問(wèn)π
劉向軍
每年的3月14日是什么節(jié)日？
它是繼2月12日情人節(jié)之后的“白色情人節(jié)”，也是“π節(jié)”、“數(shù)學(xué)節(jié)”。
“3.14”這幾個(gè)數(shù)字有奇特的魔力：它是釋迦牟尼去世的日子，它是馬克思去世的日子，它是愛(ài)因斯坦誕生的日子，它是霍金去世的日子。生于或死于3月14號(hào)這個(gè)日子的人一定多的是，但是這幾個(gè)人物實(shí)在太偉大了。因此人們有理由認(rèn)為，“3月14日”對(duì)于某些頂尖杰出的人物來(lái)說(shuō)有著特殊的作用——或送他們到人間來(lái)，或召喚他們到上帝的身邊去。
一切指向于π，指向于3.14——這個(gè)上帝的符號(hào)，這個(gè)上帝的數(shù)字。
第一個(gè)計(jì)算出圓周率為3.14的人是誰(shuí)呢？應(yīng)該是2200多年前的阿基米德吧？雖然也有一種說(shuō)法說(shuō)：4000多年前的埃及胡佛金字塔底邊周長(zhǎng)和高度之比也是圓周率。但是此說(shuō)語(yǔ)焉不詳，而且那創(chuàng)始人似乎也只能歸于外星人了。
2200多年前阿基米德計(jì)算出圓周率是3.14，他到底是怎么計(jì)算的呢？
據(jù)說(shuō)他采用了內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的辦法，內(nèi)外逼近進(jìn)行計(jì)算。這也是后代微積分的思想。據(jù)說(shuō)阿基米德的正邊形是96邊形。96條邊每一條邊的長(zhǎng)度是如何精準(zhǔn)計(jì)算的呢？他使用的是什么材料？他是如何控制誤差的呢？
1700多年前，中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽計(jì)算出圓周率是3.1415，這又是一個(gè)飛躍。據(jù)說(shuō)他采用的方法也是阿基米德的方法，但是有改進(jìn)，他只做內(nèi)接正多邊形而不再做外切正多邊形。據(jù)說(shuō)他做的內(nèi)接正多邊形達(dá)到了3702條邊。天哪！3702條邊，這可是在1500多年前啊！他畫了一個(gè)多大的圓？他的每一條邊有多長(zhǎng)？他怎么測(cè)量每一條邊的長(zhǎng)度的？他如何控制3702條邊累加起來(lái)的誤差？今天還有誰(shuí)能做到嗎？
1500多年前，中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算出圓周率是3.1415926到3.1415927之間。他把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第7位。這是一個(gè)劃時(shí)代的杰出的數(shù)學(xué)成就！這個(gè)精確率達(dá)到這樣的程度：領(lǐng)先全世界800多年一直沒(méi)有被超越！
今天，沒(méi)有人知道祖沖之是如何計(jì)算出圓周率的。有人說(shuō)他采用的是“綴術(shù)”，但沒(méi)有人知道什么是“綴術(shù)”。有人說(shuō)他采用的依然是阿基米德的那種割圓術(shù)，但是要割出小數(shù)點(diǎn)后7位的精確值就需要割出上萬(wàn)條邊的正邊形——有人說(shuō)是12,000多邊的正邊形，有人說(shuō)是26,000多邊的正邊形。就算1萬(wàn)條邊的正多邊形吧，想想看，那是一個(gè)多大的圓？每一條邊有多長(zhǎng)？如何精確測(cè)量？如何控制誤差？想一想就要讓人發(fā)暈。
不僅如此，祖沖之還創(chuàng)造性地提出了約率22/7和密率355/113。他當(dāng)年是怎么想到這樣來(lái)計(jì)算呢？
今天，截止2021年8月，圓周率已經(jīng)被計(jì)算到了62.8萬(wàn)億位。這個(gè)數(shù)字究竟如何理解、如何想象呢？有人說(shuō)。如果每本書60萬(wàn)字的話，這些小數(shù)點(diǎn)需要印刷1億本書！而更要命的是我們的超級(jí)計(jì)算機(jī)現(xiàn)在仍然以每秒60萬(wàn)位的計(jì)算速度往前計(jì)算著。
超級(jí)計(jì)算機(jī)是利用什么原理來(lái)進(jìn)行計(jì)算呢？分子是什么呢？分母又是什么呢？有人說(shuō)超級(jí)計(jì)算機(jī)是在運(yùn)用牛頓、萊布尼茨微積分的原理在計(jì)算，有人說(shuō)是利用拉馬努金所提出的公式在計(jì)算。這樣一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，顯然已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)普通人的理解范圍了。
科學(xué)家對(duì)計(jì)算圓周率后小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)充滿了無(wú)限的熱情，無(wú)限的執(zhí)著，實(shí)際意義是什么呢？
據(jù)說(shuō)圓周率后第39位已經(jīng)可以計(jì)算目前宇宙的大小而誤差不會(huì)超過(guò)一個(gè)原子的空間了，那何必?zé)o休無(wú)止地計(jì)算下去呢？有人說(shuō)計(jì)算圓周率可以檢驗(yàn)超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度和穩(wěn)定性。這就是計(jì)算圓周率的唯一意義嗎？也有人說(shuō)科學(xué)家們想通過(guò)計(jì)算來(lái)證明圓周率究竟是不是真的無(wú)限不循環(huán)——或者某一天圓周率能夠被計(jì)算到盡頭。
按理說(shuō)人世間的一切數(shù)字組合都可以在圓周率里找得到。比如，“1314”這個(gè)組合出現(xiàn)在圓周率后第3902位；比如，“5201314”這個(gè)組合出現(xiàn)在圓周率小數(shù)點(diǎn)后第280多萬(wàn)位；比如，任何一個(gè)人的生日數(shù)字組合都一定可以在圓周率中找得到。
那么，圓周率后會(huì)不會(huì)出現(xiàn)10個(gè)0相連呢？會(huì)不會(huì)出現(xiàn)1萬(wàn)個(gè)0相連？會(huì)不會(huì)出現(xiàn)60萬(wàn)個(gè)0相連而印成一本0字的書呢？
那么，圓周率小數(shù)點(diǎn)后會(huì)不會(huì)連續(xù)出現(xiàn)1萬(wàn)次“5201314”呢？
那么，我們今天世上所有好聽(tīng)的交響樂(lè)、鋼琴曲、歌曲的音樂(lè)譜子是否都能在圓周率的小數(shù)點(diǎn)后找到它們的組合呢？
與圓周率相關(guān)，有兩道反常識(shí)的令人驚掉下巴的數(shù)學(xué)趣題。
其一：假如一根鐵絲繞著地球的赤道緊緊地纏了一圈，長(zhǎng)度為4萬(wàn)千米；如果把這根鐵絲延長(zhǎng)一米的話，那么這根鐵絲圍繞赤道圍成的圓距離地表的平均縫隙能不能鉆過(guò)去一只螞蟻或一只老鼠或一只小貓或一頭大黃牛呢？
——這個(gè)縫隙的距離是約16厘米！想不到吧！可以輕松鉆過(guò)一只貓！
其二：一根沒(méi)有彈性的繩子繞著地球的赤道緊緊地繞了一圈，長(zhǎng)4萬(wàn)千米；如果把這根繩子延長(zhǎng)一厘米，然后把這根繩子緊挨著地球赤道提起來(lái)的話，那么提起的那一點(diǎn)與地面的空隙能不能鉆過(guò)去一只螞蟻或一只老鼠或一條小狗或一頭大黃牛呢？
——這個(gè)高度約6米！更想不到吧！在離開(kāi)地面的那一點(diǎn)的兩側(cè)各8500米處，繩子就開(kāi)始離開(kāi)地面了，一頭大象、一頭長(zhǎng)頸鹿或一頭重型卡車都可以輕松通過(guò)！
3.14159265358979323846264338327950288，這是圓周率小數(shù)點(diǎn)的前35位。當(dāng)年德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪?/span>·科伊倫經(jīng)過(guò)畢生努力計(jì)算至此，一時(shí)世界領(lǐng)先。死后，他讓人把這些數(shù)字刻在自己的墓碑上。對(duì)于他來(lái)說(shuō)，這35位小數(shù)猶如那前7位小數(shù)對(duì)于祖沖之的意義，那是他們的生命交響曲。
我們有理由相信，貝多芬的《命運(yùn)交響曲》會(huì)在圓周率后的某一個(gè)片段奏響。
圓周率，一個(gè)奇妙的數(shù)字。
2022.6.5
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