2019 年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)
壓軸題多解探析
劉春紅（天津市第七中學(xué)天津300143）
高成龍（天津外國語學(xué)校天津300143 )
文章發(fā)表于《理科考試研究·數(shù)學(xué)版·》2020年2月
摘要: 證明不等式的方法靈活多樣，既可以從函數(shù)角度進行分析，也可以以幾何背景入手探究. 本文對于2019年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)壓軸題中的不等式題目，先給出命題組所提供的參考答案，然后給出本題多視角下的求證思路．
關(guān)鍵詞: 函數(shù); 不等式; 幾何背景
1 真題再現(xiàn)
分析 本題考查的內(nèi)容是選修4 － 5 中不等式選講部分，考點是常見的均值不等式和柯西不等式等．采用分析法思考，若想得到題中不等式的最值，應(yīng)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，再根據(jù)已知條件添上和為常數(shù)的各項，最后再由公式得出結(jié)論，重點考查學(xué)生的化簡運算能力和推理能力．
評注 消元的想法簡單，但化簡的過程比較繁瑣，使用的關(guān)鍵是如何巧妙地進行配方．
2. 4 利用幾何意義證明
許多不等式有著豐富的幾何意義，從圖象和代數(shù)結(jié)構(gòu)兩種不同角度探究不等式，有助于加深對不等式的認(rèn)識，觀察題中代數(shù)式的幾何意義，變抽象為直觀，利用圖形的特征更好地理解代數(shù)結(jié)論的意義.
評注 從式子所表示的幾何意義入手，通過建立坐標(biāo)系簡化計算，結(jié)論充分體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，突出代數(shù)運算與幾何直觀之間的融合，通過形與數(shù)的結(jié)合，能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學(xué)整體性的理解．
3 第( 2) 問思路探析
3. 1 利用消元配方
本題第( 1) 問的求解思路中采用了消元的方法，第( 2) 問中變量又多了一個，我們不妨也試著消元，再配方得出所求參數(shù)的取值范圍. 這種想法比較順暢，
重點在于化簡運算.
3. 3 利用幾何意義證明
數(shù)形結(jié)合思想方法在高中階段具有突出的地位，借助“形”的直觀可以更好地理解“數(shù)”的抽象，直觀與抽象互補. 乍看不等式與幾何圖形好像沒有多大關(guān)系，但仔細(xì)分析后可構(gòu)造出不等式的幾何意義，從而巧妙地利用幾何的相關(guān)知識來解決.
評注 本題的兩問所蘊含的幾何意義都是一個點與平面x y z = 1 上的點所成線段長度，點到平面的距離即為線段長度的最小值，第( 1) 問是一個定點，第( 2) 問是一個含a 的動點，思考過程類似．
4 總結(jié) 反思
不等式選講部分的內(nèi)容是近幾年來全國各省市高考的熱點，這一部分內(nèi)容需引起一線教師的高度重視. 高中出現(xiàn)的不等式主要有基本不等式、柯西不等式、排序不等式等，熟練掌握這些公式的形式與意義，有助于我們在短時間內(nèi)更好地解決問題，同時從函數(shù)角度和不等式的幾何意義出發(fā)分析問題，更有助于開拓思路，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
曹才翰在《中國數(shù)學(xué)教學(xué)百科全書. 數(shù)學(xué)卷》中指出“數(shù)學(xué)運算能力是運算技能與邏輯思維等獨特結(jié)合的一種能力，它是通過數(shù)學(xué)解題而逐步發(fā)展起來的，所以運算能力的研究主要從學(xué)生的數(shù)學(xué)解題活動中來分析”，由此可見，在實際教學(xué)中，教師要剖析高考題目，認(rèn)真分析題目的根源，總結(jié)和歸納題目的解法，讓學(xué)生能做一題通一類，真正實現(xiàn)觸類旁通． 另外課堂上鼓勵學(xué)生一題多解，強調(diào)一題多解的重要性，通過啟發(fā)和指導(dǎo)學(xué)生從不同的層面、不同的角度用不同的的運算過程去分析和解決同一題目，進一步提高綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
