在網(wǎng)上翻到一個非常有意思的問題：
這個問題乍看起來無厘頭，但實際上是個非常深刻的問題，涉及到抽象代數(shù)(abstract algebra)的一些基本概念，因此我打算寫篇文章來詳細(xì)闡述一下。
人類的數(shù)學(xué)從數(shù)數(shù)開始，最早誕生的概念是自然數(shù)(natrual number)。后來隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，又產(chǎn)生了新類型的數(shù)。
初中時我們對數(shù)的體系做了詳細(xì)地介紹
到了高中我們又學(xué)了集合的概念，從集合的角度來研究數(shù)。為了敘述的方面，我們把由不同類型的數(shù)組成的集合用一個字母來表示，我們學(xué)過的有如下幾個：
自然數(shù)集：N
整數(shù)集：Z
有理數(shù)集：Q
實數(shù)集：R
復(fù)數(shù)集：C
相信很多小伙伴在這里也會碰到同這位網(wǎng)友一樣的疑問：無理數(shù)(irrational number)也是很重要的數(shù)的類型，為什么它們的集合沒有字母表示呢？是書上忘了講，還是說數(shù)學(xué)家懶得起名字？
其實，無理數(shù)集沒有用字母表示是有其中的道理的，要弄清楚這個道理，就得先弄清楚三個基本概念：集合(set)，二元運(yùn)算(binary operation)，和封閉(closed)。
集合
集合這個概念我們已經(jīng)很清楚了，指的就是具有某些特定性質(zhì)的元素做成的集體。當(dāng)然關(guān)于集合的精確定義還有很多需要討論，但是理解到這個層次也就足夠了。
二元運(yùn)算
二元運(yùn)算我們其實也已經(jīng)很熟悉了，但是之前沒有給它做出過精確的定義。用不太正式的語言來敘述，一個二元運(yùn)算就是一種把兩個數(shù)變成一個數(shù)的對應(yīng)法則。比如加法就是一個二元運(yùn)算，因為他把1和1變成2，把2和3變成5等等。同樣道理，四則運(yùn)算加減乘除都是二元運(yùn)算。
不過我們一般把減法運(yùn)算看作是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，把除法運(yùn)算看作是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此最基本的二元運(yùn)算只有兩種。
于是有人就會問了，既然有二元運(yùn)算，那有沒有一元運(yùn)算呢？當(dāng)然是有的，所謂的一元運(yùn)算，無非就是把一個數(shù)變成另一個數(shù)唄，我們常見的，比如對數(shù)運(yùn)算，開方運(yùn)算，都是一元運(yùn)算。但其實，所謂的一元運(yùn)算，就相當(dāng)于我們學(xué)過的函數(shù)。
同樣道理還會有三元運(yùn)算，四元運(yùn)算，n元運(yùn)算等等，我們不再做過多討論。
封閉
“封閉”其實是理解本文最核心的一個概念。
封閉是建立在集合與二元運(yùn)算的概念的基礎(chǔ)之上的。
對于某個數(shù)集和某種運(yùn)算，如果從該數(shù)集里面任意挑兩個數(shù)，做二元運(yùn)算所得到的結(jié)果仍然是這個集合中的數(shù)，就說該數(shù)集對于這個二元運(yùn)算是封閉的。
比如舉個最簡單的例子，自然數(shù)集對加法就是封閉的，因為任意兩個自然數(shù)相加的結(jié)果，還是一個自然數(shù)。而自然數(shù)集對減法運(yùn)算不封閉，比如我隨便就可以舉出兩個數(shù)來2和3，他倆都是自然數(shù)，但是2-3=-1，它就不是自然數(shù)了。
要回答本文提出的問題，就得從封閉這個概念來著手。
我們先來分析一下已知的集合對四則運(yùn)算的封閉性。
自然數(shù)集N，對于加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都是封閉的，但是對于減法運(yùn)算和除法運(yùn)算不封閉。
整數(shù)集Z，對于加法運(yùn)算，減法運(yùn)算，乘法運(yùn)算都是封閉的，但是對于除法運(yùn)算不封閉。
有理數(shù)集Q，對于四則運(yùn)算都是封閉的。
實數(shù)集R，對于四則運(yùn)算都是封閉的。
復(fù)數(shù)集C，對于四則運(yùn)算都是封閉的。
這里我想特別強(qiáng)調(diào)一下有理數(shù)集，有理數(shù)集對加減乘除4則運(yùn)算都封閉，不是一件很明顯的事情，我們需要有嚴(yán)格的證明。
所謂有理數(shù)就是可以寫成兩個整數(shù)之比的數(shù)，所以我們假設(shè)有兩個有理數(shù)b1/a1，b2/a2，其中a1、b1、a2、b2都是整數(shù)，考察一下它們做四則運(yùn)算的結(jié)果：
可以看出，四個運(yùn)算結(jié)果依然都還是有理數(shù)，這就證明了有理數(shù)集對四則運(yùn)算都是封閉的。
這里我想說的是，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明了：有理數(shù)集是對加減乘除四則運(yùn)算都封閉的最小的數(shù)集。意思就是說任何比有理數(shù)還要小的集合，哪怕只比有理數(shù)集少一個數(shù)，就不再對加減乘除四則運(yùn)算封閉了。
在抽象代數(shù)學(xué)中，我們把對加減乘除四則運(yùn)算都封閉的集合稱為一個數(shù)域(number field)，可以看出，實數(shù)集和復(fù)數(shù)集都是數(shù)域。而我們上面提到的結(jié)論就是：有理數(shù)集是最小的數(shù)域。換句話說，任何數(shù)域都包含有理數(shù)集作為它的子集。
分析完這些，我們就可以來看看無理數(shù)集了。我們會發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)及對四則運(yùn)算都不封閉。我們很容易就能舉出例子來：
對加法：√2和-√2都是無理數(shù)，但是加在一起等于0，0不是有理數(shù)。
對減法：√2和-√2的例子可以看成是√2-√2，結(jié)果也是0。
對乘法：√2×√2，結(jié)果是2，2不是無理數(shù)。
對除法：√2÷√2，結(jié)果是1，1不是無理數(shù)。
原來無理數(shù)集是個如此糟糕的集合！這就是我們不給它用字母表示的原因。
在現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們主要關(guān)注的就是集合及集合中元素的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生了群(group)，環(huán)(ring)，域(field)等一系列概念。
一個集合上某個運(yùn)算是封閉的，那么研究它才有意義，會有很多很美好的性質(zhì)。但是如果運(yùn)算不封閉，那么研究起來就會雜亂無章，并沒有太大意義。
對于前面五個集合，都存在至少一種運(yùn)算使其封閉，我們就利用這種封閉性來得出不少新的性質(zhì)，解決了很多數(shù)學(xué)問題，甚至構(gòu)造出更多更復(fù)雜的結(jié)合。數(shù)學(xué)家們經(jīng)常使用這五個集合，為了敘述上的方便，就拿五個字母來代替他們。
但是對于無理數(shù)集合，因為它對四則運(yùn)算都不封閉，因此無法得到像前面五個集合那樣豐富的性質(zhì)，使用起來也就不如它們頻繁，所以我們就沒有必要拿一個單獨(dú)的字母來命名它。
講到這里就不得不稍微提一下近世代數(shù)(modern algebra)的發(fā)展。
近世代數(shù)中最主要的概念——群，思想起源于19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)天才伽羅瓦(Galois，1811～1832)。伽羅瓦利用群論的方法，徹底解決了五次及以上方程根式解的問題，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上開天辟地的事情。我這位曠世數(shù)學(xué)天才卻因為意外而英年早逝，年僅21歲，是人類數(shù)學(xué)史上的一大憾事。
不過，我們現(xiàn)在在教科書上學(xué)到的代數(shù)學(xué)之所以長這個樣子，則主要?dú)w功于20世紀(jì)德國女?dāng)?shù)學(xué)家，被譽(yù)為“現(xiàn)代代數(shù)之母”的艾米·諾特(Emmy Noether，1882～1935)。諾特是數(shù)學(xué)史上毫無爭議的最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家，他和他的學(xué)生所形成的“諾特學(xué)派”，徹底改變了代數(shù)學(xué)的全貌。
