動點問題，一直以來是學生的“殤”，尤其是多動點問題，情形復雜，學生不知從何下手.本文擬以課堂教學中遇到的一道壓軸題為例，采取一題一課的形式，從多角度、多維度思量動態(tài)問題中常見的一些存在性問題，旨在提升學生解決動點問題的能力，開拓學生思維，形成解題套路.
一、原題呈現(xiàn)
如圖1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．動點E，F(xiàn)同時分別從點A，B出發(fā)，分別沿著射線AD和射線BD的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接EF，以EF為直徑作⊙O交射線BD于點M，設運動的時間為t．
(1)當點E在線段AD上時，用關于t的代數(shù)式表示DE，DM．
(2)在整個運動過程中：
①連結CM，當t為何值時，△CDM為等腰三角形；
②當圓心O處在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）時，求t的取值范圍（直接寫出答案）．
二、就題論題
先解決第(1)小問，規(guī)范解答如下：
一解一反思：用含有t的代數(shù)式表示圖中的相關線段，這是解決動態(tài)問題最起碼的基本功，可以利用“路程s＝速度v×時間t”，設出時間t，將各點運動的路程在圖中標出來，然后利用線段的和差倍分、題中給定的條件或者已學過的相關定理等，將圖中能用t的代數(shù)式表示出來的線段盡可能都表示出來，最后借助勾股定理、相似或者其他知識等列出關于t的方程，求解便可.
對于動態(tài)問題，尤其是復雜的多動點問題，同學們一定要養(yǎng)成標圖的好習慣，像靜態(tài)平面幾何問題一樣，只有標圖清晰、精簡，才有望在復雜的干擾條件中尋找到解題突破口，切記“標好圖、做好題”；
下面羅列筆者的幾個標圖好習慣：
①審題時，迅速將動點的運動方向用箭頭表示出來，像圖1－1那樣，這可以使整個運動概況清晰呈現(xiàn)在眼前，便于捕捉細節(jié)，減輕大腦壓力；
②將圖中的所有線段盡可能用最簡潔的方式標記出來，但前提是不能太亂，要精簡節(jié)約，讓人一看就懂，這有利于解題突破口的發(fā)現(xiàn)；
③“眼中有角，心中有比”，將圖中確定的角，尤其是相等的角，用相同的符號標記出來，如“單弧”、“雙弧”等，甚至可以用“△”或“☆”等；
總而言之，標圖越清晰，解題越有利.筆者心中標圖的最高境界是“題目扔掉，只看圖形，一看便懂，哪怕是幾十年之后看到此圖，仍舊歷歷在目”，同學們要有意識地自我培養(yǎng)標圖好習慣，這對于幾何的學習、能力的提升，百利而無一害.很多學生之所以難以提高解題能力，一個很大的原因，就是忽視或者錯過了這種最基本的標圖等能力的培養(yǎng).
第(2)小問，情形相對復雜，需要一些見招拆招的本領，下面筆者提供一套解決此類多動點問題的“機械化”思路：
題中有兩個動點，且都在射線上運動，整個過程明顯不止一類情形，如何分類、分幾類是當務之急.
這類復雜的動點問題都可以采取如下方式輕松確定分類標準：
第一步（羅列關鍵時刻，繪制時間軸圖）：如圖2－1，將每一個動點經(jīng)過的關鍵點（含起點、拐點、臨界點、終點等），并算出經(jīng)過每一個關鍵點的時刻，利用數(shù)軸工具羅列出這些關鍵時刻，繪制出吾所謂的“關鍵時刻數(shù)軸圖”；
第二步（以時間為標準，確定分類情形）：依據(jù)所畫數(shù)軸，本題可分三大類：①0≤t＜8；②8≤t＜10；③t≥10；
第三步（逐類畫出草圖，細致精準分析）：上述三類情形，本質就是兩動點的三種相對位置關系，直觀地說，即：
①點E、F均在D的左側；
②點F在D的左側且點E在D的右側；
③點E、F均在D的右側.據(jù)此，可以畫出各自草圖，借助圖形再細致分析，具體如下：
因為確定的∠CDM是個銳角，故此等腰三角形存在性問題還需再分三小類，即：?DM＝DC；?DM＝CM；?DC＝CM；
注：動點問題，往往設出時間t，將圖中所需線段用含有t的代數(shù)式表示出來后，完全可以視t為常數(shù)，問題相當于t時刻的靜態(tài)問題，故有上述△CDM確定之說.
Ⅱ.當8≤t＜10時，即當點F在D的左側且點E在D的右側時，如圖2－3（已作局部放大處理），要使△CDM為等腰三角形，由∠CDM為鈍角，只可能CD＝DM；
最后只需依據(jù)題意，找到等量關系，列出相應方程，求解即可（注意取舍）.
下面提供規(guī)范解答，僅供參考：
一解一反思：多動點或運動路徑為折線型等問題，相對而言，情形復雜，往往需要分類討論，上述解答伊始，利用數(shù)軸羅列各動點在關鍵點（如起點、拐點、終點等）處的時刻，然后依據(jù)數(shù)軸被分各區(qū)域，輕松確立分類標準，這是解決此類復雜動態(tài)問題的通法，需要同學們認真體悟并在以后的解題中靈活運用.
此外，還需有自我意識地培養(yǎng)以下各種基本的解題好意識，以提高解題真本領：
①畫圖好意識：既然要分類，那就多畫圖，一類對一圖.準備好鉛筆、刻度尺、圓規(guī)等畫圖工具，畫出草圖，再結合題目中某些特殊的條件，特事特辦，逐步精準分析定位，想辦法找到合適的等量關系列出方程，求解即可；
②標圖好習慣：幾何學習，重在與圖形打交道，既要培養(yǎng)規(guī)范作圖的好意識，也要養(yǎng)成清晰標圖的好習慣.準備好黑色水筆、圓珠筆、紅筆等，將題目中相等的角標記為同一種符號或者同一種顏色等，這樣有利于分析問題，找到解題的突破口.對于題目的多個問題，也可以采用不同顏色的筆去標記、分析，如用圓珠筆解第(1)問，紅筆分析第(2)問等.這是筆者自己的解題好習慣，沒有多色筆，遇題不想動，尤其是含多個問題或者需一題多解的綜合題等；
③簡化處理圖：要善于對圖形作“減法”或“簡法”處理，慧眼識珠，在復雜全圖中敏銳地捕捉到所需部分，忽略干擾線條，畫出核心結構，另行處理，別地分析，這樣有利于基本圖形識別與構造能力的培養(yǎng)，提高分析問題、解決問題的本領；
④確定性思想：平時審題時，常帶著確定性思想去分析問題，樹立“確定的必可求”之意識，尤其是解一些確定的三角形，要借助全等的各種判定方法去分析問題，甚至于眼中無變量，即時間t都能看成為常數(shù)，結合這些含有t的“常值”去分析問題、解決問題，無往而不利，“心中常懷確定性，審題解題都給力”！
⑤等腰處理：基于確定性分析，對等腰三角形的存在性問題，若其三個內(nèi)角都不確定，則需由勾股定理等知識（包括坐標系中兩點間距離公式等）將其三邊長均表示出來（“SSS”），再利用兩腰相等為標準，分三類列方程，求解即可，這種處理方式不妨稱為“純代數(shù)法”；
若其某個內(nèi)角確定，只需將此內(nèi)角的兩鄰邊表示出來（“SAS”），再以兩腰相等（或兩底角相等）為標準，分三類，借助三線合一，利用此確定角可以導出這兩個邊的比值，列出方程，求解便可，這種處理方式不妨稱為“純幾何法”；
上面的問題，即采用了這里的“純幾何法”.
⑥眼中有角，心中有比：定邊則定長，定角則定比，基于確定性思想去導角、分析角，利用這些確定的角所在直角三角形三邊之比確定，用比例口算問題等，是一種重要的解題能力，需要同學們在平時的學習中慢慢積累、體會，逐漸成為自己的解題利器.
至于最后一小問，仍依據(jù)上述三大類情形，逐一畫出草圖，然后精準分析，具體如下：
Ⅰ.當0≤t＜8時，即點E、F均在D的左側時，如圖3－1，顯然EF的中點O始終處在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界），
圖3－2對應t＝0的時刻，
而圖3－3對應t＝8的時刻，
均符合題意；
Ⅱ.當8≤t＜10時，即當點F在D的左側且點E在D的右側時，如圖3－4至圖3－6所示，
顯然，隨著時間t的增加，圓心O經(jīng)歷了由矩形ABCD內(nèi)部到矩形的一邊上，再到矩形外部的過程，而圖3－5的臨界位置就是題眼；
Ⅲ.當t≥10時，即當點E、F均在D的右側時，如圖3－7，顯然圓心O在矩形ABCD的外部，不符合題意.
從以上分析可以看出，解決此問的關鍵是圖3－5所對應的臨界時刻，
即圓心O剛好落在邊CD上時，如何用好這個特殊的條件，是解題的突破口，下面提供兩種解法：
一解一反思：“巧借數(shù)軸妙分類，畫出草圖細分析；鎖定關鍵臨界點，改斜歸正方可解；另謀出路亮新招，建系解析照樣行！”一首打油詩，道盡解題路.
下面常見的解題策略需引起同學們的關注與重視：
①改斜歸正：此題EF的中點O，相當于“斜比”（即EO：OF＝1：1），而從E、O、F各點引出的系列“水平－豎直輔助線”，可以化“斜比”為“直比”（即ED：DG＝1：1），這是一種重要的化斜為直思想，有著廣泛地應用，尤其是涉及坐標系中的相關問題，同學們都可以嘗試采用“水平－豎直輔助線”去嘗試解決問題，將“斜元素”轉化為“直元素”，往往能化腐朽為神奇，化難為易！
請記住，“當你連嘗試的勇氣都沒有，你就不配擁有成功，也永遠不會成功，哪怕失敗了又有何妨，重頭再來也無所謂，要敢于去想，敢于去嘗試，失敗永遠比退縮更可貴！”
不信，同學們可以嘗試下面這個老師原創(chuàng)題組，深刻體會改“斜”歸正在解題中的妙用：
這里僅提供第(1)小問的解法，如圖3－24所示，其他問題的解法大同小異！
幾點友情提示如下：
①改“斜”歸正策略，構造相關“水平－豎直輔助線”，化斜為直，這是平面直角坐標系中極其重要而基本的輔助線，要勇于嘗試，善于發(fā)現(xiàn)；
②“坐標軸”三角形：當坐標系中的直線解析式確定時，它與坐標軸圍成的直角三角形會隨之確定，在解決與直線有關的綜合題時，大家要善于使用這個特征三角形，利用構造的“水平－豎直輔助線”，懷有相似情懷，眼中找角，心中導比，斜直轉化，屢試不爽.
②建系解析法：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，這是我國著名數(shù)學家華羅庚先生對于數(shù)學的理解，它告誡我們幾何、代數(shù)本為一體，很多幾何問題可以借助代數(shù)手段計算說理，而建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担M解析法，這為我們的解題世界打開了一片新天地，建議同學們?nèi)チ私饨馕龇?，但不宜濫用，平時的學習中還是應以幾何法為首要選擇，對于初中生而言，這是培養(yǎng)幾何邏輯思維的重要途徑，否則解析法反而會限制學生思維，阻礙思維發(fā)展，切記，莫濫用，逼不得已再使用，或者與幾何法穿插交替使用，達到爐火純青之境；
拿本題為例，最后一問提供的解析法其實就是在幾何法分析的基礎上，需要求臨近位置時，再選取建系解析法.若本問一股腦地，不管三七二十一，一上來就直接開動解析法，未嘗不可，但計算量過大，而且錯過利用分類畫圖策略，確定臨界位置的大好機會；
純解析法，具體如下，僅供對比之用：
解析法的優(yōu)勢是基本上不動腦袋，只顧著計算，運算能力要求高，對比可見，很多計算都是無用功，根本不需要；幾何法的優(yōu)勢是簡潔美觀，需要一顆玲瓏剔透心，畫出圖形，結合圖形慢慢分析，這對思維能力要求高，包括畫圖分析問題的能力等.其實兩者結合，不失為妙法，兩者相輔相成，彼此守望相助.
凡事無絕對，此題若改編成以下問題，筆者首推解析法：
（改編題）在原題的條件下，當E從點A運動到點D時，求圓心O運動的路徑長.
這里提供了直線型路徑問題的一種重要通法，即解析法，筆者給出如下結論：
①只要目標動點的橫、縱坐標都是關于某個參數(shù)t的一次式時，該動點一定在某條定直線上運動；
②此直線的解析式可以通過令其橫坐標為x，縱坐標為y，然后再消去參數(shù)t，得到y(tǒng)與x的一次函數(shù)關系式，即為目標動點所在的直線解析式；
③最后采取臨界點法，找到目標動點的起點坐標與終點坐標，再利用兩點間距離公式求出其長，即為所求路徑長.
下面提供一道中考真題，供學生鞏固練習之用：
就題論題而言，本題已經(jīng)得到了較深入地解說與探究，但筆者絕不會止步于此，“學而不思、思而不變，廢也”.解題、學習絕不能僅僅停留于題目本身，還應多思考、多探索，一道題、一課題，深入挖掘，收獲更豐！
