1肖博數(shù)學(xué)小題專練·(三) 不等式、推理與證明
一、選擇題
1.已知 a>b，則下列不等式中恒成立的是( )
A.ln a>ln b
B.1a<1b
C.a2>ab
D.a2+b2>2ab
答案 D
解析 只有當(dāng) a>b>0 時 A 成立;只有當(dāng) a，b 同號時 B 成立;只有當(dāng) a>0 時 C 成立;因為 a≠b，所以 D 恒成立。
2.若函數(shù) f(x)=log2x，x>0，-2x+12，x≤0，則“0 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當(dāng) 0 f(x)<0，則x>0，log2x<0或x≤0，-2x+12<0，解得 0 -1
3.若 x，y 滿足約束條件x-y+1≥0，2x-y-2≤0，x+y-4≥0，則 x+2y 的最大值為( )
A.13/2
B.6
C.11
D.10
答案 C
解析 令 z=x+2y，則 y=-1/2x+z/2，由線性約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，則 zmax=11。
4.如果 ax2+bx+c>0 的解集為{x|-1 =ax2+bx+c 應(yīng)有( )
A.f(5)
B.f(-1)
C.f(-1)
D.f(2)
答案 A
解析 由題意知 a<0，且 ax2+bx+c=0 對應(yīng)的兩根分別為 x1=-1 和 x2=3，f(x)=ax2+bx+c 圖象的對稱軸為 x=1，所以 f(5) 1)
5.已知正數(shù) a，b 的等比中項是 2，且 m=b+1a，n=a+1b，則 m+n 的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3
答案 C
解析 由正數(shù) a，b 的等比中項是 2，可得 ab=4，又 m=b+1a，n=a+1b，所以 m+n=a+b+1a+1b≥2 ab+2ab=5，當(dāng)且僅當(dāng) a=b=2 時取“=”，故 m+n 的最小值為 5。
6.若關(guān)于 x 的不等式 4ax-1<3x-4(a>0，且 a≠1)對于任意的 x>2恒成立，則 a 的取值范圍為( )
A.?0，12
B.0，12
C.[2，+∞)
D.(2，+∞)
答案 B
解析 不等式 4ax-1<3x-4 等價于 ax-1<34x-1。令 f(x)=ax-1，g(x)=34x-1，當(dāng) a>1 時，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖①所示，由圖知不滿足條件;當(dāng) 0 數(shù)的圖象，如圖②所示，由題意知，f(2)≤g(2)，即 a2-1≤34×2-1，即 a≤1
2，所以 a 的取值范圍是?0，12 。
7.觀察(x2)′=2x，(x4)′=4x3，(cosx)′=-sinx，由歸納推理可得：若定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(-x)=f(x)，記 g(x)為 f(x)的 函數(shù)，則 g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
答案 D
解析 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng) f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故 g(-x)=-g(x)。故選 D。
8.設(shè) a，b 是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1。
其中能推出“a，b 中至少有一個大于 1”的條件是( )
A.②③ B.①②③
C.③ D.③④⑤
答案 C
解析 若 a=12，b=23，則 a+b>1，但 a<1，b<1，故①推不出;若 a=b=1，則 a+b=2，故②推不出;若 a=-2，b=-3，則 a2+b2>2，故④推不出;若 a=-2，b=-3，則 ab>1，故⑤推不出;對于③，即 a+b>2，則 a，b 中至少有一個大于 1，反證法：假設(shè) a≤1且 b≤1，則 a+b≤2 與 a+b>2 矛盾，因此假設(shè)不成立，所以 a，b中至少有一個大于 1。選 C。
9.(2017·廣東清遠(yuǎn)一中一模)若正數(shù) a，b 滿足：1a+1b=1，則 1a-1+9b-1的最小值為( )
A.16 B.9
C.6 D.1
答案 C
5 解析 ∵正數(shù) a，b 滿足1a+1b=1，∴a+b=ab，1a=1-1b>0，1b=1-1a>0 ， ∴ b>1 ， a>1 ， 則 1a-1+9b-1≥29(a-1)(b-1)= 29ab-(a+b)+1=6當(dāng)且僅當(dāng)a=43，b=4時等號成立 ，∴1a-1+9b-1的最小值為 6，故選 C。
10.(2017·石家莊質(zhì)量檢測(二))在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組
??
?
?
?
x+y≤0，
x-y≤0，
x2+y
2≤r2(r 為常數(shù))，表示的平面區(qū)域的面積為 π，若 x，y 滿足上述約束條件，則 z=x+y+1x+3的最小值為( )
A.-1 B.-5 2+17
C.13D.-7 5
答案 D
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由題意，知14πr2=π，解得 r=2。z=x+y+1x+3=1+y-2x+3，表示可行域內(nèi)的點與點 P(-3,2)連線的斜率加上 1，由圖知當(dāng)可行域內(nèi)的點與點 P的連線與圓相切時斜率最小。設(shè)切線方程為 y-2=k(x+3)，即 kx-y+3k+2=0，則有|3k+2|k2+1=2，解得 k=-125 或 k=0(舍去)，所以 zmin=1-125 =-75，故選 D。6
11.不等式組2x-y+1≥0，x-2y+2≤0，x+y-4≤0的解集記作 D，實數(shù) x，y 滿足如下兩個條件：①?(x，y)∈D，y≥ax;②?(x，y)∈D，x-y≤a。則實數(shù) a 的取值范圍為( )
A.[-2,1] B.[0,1]
C.[-2,3] D.[0,3]
答案 A
解析 根據(jù)約束條件，可得可行域 D 如圖中陰影部分(△ABC 及
其內(nèi)部)所示，由?x-2y+2=0，x+y-4=0，
解得?x=2，y=2，所以點 B 的坐標(biāo)為(2,2)。由?2x-y+1=0，x+y-4=0，
解得?x=1，y=3，所以點 C 的坐標(biāo)為(1,3)。因為?(x，y)∈D，y≥ax，且過原點的直線 y=ax 的斜率為 a，由圖可知，a≤kOB，所以 a≤1。由?(x，y)∈D，x-y≤a，設(shè) z=x-y，則 a≥zmin。當(dāng)目標(biāo)函數(shù) z=x-y 過點 C(1,3)時，z=x-y 取得最小值，此時 zmin=1-3=-2，所以 a≥-2。綜上可知，實數(shù) a 的取值范圍為[-2,1]，故選 A。
7
12.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解章算法》一書中的“楊輝三角形”。該數(shù)表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為( )
A.2 017×22 015
B.2 017×22 014
C.2 016×22 015
D.2 016×22 014
答案 B
解析 由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第 1 行公差為 1，第 2 行公差為 2，第 3 行公差為 22，……，第 2 015 行公差為 22 014，故第 1 行的第一個數(shù)為 2×2-1，第 2 行的第一個數(shù)為 3×20，第 3 行的第一個數(shù)為 4×21，……，第 n 行的第一個數(shù)為(n+1)×2n-2，第 2016 行只有 M，所以 M=(1+2 016)×22 014=2 017×22 014。故選 B。
二、填空題
813.(2017·北京高考)能夠說明“設(shè) a，b，c 是任意實數(shù)，若 a>b>c，則 a+b>c”是假命題的一組整數(shù) a，b，c 的值依次為________。答案 -1，-2，-3(答案不唯一)
解析 ∵a>b>c，∴a>c，b>c，則 a+b>2c?！郺+b>c 不一定正確。因為 2c 與 c 的大小關(guān)系不確定，當(dāng) c=0 時，2c=c;當(dāng) c>0 時，2c>c;當(dāng) c<0 時，2c 14.已知 x，y 滿足x≥2，x+y≤4，2x-y-m≤0，若目標(biāo)函數(shù) z=3x+y 的最大值為 10，則 z 的最小值為________。
答案 5
解析
畫出不等式組表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線 l：3x +y=0，平移 l，從而可知直線 l 在 C 處 z 取得最大值，由3x+y=10，x+y=4，
解得?x=3，y=1，
∴2×3-1-m=0，m=5。當(dāng)直線 l 平移到 B(2，-1)處時 z 取得最小值，zmin=3×2-1=5。15.(2017·長春質(zhì)量監(jiān)測(二))將 1,2,3,4…這樣的正整數(shù)按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第 10 行左數(shù)第 10 個數(shù)為________。
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答案 91
解析 由三角形數(shù)組可推斷出，第 n 行共有 2n-1 個數(shù)，且最后一個數(shù)為 n2，所以第 10 行共 19 個數(shù)，最后一個數(shù)為 100，左數(shù)第 10個數(shù)是 91。16.(2017·武漢高三調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說：“我沒有作案，是丙偷的”;丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說：“乙說的是事實”。經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是________。
答案 乙
解析 由題可知，乙、丁兩人的觀點一致，即同真同假，假設(shè)乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個結(jié)論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯。
