肖博數(shù)學(xué)小題專練 (四) 函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、選擇題
1.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是( )
A.y= 1+x
2
B.y=x+
1
x
C.y=2
x+
1
2
x D.y=x+e
x
答案 D
解析 A 選項(xiàng)定義域?yàn)?R，由于 f(-x)= 1+(-x)
2= 1+x
2=
f(x)，所以是偶函數(shù)。B 選項(xiàng)定義域?yàn)閧x|x≠0}，由于 f(-x)=-x-
1
x=
-f(x)，所以是奇函數(shù)。C 選項(xiàng)定義域?yàn)?R，由于 f(-x)=2-x+
1
2-x=
1
2
x+2
x=f(x)，所以是偶函數(shù)。D 選項(xiàng)定義域?yàn)?R，由于 f(-x)=-x
+e-x=
1
e
x-x，所以是非奇非偶函數(shù)。
2.已知函數(shù) f(x)=
?
?
?
log1
2
x，x>0，
3
x，x≤0，
則 f(f(4))的值為( )
A.-
1
9
B.-9 C.
1
9
D.9
答案 C
解析 因?yàn)?f(x)=
?
?
?
log1
2
x，x>0，
3
x，x≤0，
所以 f(f(4))=f(-2)=
1
9。
3.(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù) f(x)=lnx+ln(2-x)，則( )
A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增
B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減
C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱
D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
2
答案 C
解析 由題易知，f(x)=lnx+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2)，f(x)=
ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù) f(x)=lnx
+ln(2-x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，所以排除 A，B;又 f
?
?
?
?
?
1?
2
=ln1
2+ln?
?
?
?
?
?
2-
1
2 =ln3
4，f
?
?
?
?
?
3?
2 =ln3
2+ln?
?
?
?
?
?
2-
3
2 =ln3
4，所以 f
?
?
?
?
?
1?
2 =f
?
?
?
?
?
3?
2 =ln3
4，
所以排除 D，故選 C。
4.(2017·南陽、信陽等六市一模)已知 a，b∈(0,1)∪(1，+∞)，
當(dāng) x>0 時(shí)，1
x
x，則( )
A.0
C.1
答案 C
解析 ∵x>0 時(shí)，b
x>1，a
x>1，∴b>1，a>1。又 b
x
x?b
故選 C。
5.設(shè) f(x)是定義在 R 上周期為 3 的周期函數(shù)，如圖所示為該函
數(shù)在區(qū)間(-2,1]上的圖象，則 f(2 015)+f(2 016)=( )
A.3 B.2
C.1 D.0
答案 B
解析 因?yàn)?f(x)是定義在 R 上的周期為 3 的周期函數(shù)，所以 f(2
3
015)+f(2 016)=f(672×3-1)+f(672×3)=f(-1)+f(0)，而由圖象可
知 f(-1)=2，f(0)=0，所以 f(2 015)+f(2 016)=2+0=2。
6.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè) x，y，z 為正數(shù)，且 2
x=3
y=5
z，則( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
答案 D
解析 ∵x，y，z 為正數(shù)，∴2
x=3
y=5
z=k>1(lgk>0)?！鄕=log2k
=
lgk
lg2>0，∴2x=
lgk
lg 2
;y=log3k=
lgk
lg3>0，∴3y=
lgk
lg
3
3
;z=log5k=
lgk
lg5>0，
∴5z=
lgk
lg
5
5
。又∵
?
?
?
?
?
?
2
3
3
6=
2
3
3
2=
8
9
<1，∴ 2<
3
3?！?/p>
?
?
?
?
?
?
2
5
5
10=
2
5
5
2=
32
25>1，
∴ 2>
5
5。∴l(xiāng)g5
5
3，∴
lgk
lg
5
5
>
lgk
lg 2
>
lgk
lg
3
3
，即 5z>2x>3y。
故選 D。
7.(2017·合肥市第一次質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)=(x
2-2x)sin(x-1)+x
+1 在[-1,3]上的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m=( )
A.4 B.2
C.1 D.0
答案 A
解析 注意到 f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x+1，可令 t=x-1，
g(t)=(t
2-1)sint+t，則 y=f(x)=g(t)+2，t∈[-2,2]。顯然 M=g(t)max
+2，m=g(t)min+2。又 g(t)為奇函數(shù)，則 g(t)max+g(t)min=0，所以 M
+m=4，故選 A。
8.(2017·長望瀏寧聯(lián)考)函數(shù) f(x)=
sinx
ln(x+2)
的圖象可能是( )
4
答案 A
解析 由
?
?
?x+2>0
x+2≠1
，得 x>-2 且 x≠-1，∴f(x)的定義域?yàn)?-2，
-1)∪(-1，+∞)，可排除 B、D;當(dāng) x∈(-2，-1)時(shí)，sinx<0，ln(x
+2)<0，則 f(x)>0，可排除 C，故選 A。
9.(2017·河北八校一模)設(shè) f(x)為奇函數(shù)，且在(-∞，0)內(nèi)是減
函數(shù)，f(-2)=0，則 xf(x)<0 的解集為( )
A.(-1,0)∪(2，+∞)
B.(-∞，-2)∪(0,2)
C.(-∞，-2)∪(2，+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
答案 C
解析 ∵f(x)為奇函數(shù)，且在(-∞，0)內(nèi)是減函數(shù)，f(-2)=0，∴
f(-2)=-f(2)=0，f(x)在(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，若 xf(x)<0，則
?
?
?x>0，
f(x)<0=f(2)，
或
?
?
?x<0，
f(x)>0=f(-2)，
根據(jù)在(-∞，0)內(nèi)是減函數(shù)，
5
在(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)解得：x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，故選 C。
10.(2017·平頂山一模)已知 f(x)是定義在(0，+∞)上的函數(shù)。對(duì)任
意兩個(gè)不相等的正數(shù) x1，x2，都有x2f(x1)-x1f(x2)
x1-x2
>0，記 a=
f(3
0.2)
3
0.2 ，b
=
f(0.32
)
0.32 ，c=
f(log25)
log25 ，則( )
A.a
C.c
答案 B
解析 ∵f(x)是定義在(0，+∞)上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的
正數(shù) x1，x2，都有
x2f(x1)-x1f(x2)
x1-x2
>0，∴函數(shù)f(x)
x 是(0，+∞)上的增函
數(shù)，∵1<30.2< 3<2，0<0.32<1，log25>2，∴0.32<30.2
故選 B。
11.(2017·成都二診)已知函數(shù) f(x)=a
x
(a>0，a≠1)的反函數(shù)的圖
象經(jīng)過點(diǎn)?
?
?
?
?
2 ?
2 ，
1
2
，若函數(shù) g(x)的定義域?yàn)?R，當(dāng) x∈[-2,2]時(shí)，有 g(x)
=f(x)，且函數(shù) g(x+2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.g(π)
B.g(π)
C.g( 2)
D.g( 2)
答案 C
解析 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)?
?
?
?
?
2 ?
2 ，
1
2
，所以函數(shù) f(x)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)?
?
?
?
?
1 ?
2，
2
2
，所以 a
1
2 =
2
2 ?a=
1
2，函數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)
遞減。函數(shù) g(x+2)為偶函數(shù)，所以函數(shù) g(x)的圖象關(guān)于直線 x=2 對(duì)
6
稱，又 x∈[-2,2]時(shí)，g(x)=f(x)且 g(x)單調(diào)遞減，所以 x∈[2,6]時(shí)，g(x)
單調(diào)遞增，根據(jù)對(duì)稱性，可知距離對(duì)稱軸 x=2 越遠(yuǎn)的自變量，對(duì)應(yīng)
的函數(shù)值越大，所以 g( 2)
12.已知函數(shù) f(x)滿足：①定義域?yàn)?R;②?x∈R，都有 f(x+2)
=f(x);③當(dāng) x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=-|x|+1。則方程 f(x)=
1
2
log2|x|在區(qū)
間[-3,5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
答案 A
解析
由題意知 f(x)是周期為 2 的函數(shù)，作出 y=f(x)，y=
1
2
log2|x|的圖象
如圖所示，由圖象可得所求解的個(gè)數(shù)為 5。
二、填空題
13.(2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x
∈(-∞，0)時(shí)，f(x)=2x
3+x
2，則 f(2)=________。
答案 12
解析 依題意得，f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12，由函數(shù) f(x)
是奇函數(shù)，得 f(2)=-f(-2)=12。
14.已知 y=f(x)是定義在(-2,2)上的增函數(shù)，若 f(m-1)
2m)，則 m 的取值范圍是________。
7
答案 ?
?
?
?
?
? -
1
2，
2
3
解析 依題意，原不等式等價(jià)于
??
?
?
?
-2
-2<1-2m<2，
m-1<1-2m
?
?
?
?
?
?
-1
-
1
2
3
2，
m<
2
3
?-
1
2
2
3。
15.(2017·山東高考)已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(x+
4)=f(x-2)。若當(dāng) x∈[-3,0]時(shí)，f(x)=6
-x，則 f(919)=________。
答案 6
解析 ∵f(x+4)=f(x-2)，∴f(x)的周期為 6，∵919=153×6+1，
∴f(919)=f(1)。又 f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)=f(1)=f(-1)=6。
16.(2017·江蘇高考)已知函數(shù) f(x)=x
3-2x+e
x-
1
e
x，其中 e 是自
然對(duì)數(shù)的底數(shù)。若 f(a-1)+f(2a
2
)≤0，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是
________。
答案 ?
?
?
?
?
? -1，
1
2
解析 首先，函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，其次，由 f(x)=x
3-2x+e
x
-
1
e
x得 f(-x)=-x
3+2x+
1
e
x-e
x=-f(x)，所以 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，
且 f′(x)=3x
2-2+e
x+
1
e
x≥3x
2-2+2 e
x·
1
e
x=3x
2≥0，當(dāng)且僅當(dāng) x=
0 時(shí)取等號(hào)，則 f(x)單調(diào)遞增，則不等式 f(a-1)+f(2a
2
)≤0?f(a-1)≤
8
-f(2a
2
)=f(-2a
2
)?a-1≤-2a
2，解得-1≤a≤
1
2，故實(shí)數(shù) a 的取值
范圍是?
?
?
?
?
? -1，
1
2 。
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