18世紀中期，在歐洲，發(fā)源于英格蘭的“工業(yè)革命”迅速向歐洲大陸傳播，機器生產(chǎn)逐步取代手工生產(chǎn)；在亞洲，平定準噶爾汗國[乾隆]的清朝疆域達到極盛——1316萬平方公里；同時，橫跨歐亞兩洲的俄羅斯帝國與橫跨歐亞非三洲的奧斯曼帝國之間爆發(fā)“俄土戰(zhàn)爭”，俄羅斯帝國取勝。

1763年的歐洲

18世紀的數(shù)學，無論在分析還是代數(shù)上較17世紀都有了更大的發(fā)展。參與研究數(shù)學的人越來越多，數(shù)學家之間的交流也越來越方便——不用像15、16世紀一樣秘密集會、也不用像17世紀一樣主要依靠“書信”來往。

18世紀，誕生了許多像歐拉（1707～1783）、拉格朗日（1736~1813）、高斯（1777~1855）這樣頂級的數(shù)學家。

高斯（1777~1855）

18世紀，更多科學院的成立讓數(shù)學家之間的交流變得更容易。1700年，由腓特烈一世支持的“柏林科學院”成立——萊布尼茨擔任第一任院長，1724年，由彼得大帝支持的“圣彼得堡科學院”成立——早期主要成員有歐拉Euler、丹尼爾Daniel、小尼古拉Nicolaus I 等，1795年，法蘭西研究院建立——拉格朗日為首屆科學院數(shù)理委員會主席。

Euler （1707年4月15日～1783年9月18日）

18世紀，代數(shù)的符號表示已經(jīng)相當成熟（自16世紀韋達以后），三次、四次方程的求根問題（16世紀卡丹以后）也已經(jīng)解決，x^n-1=0的n個根n等分圓問題也有了一定程度上的突破。數(shù)學家們希望進一步解決一元五次方程的求根問題，范德蒙Vandermonde和拉格朗日Lagrange在這方面的工作是首要的。

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）

Lagrange在研究了多種求解三次、四次方程的方法后，發(fā)現(xiàn)一種叫做“預解式”的方法來探尋求根的“內(nèi)在統(tǒng)一性”，并希望為“五次方程”求根提供啟示。

一、預解式的引入

解三次方程

時，無論何種解法都會得到一個6次方程

，這個方程有6個解，但同時

是關于y^3的二次方程，故y^3有兩個解。具體的，

注意，y的值被分成了兩類：

Lagrange通過運算發(fā)現(xiàn)，

，同理，交換式子中的x1,x2,x3的位置可以得到其他5個y值。式子

，因為置換x,能表示出所有的y，Lagrange將其叫做“預解式”。

交換換“預解式”中x1,x2,x3的位置有3！=6種排列形式。其中，置換

交換了所有的xi,而置換

定了一個而變換其他兩個。這也是三次方程可以轉(zhuǎn)換為二次方程的緣由。

二、“預解式”解三次方程

所以，A和B是方程

的兩根。

由此解出A和B。再根據(jù)預解式方程組

三個式子相加得

同理解出x2,x3的值。

三、“預解式”解四次方程

關于四次方程，Lagrange設預解式為

，交換xi可以得到4!=24種排列方式，但是可以分成三類，即四次方程可以轉(zhuǎn)化為y的三次方程?？山狻?/p>

接下來，Lagrange決定向5次進軍，但是卻轉(zhuǎn)換成了一個6次方程。這個方法失效了。但是“Lagrange的著作依然是一切關于群論的著作的先導”（《古今數(shù)學思想》）

五次方程求根不成，數(shù)學家們便開始證明“5次方程無一般求根公式”，19世紀的阿貝爾成功做到了——在Lagrange代換群的基礎上，伽羅瓦則更進一部。這部分內(nèi)容屬于高等數(shù)學，小編能力有限，不能一一道來。關于“解方程”的歷史，我們也以Lagrange的“預解式”作為結尾。

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