我思故我在！——笛卡爾
如今對于有點數(shù)學基礎(chǔ)的人來說，都知道復數(shù)是實數(shù)的擴展，實數(shù)加上虛數(shù)就組成了完整的二維數(shù)——復數(shù)。
虛數(shù)的幾何意義：虛數(shù)是垂直于實軸的另外一維數(shù)的，和實數(shù)組成二維數(shù)，稱作復數(shù)，并定義-1的二次根號正值為虛數(shù)單位，用i表示。
虛數(shù)單位的定義
然而，你不知道的是，在中學課堂，我們把虛數(shù)單位垂直實軸立起來，或許老師只花了一句話，但虛數(shù)的歷史卻花了數(shù)學家200多年。
今天，我就來給大家細數(shù)，那些不同尋常的數(shù)學故事。
虛數(shù)的第一次出現(xiàn)，應(yīng)該要從三次方程的解法講起。
缺項三次方程的求根公式最早是費羅（Scipione del Ferro，1465-1526）得到，后來1535年豐塔納（Niccolo Fontana，1500-1557）也獨立得到了這個公式，但兩人都沒有發(fā)表，而是當作一項優(yōu)勢技能，去挑戰(zhàn)其他數(shù)學家，以此來獲得榮譽和獎金，這在我們現(xiàn)在看來是不可思議的。
后來，數(shù)學家卡爾丹（1501-1576）有幸得知豐塔納得到了三次方程的求根公式，于是卡爾達諾去請求豐塔納告知三次方程的解法，在卡爾丹的多次請求下，豐塔納告訴了他求解公式，但并未傳授他公式的推導過程，并要求他發(fā)誓嚴守三次方程解法的秘密。
后來，卡爾丹有幸看到了費羅的遺稿，他覺得自己再也沒有必要受誓約限制了，因為費羅才是第一個發(fā)現(xiàn)缺項三次方程求根公式的人，于是他在1545卡爾丹發(fā)表了自己的著作《大衍術(shù)》，也稱《大術(shù)》，在書中卡爾丹把求解推廣到了一般三次方程，并發(fā)表了著名的缺項三次方程求根公式，這個公式就是著名的——卡爾丹公式。（后來豐塔納覺得自己被欺騙了，于是對卡爾丹發(fā)起了狂風暴雨般的訴訟，告他剽竊）
歷史留給后人評判，我們來看他的缺項三次方程求根公式：
卡爾丹的缺項三次方程求根公式
我們把缺少2次項的三次方程叫做缺項三次方程，對于一般三次方程，我們只需要做變量替換（x=y-a/3）就可以把一般方程變成缺項方程，這將大大化解我們的求解難度。
如果我們對三次方程稍作研究，很容易發(fā)現(xiàn)三次方程必定有一個實數(shù)解（三次方程的曲線必定穿過橫坐標），而卡爾丹公式就給出了這個解，另外兩個解可以利用長除法化解成二次方程。
但是卡爾丹公式里面，隱藏著一條惡龍：因為一方面，這個公式得到的，肯定是三次方程的一個解；另一方面，兩個二次根號下面卻有可能得到一個負值。
在十六世紀，對負數(shù)開根號對數(shù)學家來說是不可能的，他們會隨手把這個結(jié)果扔進垃圾桶，認為是不可約的情況。
幾十年來，數(shù)學家都琢磨不透卡爾丹公式中出現(xiàn)的負數(shù)開根號的問題，直到1572年，意大利工程師邦貝利（Rafacl Bombelli，1526-1572）首次嘗試去解釋卡爾丹公式里面“惡龍”的真正機制，這讓他名垂青史，他出版的《代數(shù)學》中，他例舉了這個方程：
x^3-15x+4=0；
稍微琢磨一下，我們就能得到x=4是方程的一個解，利用長除法，很容易解出另外兩個根x=-2±√3。（站在我們現(xiàn)在的角度，三個根都是實數(shù)。）
那么帶入卡爾丹公式會怎樣呢！
帶入求根
出現(xiàn)了負數(shù)的開根號，對于當時的數(shù)學家來說就是噩夢，會認為此方程不可約。但邦貝利那偉大的洞察力，看出了這個怪異的表達式后面的真正面目。（在我們現(xiàn)在看來，其實就是兩個共軛復數(shù)相加，但我們是站在“后世諸葛亮”的角度）
邦貝利巧妙地利用待定系數(shù)的辦法，把上面等式化解成：
邦貝利得到的結(jié)果
至此，卡爾丹公式給出了不可約情況下的正確解：x=4；
這可是個了不起的發(fā)現(xiàn)，對負數(shù)的開根號，居然可以加入運算，并且最終得到了一個正確結(jié)果，這對當時的數(shù)學家來說，無疑是發(fā)現(xiàn)了個“金礦”。
但這時的數(shù)學家，還是沒有弄明白負數(shù)開根號的幾何意義，因為要知道，笛卡爾（1596-1650）還沒發(fā)明坐標系前，數(shù)學的全部幾乎就是幾何學，任何數(shù)學概念，只有找到幾何意義，數(shù)學家們才能理解。
偉大的哲學家、數(shù)學家笛卡爾
然而虛數(shù)開根號幾何意義，數(shù)學家們又探索了100多年，期間無數(shù)大數(shù)學家，牛頓，萊布尼茨，笛卡爾，甚至是歐拉這樣的大數(shù)學家，也沒能解開虛數(shù)的真正意義（虛數(shù)一詞是笛卡爾發(fā)明的，用“i”表示是歐拉發(fā)明的）。
有人會說，歐拉不是發(fā)現(xiàn)了著名的歐拉等式：
歐拉恒等式
難道他也沒弄明白，可以明確地告訴你——是的，歐拉也沒弄明白虛數(shù)“i”的幾何意義。
如果你去了解歐拉推導歐拉恒等式的歷史，你會知道歐拉是從正余弦的級數(shù)展開推導出來的，并非是從虛數(shù)i的幾何意義推導而來，但這并不影響他對虛數(shù)的使用。
直到歐拉（1707-1783）去世后十多年，這個問題突然被挪威的一名工程師韋塞爾（Caspar Wessel，1745-1818）解決了，1799年韋塞爾得到丹麥皇家科學院的支持，在院刊上發(fā)表了一篇非科學院院士撰寫的論文《論方向的解析表示：一個嘗試》。
論文中，韋塞爾正式把虛數(shù)當作二維數(shù)，表示成a+bi的形式，并提出了重要的復平面概念和輻角概念。至此，虛數(shù)正式登上數(shù)學的大舞臺，為50年后的黎曼創(chuàng)立復變函數(shù)打下了重要基礎(chǔ)。
看到這里，大家是不是有點驚嘆，在沒有復平面的概念下，韋塞爾前面的人，比如歐拉等人居然能把虛數(shù)使用得如此順手，而我們花了一節(jié)課，就作為常識的知識，歷史居然花了200多年，真是不可思議?。。】吹竭@里，你是否有什么想法呢？
