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程鶚斯萊特要將波與粒子結合起來描述光子的想法是他的獨創(chuàng)，卻不是首創(chuàng)。在他之前，愛因斯坦就已經為同樣的念頭糾結了好幾年。
1917年，愛因斯坦在他的輻射論文中提出光子有動量，是“實實在在”的粒子。原子在輻射時只能往一個特定的方向發(fā)射一個光子。我們之所以沒法看到這樣的景象，是因為日常的光源無論多小都有著太多太多的原子在同時輻射。它們隨機地向四面八方發(fā)射光子，我們所看到的光便是一個球形的波。
這個解釋與玻爾后來在BKS論文中所用的手法一致，他們都是將宏觀世界的現象看作大樣本的微觀事件的綜合。但是，這并非一定是微觀事件的真實體現。所以玻-愛二者的思考區(qū)別在于：玻爾試圖論證微觀世界不遵從能量、動量守恒律，認為那只是宏觀統計的平均結果；而愛因斯坦說的是微觀世界的粒子過程在統計平均后看起來會是宏觀的波動。
雖然玻爾的假想很快被實驗否定，但愛因斯坦也無法自圓其說。他清楚，統計平均的解釋可以對付點光源的發(fā)光，卻無法適用光作為波動的其它表現。尤其是楊氏1803年展示了光的干涉、衍射之后，光的波動說就已經完全確定，導致牛頓的微粒說銷聲匿跡。光作為粒子的運動無論有多大的樣本、如何地統計平均也不可能出現干涉和衍射。從普朗克到玻爾的20多年間，正是這一點是物理學界頑固地抗拒光子概念的最大理由。即使光是由單個、實在的粒子組成，它也必須以某種形式具備波動性。這在經典物理中沒有“對應”，只能再度尋找新的理論。
與斯萊特后來的想法相似，愛因斯坦曾設想作為粒子的光伴隨有一個鬼魅般的場（ghost field）。與粒子在特定時刻只處在空間一個點相反，這個鬼場同時彌漫整個空間，遵從麥克斯韋方程。原子輻射時會產生這樣的場，以球面波傳播光。即發(fā)射的光子是在這個鬼場的引導下運動，其在空間某個點出現的可能性由鬼場在該點的強度決定。這樣，大量光子的集合會宏觀地呈現出鬼場作為電磁波的形狀和行為，包括干涉、衍射等波動特征。
雖然構想井井有條，愛因斯坦卻無法為這個概念賦予嚴格的數學表述。他沒有正式發(fā)表論文，只是在與洛倫茲、索末菲、埃倫菲斯特等朋友的信件往來中私下討論。所以，在當時的學術界小圈子里，他的鬼場盡人皆知。
諾貝爾獎也為愛因斯坦的生活、工作環(huán)境帶來正面變化。因為廣義相對論的成功，在德國舉國上下將他認作“德國物理學家”，萊納德、斯塔克等人的攻擊也隨之偃旗息鼓。他又有了可以專心學術的環(huán)境，但與十年前謀求量子化麥克斯韋方程一樣，他屢戰(zhàn)屢敗，在鬼場上也再度碰壁。于是，他又一次離開量子領域，轉戰(zhàn)統一場論，希望能取得比廣義相對論更為輝煌的成果。
然而，在1924年的夏天，他接連收到兩封不期而至的來信，將他的注意力又暫時地拉回到量子世界。
第一封信來自印度，作者是一位名叫玻色（Satyendranath Bose）的年輕物理學家。他出生于印度的加爾各答，其家境尚可，從小接受了良好的教育。由于印度被英國控制，玻色很難謀得像樣的好職位，只能混跡于三流學校。在學術上，他與同事一起翻譯愛因斯坦的著作，也自己發(fā)表過幾篇不受人注意的論文。
玻色
這一次，當玻色投稿英國刊物的論文在審稿中被拒之后，他異想天開，直接給愛因斯坦寫信，請求他將英文稿件翻譯成德語，安排在德國著名的《物理學雜志》上發(fā)表。他在信中寫道：“我們素昧平生，但我提出這個請求時絲毫不帶躊躇。因為曾經從你的著述中獲益匪淺，我們都是你的學生?！?div style="height:15px;">
愛因斯坦經常收到這類素昧平生的作者來信，他卻奇跡般地沒有忽略這封信，而是用他很不嫻熟的英文仔細閱讀了論文。在短短的兩頁紙中，玻色做到了愛因斯坦過去沒能做到的事：完全從光子出發(fā)推導出黑體輻射的普朗克定律。
愛因斯坦1917年在輻射論文中第一次推導出普朗克定律，那是借助玻爾的原子模型，通過輻射體與輻射場的熱平衡才獲得成功。黑體空腔內部的輻射可以完全決定自己的平衡態(tài)狀況，沒必要依賴作為腔壁的原子。在普朗克之前，瑞利和愛因斯坦都曾只對空腔內部的電磁波進行統計分析，推導出瑞利定律，揭示了經典理論中的紫外災難。
按照量子理論，空腔內的輻射不再是連續(xù)分布的電磁波，而是不同頻率的光子。光子之間沒有相互作用，那是一個物理學家熟悉的理想氣體系統。用統計手段推導它的狀態(tài)輕而易舉。愛因斯坦和其他人都嘗試過，卻始終沒能得出普朗克定律而只能得到近似的維恩定律。
玻色聲稱他解決了這個問題，愛因斯坦自然不會掉以輕心。
在瑞利和愛因斯坦最早的經典推算中，他們通過數空腔內電磁波能形成的駐波數目來計算各個頻率的自由度，然后根據能均分定理得出能量分布。理想氣體系統中相應的是要數出光子所能有的狀態(tài)數目。就像一個盒子里有若干個小球，它們可以任意分布，不同的排列組合便是不同的狀態(tài)，需要一一計數。
愛因斯坦發(fā)現玻色在計數時耍了一個似乎不起眼的花招：如果將盒子里的兩個小球彼此交換位置，本來應該是一個與原先不同的新狀態(tài)，即使兩個小球一模一樣。玻色則認為這樣交換小球的位置會看不出區(qū)別，或者說可以忽略二者的區(qū)別，也就是小球（光子）互相交換位置時不改變狀態(tài)。這似乎是一個非常低級的錯誤，可是這樣一來，空腔內光子所能有的狀態(tài)數目就大大減少了，最終的結果就出現了普朗克定律。
玻色的論文對這一關鍵步驟沒有作出解釋，只是一筆帶過。他后來承認他當時完全沒有意識到這有什么新奇之處。
愛因斯坦看出了玻色的戲法，一時卻也無法領悟其物理含義——玻色的推導“很優(yōu)雅但其實質卻非常隱晦”。畢竟玻色由此推導出了普朗克定律，其中必有合理之處。他立即依照玻色的請求將稿件翻譯成德語，推薦給《物理學雜志》，并附上一段譯者注：“在我看來玻色對普朗克定律的推導標志著一個重要的進展。他采用的方法還能導致理想氣體的量子理論，我會另外提供具體信息?！庇捎谟袗垡蛩固怪魉]，玻色的論文立即被發(fā)表。
短短幾個星期之后，愛因斯坦完全明白了玻色算法背后的物理意義。他在自己“另外提供具體信息”的論文中表示，在量子世界中，粒子是“不可分辨”的：兩個同樣頻率的光子就是完全相同的光子，無法分辨彼此。將這樣的兩個光子互相交換位置，前后沒有任何區(qū)別，系統便不會改變狀態(tài)。
這又是一個在經典物理中不存在“對應”的、量子世界獨有的特性。愛因斯坦指出，這個不可分辨不僅僅是適用于作為輻射的光子，而是所有微觀粒子——電子、原子——屬于普遍性質。以此來看，麥克斯韋、玻爾茲曼的統計理論只適用于可分辨粒子的經典系統；在量子世界必須采用新的計數方法，即“玻色-愛因斯坦統計”。
愛因斯坦之所以如此斷言，在于他發(fā)現這個新的統計方法解決了另一個讓他頭疼的問題。十幾年前，他通過對固體比熱的量子計算證明當溫度趨于絕對零度時，系統的自由度將一個個被“凍結”，導致整體的熵趨于零。遺憾的是，他當時的比熱計算只適用于低溫的固體、液體，而氣體尤其是理想氣體卻不遵循這一規(guī)律。
理想氣體是物理學中的一個理想化模型，其中的粒子沒有相互作用，也就不會像常規(guī)氣體那樣在低溫時發(fā)生相變而成為液體或固體。無論溫度如何降低，理想氣體的自由度都沒法被凍結，熵不會降為零。這違反了熱力學第三定律。雖然這只是現實中不存在的模型，但愛因斯坦卻一直放心不下。
他這時已經發(fā)現，如果采用新的量子統計，理想氣體在溫度趨于零時會發(fā)生一個奇妙的相變：大量粒子將“凝聚”在一起，不再以單個的粒子存在。在絕對零度，所有的粒子都進入這樣的一個共同狀態(tài)，不再有任何個體差異。這樣，系統的熵便等于零，完全符合熱力學第三定律。
這一在經典世界中不存在對應的量子奇跡，叫做“玻色-愛因斯坦凝聚”。整整70年后的，玻色-愛因斯坦凝聚終于在1995年被新一代的物理學家所證實，再一次凸顯了愛因斯坦非凡的物理思考及其卓越遠見。
處理玻色來信之后不久，愛因斯坦又收到另一個小字輩的論文。有所不同，這一次的信來自近在咫尺的巴黎，是老朋友郎之萬請求他幫忙定奪他的一個學生剛剛完成的博士論文。郎之萬告訴說，這篇論文很有點奇怪，當初玻爾的原子模型也是很有點奇怪，他不敢輕易下結論。
在1911年第一屆索爾維會議上，與會物理學家沒有留意他們下榻的旅館里有一位19歲的法國小青年德布羅意（Louis de Broglie）。他當時只是他哥哥的小跟班。比他大17歲的哥哥在郎之萬指導下剛獲得博士學位，因導師賞識，他被邀請擔任索爾維會議書記員。德布羅意不過是跟著他哥哥來看熱鬧。
兄弟倆出生顯赫，他們家族同時擁有法國公爵（duke）和德國王爵（prince）的世襲封號，三百多年來在政界出過多名部長、外交官、將軍等，甚至還有過一位總理。德布羅意14歲時他父親去世，由兄長負責撫養(yǎng)。
德布羅意的哥哥曾經在海軍服役九年。因為負責艦船之間的無線通訊而對科學發(fā)生了興趣。他違背家族意愿退伍，去法蘭西大學攻讀博士，還在自己家里修建了一個研究X射線的實驗室。
德布羅意從小本來傾向政治文史，上大學時選修了歷史，但畢業(yè)時他卻開始厭倦歷史。他頻繁地在他哥哥的實驗室里幫忙，進而逐漸對物理產生了興趣。索爾維會議期間，每天晚上聽他哥哥眉飛色舞地描述會議內容，更令他向往科學。興趣驅使他重返大學又修習了物理專業(yè)。
當他再次畢業(yè)、按規(guī)定服兵役時，第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)了。他哥哥通過關系把他調到通訊部隊，一起駐扎在埃菲爾鐵塔下。在那里，德布羅意度過了四年時光，實踐了通過天線進行無線通信，切身體驗麥克斯韋電磁波的效用。與此同時，他鉆研了從哥哥那里得到的索爾維會議紀要。
德布羅意
及至戰(zhàn)爭結束，他已經27歲，又去拜郎之萬為師，攻讀物理博士。
受索爾維會議影響，德布羅意琢磨得最多的是他聽到的、讀到的量子問題。導師郎之萬是杰出的實驗物理學家，基本上不涉及理論研究。那時在巴黎也很難找到一個像樣的理論物理學家，他只能靠自己。
1923年，他終于有了一個新奇的想法：愛因斯坦揭示了光同時具備波和粒子的特征，那大概不會只是光的特別，應該可以擴展到其它所有的物質。如果光波可以表現得如同粒子組成，那么，由粒子組成的電子束難道就不會表現得猶如波動？
這是一個相當樸素、簡單的想法，但德布羅意的博士論文在數學上搞得相當復雜，并用了相對論等一連串“重武器”。與玻色類似，他早前在法國期刊上發(fā)表了幾篇論文，都絲毫沒有引起注意。隨后，他一起匯總寫成博士論文。郎之萬對這充滿數學公式的東西一頭霧水，只好讓德布羅意再打印一份，由他去找愛因斯坦裁決。
愛因斯坦只記得索爾維會議上的那個德布羅意，對來自他“小弟弟”的論文頗為好奇。他又一次表現出非凡耐心，花時間梳理名不見經傳的新手的亂麻邏輯，從中發(fā)現了深藏的精華。
頻率是波動的特征。普朗克提出的能量子概念首次將頻率與能量聯系起來。經愛因斯坦推廣，光量子有能量和動量，都與其頻率成正比。這是光從波“變成”粒子的途徑。作為粒子的電子沒有頻率，它的能量和動量由其質量和速度決定。德布羅意在這一點上把普朗克關系倒過來用，通過電子的能量、動量計算出它在某個速度時所對應的“頻率”。這樣一來，電子就從粒子“變成”了波。
接著，德布羅意把這個關系套用到玻爾的原子模型上，可以看到一個奇妙的圖像。當一根琴弦被兩頭固定時，它只能演奏出幾個鮮明的曲調。那是來自琴弦上所能形成的駐波。電子繞原子核運轉的軌道是一個圓周，其周長相當于琴弦的固定長度。在這個長度上能形成的駐波數目同樣固定、有限：軌道的周長必須是駐波波長的整數倍。
德布羅意把電子在軌道上運轉的速度換算成頻率和波長，赫然發(fā)現玻爾規(guī)定的那些允許軌道正好滿足這個條件。在那些軌道上，與電子相應的波首尾相連，像兩端固定的琴弦一樣形成穩(wěn)定的駐波。而軌道周長對波長的倍數正是玻爾引進的第一個量子數。
電子在軌道上形成駐波的示意圖（中間是原子核，r是軌道半徑，λ是波長）
至于在那些沒有電子的其它軌道上，則是因為電子的相應波長與軌道周長不“匹配”，電子不能在那里棲身，那里也就沒有穩(wěn)定的駐波。既然同時存在有駐波的電子軌道和無駐波的電子軌道，豈不正好對應原子光譜的精細結構。
玻爾當初是根據之前尼科爾森的建議，采取了角動量為普朗克常數整數倍的那些軌道為允許軌道，這并非是一個說得過去的理由。德布羅意把電子的運動看作波動，電子繞原子核的“公轉”就成了不隨時間變化的駐波。這是那些軌道穩(wěn)定性的第一個像樣的根據，一個源自幾何的論證。
愛因斯坦立即給郎之萬回信，“德布羅意的論文令我非常佩服。他終于揭開了一個巨大面紗的一角。”
那年11月，德布羅意做論文答辯，專家組由法國最著名的物理學家、數學家組成，但其中沒有一個人能讀懂他的論文。由于他們都得知了愛因斯坦的熱情首肯，便輕而易舉地讓他通過了博士論文答辯。
與玻色一樣，德布羅意的論文給愛因斯坦極大啟發(fā)，引導他揭示量子世界更為意想不到的奇妙。年底，他給洛倫茲寫信報告，“我們認識的那個德布羅意的小弟弟在畢業(yè)論文里針對玻爾-索末菲量子定則做了一個非常有意思的解釋。我相信這是解決我們這個最糟糕的物理謎團中第一束微薄的曙光。我自己也發(fā)現了能支持他這個設想的證據?！?
