這是一道關(guān)于不等式的高考數(shù)學(xué)真題，這道題必須借助數(shù)軸，才能比較簡便地解決。用一般的方法，將會特別繁瑣。題目是這樣的：
已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>-a, 求a的取值范圍.
分析：(1)這類題型最普通的方法就是分情況討論。比如第一小題，就適合分情況討論，雖然借助數(shù)軸也能比較簡便解決，但用一般方法也不麻煩。
因?yàn)楫?dāng)a=1時，原函數(shù)可以寫成分段函數(shù)的形式。就是根據(jù)x在不同的取值范圍內(nèi)，絕對值內(nèi)式子的符號性質(zhì)，去絕對值符號。當(dāng)x不大于-3時，兩個式子都非正的，所以去絕對值符號后，都要取相反數(shù)。當(dāng)x在-3到1之間時，前面的式子是負(fù)數(shù)，去絕對值符號后要取相反數(shù)，后面的式子是正數(shù)，可以直接去掉絕對值符號?；啺l(fā)現(xiàn)，這種情形下，函數(shù)f是常量函數(shù)4，其實(shí)這也是函數(shù)的最小值。而當(dāng)x不小于1時，兩個式子都非負(fù)，因此直接去掉絕對值符號。
雖然，中間這段函數(shù)是不可能不小于6的。只有兩側(cè)函數(shù)有可能不小于6。如果左側(cè)函數(shù)不小于6，則解得x不大于-4；如果右側(cè)函數(shù)不小于6，則解得x不小于2。從而得到不等式的解集。把解集在數(shù)軸上表示出來。你能說出函數(shù)f(x)的幾何意義嗎？
其實(shí)f(x)就是數(shù)軸上一點(diǎn)，到1和-3的距離和。因此當(dāng)x在-3和1之間時，這個距離和最小，等于-3和1之間的距離，也就等于4. 而在-3左側(cè)，離-3越遠(yuǎn)，到兩點(diǎn)的距離和越大。同理，在1的右側(cè)時，離1越遠(yuǎn)，到兩點(diǎn)的距離和也越大。只有在-4和2的點(diǎn)上，兩個距離和等于6，超過-4越左，和超過2越右，距離和就會越大于6. 老黃之所以要分析這些，就是為第二小題做準(zhǔn)備的。
(2)第二小題如果要按第一小題的解法，分情況討論，不僅有六種情形之多，而且其中的不等式關(guān)系會相當(dāng)復(fù)雜。有興趣也可以自己試試看。如果利用數(shù)軸，根據(jù)f(x)的幾何意義來解，就要輕松得多了。當(dāng)然，這里也要用到一點(diǎn)分情況討論的方法。
就是在a不小于0時，可以知道f(x)是恒大于-a。因?yàn)檫@個時候-a表示非正數(shù)，而f(x)是正數(shù)，甚至不存在f(x)=0的情形，因?yàn)楫?dāng)a不小于0時，兩個絕對值不可能同時等于0. 所以不等式f(x)>-a恒成立
又f(x)的最小值是-3和a的距離，表示為|-3-a|或|a+3|。當(dāng)a<0時，想要滿足f(x)>-a恒成立, 就必須滿足f(x)的最小值大于-a，這是f(x)>-a恒成立的充要條件。這時不等式兩邊|-3-a|>-a都是非負(fù)數(shù)，其實(shí)都是正數(shù)。解這個不等式就兩邊同時平方，然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，從而解得a>-1.5，與a不小于0取并集，就得到a的取值范圍了a∈(-1.5,+∞).
在數(shù)軸上，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a小于0時，-a在這里表示a到原點(diǎn)的距離。如果a在-3的左邊，這個距離不會恒小于函數(shù)f(x)。
就算a在-3的右邊，f(x)也不一定大于-a。只有當(dāng)a在0和-3之間，靠近0時，即a在0和-3的中點(diǎn)的右側(cè)時，f(x)的最小值才會大于-a，從而保證f(x)恒大于-a。下面組織解題過程：
解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)={-2x-2, x<=-3; 4, -3<x<1; 2x+2, x>=1}
若-2x-2≥6時, x≤-4； 若2x+2≥6時, x≥2,
∴x∈(-∞,-4]U[2,+∞).
(2)當(dāng)a≥0時, f(x)>-a恒成立,
又f(x)≥|-3-a|,
當(dāng)a<0時，解不等式|-3-a|>-a, 得a>-1.5,
∴a∈(-1.5,+∞).
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