在量子力學中，薛定諤方程（Schr?dinger equation）是描述物理系統(tǒng)的量子態(tài)怎樣隨時間演化的偏微分方程，為量子力學的基礎(chǔ)方程之一。它是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運動，每個微觀系統(tǒng)都有一個相應的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì)。薛定諤方程表明量子力學中，粒子以概率的方式出現(xiàn)，具有不確定性，宏觀尺度下失效可忽略不計。
薛定諤方程（Schrodingerequation）在量子力學中，體系的狀態(tài)不能用力學量（例如x）的值來確定，而是要用力學量的函數(shù)Ψ（x,t），即波函數(shù)（又稱概率幅，態(tài)函數(shù)）來確定，因此波函數(shù)成為量子力學研究的主要對象。力學量取值的概率分布如何，這個分布隨時間如何變化，這些問題都可以通過求解波函數(shù)的薛定諤方程得到解答。這個方程是奧地利物理學家薛定諤于1926年提出的，它是量子力學最基本的方程之一，在量子力學中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學中的地位相當，超弦理論試圖統(tǒng)一兩種理論。
薛定諤方程是量子力學最基本的方程，亦是量子力學的一個基本假定，其正確性只能靠實驗來確定。
薛定諤方程 量子力學中求解粒子問題常歸結(jié)為解薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程。薛定諤方程廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理，對于原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結(jié)果都與實際符合得很好。
薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關(guān)于粒子自旋的描述。當涉及相對論效應時，薛定諤方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定諤提出的量子力學基本方程 。建立于 1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，它在量子力學中的地位相當于牛頓定律對于經(jīng)典力學一樣，是量子力學的基本假設(shè)之一。設(shè)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為Ψ（r，t），質(zhì)量為m的微觀粒子在勢場V（r，t）中運動的薛定諤方程。在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下，可解出波函數(shù)Ψ（r，t）。由此可計算粒子的分布概率和任何可能實驗的平均值（期望值）。當勢函數(shù)V不依賴于時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時的波函數(shù)可寫成式中Ψ（r）稱為定態(tài)波函數(shù)，滿足定態(tài)薛定諤方程，這一方程在數(shù)學上稱為本征方程，式中E為本征值，它是定態(tài)能量，Ψ（r）又稱為屬于本征值E的本征函數(shù)。
薛定諤方程是量子力學的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運動的基本規(guī)律，如牛頓定律在經(jīng)典力學中所起的作用一樣，它是原子物理學中處理一切非相對論問題的有力工具，在原子、分子、固體物理、核物理、化學等領(lǐng)域中被廣泛應用。
1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設(shè)，因此發(fā)現(xiàn)將能量與頻率關(guān)聯(lián)在一起的普朗克關(guān)系式。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對于光電效應的研究又給予這關(guān)系式嶄新的詮釋：頻率為ν的光子擁有的能量為hν；其中，因子h是普朗克常數(shù)。這一點子成為后來波粒二象性概念的早期路標之一。由于在狹義相對論里，能量與動量的關(guān)聯(lián)方式類似頻率與波數(shù)的關(guān)聯(lián)方式，因此可以揣測，光子的動量與波長成反比，與波數(shù)成正比，以方程來表示這關(guān)系式。
路易·德布羅意認為，不單光子遵守這關(guān)系式，所有粒子都遵守這關(guān)系式。他于1924年進一步提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性，這性質(zhì)稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質(zhì)。電子是一種物質(zhì)波，稱為“電子波”。電子的能量與動量分別決定了伴隨它的物質(zhì)波所具有的頻率與波數(shù)。在原子里，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉(zhuǎn)頻率只能呈某些離散數(shù)值。這些量子化軌道對應于離散能級。從這些點子，德布羅意復制出玻爾模型的能級。
在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一場物理學術(shù)研討會。有一次，主辦者彼得·德拜邀請薛定諤講述關(guān)于德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時期，薛定諤正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關(guān)于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會里，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動性，應該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動方程。他的意見給予薛定諤極大的啟發(fā)與鼓舞，他開始尋找這波動方程。檢試此方程最簡單與基本的方法就是，用此方程來描述氫原子內(nèi)部束縛電子的物理行為，而必能復制出玻爾模型的理論結(jié)果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細結(jié)構(gòu)。
很快，薛定諤就通過德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程，他將這方程應用于氫原子，計算出束縛電子的波函數(shù)。因為薛定諤沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導出的精細結(jié)構(gòu)公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改，除去相對論性部分，并用剩下的非相對論性方程來計算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當困難，在其好朋友數(shù)學家赫爾曼·外爾鼎力相助下，他復制出了與玻爾模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發(fā)表相對論性部分，只把非相對論性波動方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文。1926年，他正式發(fā)表了這論文。
這篇論文迅速在量子學術(shù)界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個迷語困惑多時，渴慕知道答案的孩童，現(xiàn)在終于聽到了解答”。愛因斯坦稱贊，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛定諤已做出決定性貢獻。由于薛定諤所創(chuàng)建的波動力學涉及到眾所熟悉的波動概念與數(shù)學，而不是矩陣力學中既抽象又陌生的矩陣代數(shù)，量子學者都很樂意地開始學習與應用波動力學。自旋的發(fā)現(xiàn)者喬治·烏倫貝克驚嘆，“薛定諤方程給我們帶來極大的解救！”沃爾夫?qū)づ堇?/a>認為，這論文應可算是最重要的著作之一。
薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數(shù)的量子行為。在那時，物理學者尚不清楚如何詮釋波函數(shù)，薛定諤試圖以電荷密度來詮釋波函數(shù)的絕對值平方，可并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地詮釋了波函數(shù)的物理意義。但是薛定諤與愛因斯坦觀點相同，都不贊同這種統(tǒng)計或概率方法，以及它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)坍縮。愛因斯坦主張，量子力學是個決定性理論的統(tǒng)計近似。在薛定諤有生的最后一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。
