，
求證：HG⊥EF
練習(xí)6 已知：△ABC中，BD=CE，F、G分別為BE、CD的中點(diǎn)，直線FG分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.
求證：△AMN為等腰三角形
II 通過構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線結(jié)合中位線來解決問題
（1）先來關(guān)注一類重要題型：共斜邊的兩個直角三角形
例6 已知：在RT△ABC和RT△ADC中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別為AC和BD的中點(diǎn)，
（1）求證：EF⊥BD；
（2）若∠BAD=45°求AC：EF的值.
簡析：（1）E為兩個直角三角形斜邊中點(diǎn)，連BE、DE ，得：BE=AE=DE，又F為BD中點(diǎn)，三線合一得EF⊥BD
（2）導(dǎo)角：∠ABE=∠BAE,∠DAE=∠ADE,由外角性質(zhì)可證∠BED=2∠BAD=90°，△BED為等腰直角三角形，設(shè)EF=1,則BE=√2，AC=2√2，AC：EF=2√2
練習(xí)7 已知：四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=120°，連接AC、BD，求AC：BD的值.
（解法參考例1第二步）
練習(xí)8 已知銳角△ABC中，兩條高AD、CE相交于點(diǎn)F，連BF，G、H分別為BF、AC中點(diǎn)，連接DE、GH
求證:GH垂直平分DE.
（提示：連EG、DG、EH、DH）
例7 已知：□ABCD中，AB=3,BC=4,E為□ABCD外一點(diǎn)，∠AEC=∠BED=90°,
（1）求□ABCD的面積；
（2）求四邊形ABCE面積的最大值.
參考例7（2）來道相關(guān)的面積最值題練習(xí)讀者們自己完成吧。
練習(xí)9 已知：∠MON=90°，線段AB=6，兩端點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動，求△AOB面積的最大值.
（2）結(jié)合直角三角形斜邊上中線和中位線解決與角有關(guān)的問題：
例8 已知：AD、AE分別是△ABC的高和中線
（1）若DE=0.5AC ,求證：∠B=0.5∠C
（2）若∠B=0.5∠C, 求證：DE=0.5AC
簡析：取AB中點(diǎn)F,連DF、EF,
（1）易證 DE=0.5AC=EF，∠1=∠2=0.5∠3，又∠1=∠B，∠3=∠C,
得∠B=0.5∠C
（2）與（1）反其道而證之！
練習(xí)10 已知：△ABC中，AD是高，E、F、G分別是BC、BA、AC邊上的點(diǎn)，連DF、DG、EF、EG
求證：∠FEG=∠FDG.
練習(xí)11 已知菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,DE⊥AB于點(diǎn)O,連OE,求證：∠DEO=∠DAO.
例9 已知：RT△ADB和RT△AEC中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，連BC，取中點(diǎn)O，連DO、CO,求證：DO=CO.
練習(xí)13 已知△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E、F分別在AB、AC延長線上，且DE=DF,分別過E、F作AB、AC的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)G，求證：∠EGB=∠FGC.
提示：輔助線如下圖，思路參考例4
小結(jié)：題中有直角三角形，可嘗試作直角三角形斜邊上中線，再根據(jù)其性質(zhì)，來分析、解決問題。
III （1）通過構(gòu)造直角三角形斜邊上中線，把線段最值問題轉(zhuǎn)化成三角形三邊關(guān)系來解決！
例10 RT△ABC，斜邊AB=6，頂點(diǎn)A、B分別在∠MON兩邊OM、ON上運(yùn)動，且∠MON=90°，求線段OC的最大值。
簡析：O為定點(diǎn)，C為動點(diǎn)，OC為變量，通過構(gòu)造直角三角形斜邊上中線，可得OM=CM=0.5AB=3,根據(jù)三角形三邊關(guān)系（兩邊和大于第三邊）：當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線時取最大值，即：OC≤OM+CM,得到OC最大值為6.
練習(xí)14 等邊△ABC，邊AB=6，頂點(diǎn)A、B分別在∠MON兩邊OM、ON上運(yùn)動，且∠MON=90°，求線段OC的最大值。
練習(xí)15 矩形ABCD,邊AB=6，BC=4,頂點(diǎn)A、B分別在∠MON兩邊OM、ON上運(yùn)動，且∠MON=90°，求線段OD的最大值。
例11 已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2,D為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠1=∠2，求線段AD的最小值。
簡析：通過導(dǎo)角，可證∠BDC=90°，AD長是個變量，由例1可知：取BC中點(diǎn)M，連DM、AM，可知DM、AM為定值，DM=0.5BC=1,勾股得AM=√13,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊差小于第三邊，可知A、D、M三點(diǎn)共線時，AD取最小值，為√13-1.
練習(xí)16 已知△ABC中，AB=AC=10,BC=12,D為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠BDC=90°，求線段AD的最小值。
練習(xí)17 已知RT△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D為BC邊一動點(diǎn)，連AD,過C作CE⊥AD于E,連BE，求線段BE的最小值。
例12 已知△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，D為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠ADB=90°，連CD，求線段CD的取值范圍。
簡析：法1，類比例1、2，取AB中點(diǎn)M,當(dāng)C、M、D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)M在線段CD上時,CD取最大值√3+1，當(dāng)C、M、D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在線段MD上時,CD取最小值√3-1，所以CD的取值范圍為：√3-1≤CD≤√3+1.如下圖：
法2，九年級隱圓，問題實(shí)質(zhì)為：求圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最值！如下圖：
練習(xí)18 已知正方形ABCD,邊長AB=2,E為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠AEB=90°，求線段CE的取值范圍.
（2）通過構(gòu)造直角三角形斜邊上中線結(jié)合中位線性質(zhì)，把線段最值問題轉(zhuǎn)化成三角形三邊關(guān)系來解決！
例13 已知△ABC中，AB=4,BC=2,D為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足∠ADB=90°，E為BC中點(diǎn)，連DE,求線段DE的取值范圍.
簡析：DE變量，取AB中點(diǎn)M,連EM,DM,由斜邊中線和中位線性質(zhì)可知，EM、DM為定值，EM=0.5AC=1,DM=0.5AB=2,線段DM、EM、DE構(gòu)成三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可知：DM-EM≤DE≤DM+EM，即：1≤DE≤3.如下圖：
練習(xí)19 已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=3,D為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且AD=2，連BD,E為BD中點(diǎn)，求線段BE的取值范圍。
（3）通過構(gòu)造直角三角形斜邊上中線，轉(zhuǎn)化線段，根據(jù)垂線段最短來解決線段最值問題：
例14 已知：△ABC中，∠B=45°,∠C=60°，D、E分別為AB、AC邊上的一個動點(diǎn)，過D分別作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,過E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,連FG、HI,求證：FG與HI的最小值相等。
分析：本題圖形復(fù)雜，先分別提煉出與FG、HI相關(guān)圖形，思考：FG、HI該如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化？
從簡化后的圖形可以看出上一講的一類題型，共斜邊的兩直角三角形，容易聯(lián)想的輔助線：連接斜邊CD，并取其中點(diǎn)M,再連接FM、GM,易證：GM=0.5CD=FM,∠FMG=2∠ACB=120°，由基本圖形120°的等腰三角形三邊關(guān)系，1：1：√3 易知：FG=√3 FM=0.5√3 CD,所以當(dāng)CD取最小值時FG最小.根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)CD⊥AB時，CD取最小值。設(shè)BC=1，則：CD最小值=0.5√2,FG最小值=0.25√6
HI的最小值同理可得，設(shè)BC=1,則HI最小值=0.25√6=FG最小值.如下圖，
（推導(dǎo)過程由讀者自行完成）
練習(xí)20 已知等邊△ABC中，AB=6,D為AB上一個動點(diǎn)，過D分別作DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,連EF,求線段EF的最小值。
小結(jié)：求線段最值問題的幾何解法初中階段必須要考慮到的應(yīng)該是教材中的兩個公理的應(yīng)用：兩點(diǎn)之間，線段最短和垂線段最短，本講通過構(gòu)造直角三角形斜邊中線和中位線，讓要求的動線段與兩條定長線段組成三角形三邊，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出最值，或通過轉(zhuǎn)化找出動線段與已知定長線段之間關(guān)系再根據(jù)垂線段最短求出最值！
IV最后來練練與中點(diǎn)有關(guān)的綜合題
先來看下面這道例題以及它的延伸和拓展：
例15 已知共頂點(diǎn)的兩個正方形ABCD和AEFG，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)G在BA的延長線上，連CF，取中點(diǎn)H，連EH、DH ，
求證：（1）DH平分∠ADC,（2）DH=EH,（3）DH⊥EH.
解題策略：平行線+中點(diǎn)→8字形全等
簡析：如下圖：延長EH交DC于點(diǎn)G，易證△EFH≌△GCH，再證△EDG為等腰直角三角形，易得題目所要證明的三個結(jié)論。
追問：1、如果背景把正方形改成菱形、矩形，結(jié)論是否一樣？
2、如果把其中一個正方形繞A旋轉(zhuǎn)起來，結(jié)論是否一樣？
問題1，給出圖形和結(jié)論，證明過程由讀者來完成吧！
問題2：先觀察旋轉(zhuǎn)到特殊位置，如：正方形AEFG對角線AF在AD邊上時，三個結(jié)論是否仍然成立？
思路分析：圖形在變，方法不變，解題策略還是平行線+中點(diǎn)→8字形全等，輔助線：可倍長，可作平行，目的構(gòu)造全等，等量轉(zhuǎn)移，如下圖，延長EH到G，使HG=EH,連CG、DG，先證△EFH≌△GCH，再證明△ADE≌△CDG，顯然兩組對應(yīng)邊相等易得，難點(diǎn)在導(dǎo)角證明∠DAE=∠DCG,下面為導(dǎo)角過程：設(shè)∠DCF=α，則∠DFE=90°-α，∠EFH=180°-∠AFE-∠DFE=45°+α，∠HCG=∠HFE=45°+α,∠DCG=∠HCG-∠DCF=45°=∠DAE,可證△ADE≌△CDG，推出DE=DG,∠ADE=∠CDG,再證明△DEG為等腰直角三角形，可知
（1）DH平分∠ADC,（2）DH=EH,（3）DH⊥EH.三個結(jié)論仍然成立！
再來觀察旋轉(zhuǎn)在任何位置時，三個結(jié)論是否仍然成立？
方法策略仍然不變，倍長或作平行，證明全等，難點(diǎn)還是在導(dǎo)角證明∠DAE=∠DCG,觀察∠DAE和∠DCG兩邊分別垂直，聯(lián)想基本結(jié)論：一個角兩邊與另一個角兩邊分別垂直，那么它們相等或互補(bǔ)。分別延長AE、GC相交于點(diǎn)M,AM交BC于N，易證∠M=90°，∠CNM=∠DAE，∠CNM+∠MCN=∠DCG+∠MCN=90°，∠DAE=∠CNM=∠DCG，下面步驟與上題一樣，不再重復(fù)。
練習(xí)21：中考壓軸真題
練習(xí)22：已知正方形ABCD中，E為對角線BD上任意一點(diǎn)，過E作EF⊥于F,G為ED中點(diǎn)，連AF、AG，求∠FAG的度數(shù)。
例16 如圖：已知有公共頂點(diǎn)A的兩個等腰直角三角形,RT△ABC和RT△ADE,∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC,AD=DE，D在BA的延長線上，連CE取中點(diǎn)F,連BF、DF，求證：△BDF為等腰直角三角形。
方法與例一類似來個看圖無字證明吧
將三角形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)45°n，其余條件不變，證明△BDE仍是等腰直角三角形。
選其中第一種情況用三種方法來證明：
1、倍長中線法：延長DF到G,連BG、CG,易證△DEF≌△GCF，得：CG=ED=AD,易證∠DAB=∠GCB=135°，又AB=CB,可證△DAB≌△GCB，再證△DBG為等腰直角三角形，可得△DBF為等腰直角三角形.
2、構(gòu)造直角三角形斜邊中線和中位線法：分別取AE,AC中點(diǎn)G、H，連DG、FG、FH、HB，則FG、FH都是△ACE中位線，DG=0.5AE=FH，GF=0.5AC=BH,再證明∠DGF=∠FHB=135°，證明△DGF≌△FHB,推出DF=BF,再證明四邊形AGFH為平行四邊形，∠GFH=∠GAH=45°，∠DFG+∠BFH=∠DFG+∠GDF=45°，所以DF⊥BF
3、構(gòu)建“手拉手”全等：(學(xué)習(xí)自廣猛老師的廣猛說題一書)分別延長ED、CB于E'、C'，使E'D=ED,C'B=CB,連C'E,CE',他們相交于點(diǎn)M,易證△E'AC≌△EAC',DF=0.5E'C=0.5EC'=BF,根據(jù)8字模型導(dǎo)角可得∠CMC'=∠CAC'=90°，再通過平行導(dǎo)角可得∠DFB=∠EMC=90°，所以△DBF為等腰直角三角形.
以上六種情況均可用上面三種或其中一種方法來證明，請讀者自己完成，每種情況都可以作為單獨(dú)一個題目來命題。
下面再看旋轉(zhuǎn)到一個特殊位置----B、C、E三點(diǎn)共線時，其余條件不變，證明△DBF為等腰直角三角形.
給出圖形和輔助線：證明過程由讀者自己完成！
最后來證明當(dāng)旋轉(zhuǎn)到任何位置時，△DBF都為等腰直角三角形.。
選擇構(gòu)造直角三角形斜邊 中線和中位線法證明：
證明方法與上面類似，難點(diǎn)在導(dǎo)角證明∠DGF=∠BHG和∠DFB=90°，如下：設(shè)∠EAC=α，可證∠1=∠2=∠EAC=α，∠DGF=90°+α=∠BHG，接下來就容易證明
△DGF≌△FHB，DF=BF,下面推導(dǎo)∠DFB=90°，易證∠GFH=∠EAC=α，∠DFG+∠BFH=∠DFG+∠GDF=180°-∠DGF=180°-（90°+α）=90°-α，∠DFB=∠GFH+∠DFG+∠BFH=α+90°-α=90°.
繼續(xù)拓展，若把已知兩個等腰直角三角形改成兩個都是含30°的直角三角形，探究△DBF為怎樣特殊的三角形.（結(jié)論：等邊三角形）
在廣猛說題一書里有詳細(xì)解答！
壓軸模擬練習(xí)23：（2012北京豐臺一模）
壓軸模擬練習(xí)24：（2011北京朝陽一模）
壓軸模擬練習(xí)25：（2013湖南常德中考）
再來練一道與三線合一相關(guān)的綜合題（題目來自張鼎文老師文章：想不到的斜邊中線，看不見的中位線）
例17 如圖△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求證：GH∥BC；
(2)若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．
(3)若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B的平分線及∠C的外角平分線”(如圖2所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖3所示)，其余條件不變，求證：結(jié)論GH∥BC仍成立．
分析：
與上例類似，有角平分線，有垂直，延長構(gòu)造等腰三角形，利用三線合一．
解答：
(1)證明：
分別延長AG，AH交BC于M，N，
在△ABM中
∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，
∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°
∴∠BAM＝∠BMA．
∴BA＝BM，G是AM的中點(diǎn)．
同理CA＝CN，H是AN的中點(diǎn)，
∴GH是△AMN的中位線，HG∥MN，HG∥BC．
(2)由(1)知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，
∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．
∴MN＝BM＋CN－BC
＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5
(3)無字證明如下，相信同學(xué)們都能看懂．
