肖博數(shù)學(xué)小題專練·(八) 三角恒等變換、解三角形
一、選擇題
1.(2017·廣州一模)已知 tanθ=2，且 θ∈?
?
?
?
?
?
0，
π
2 ，則 cos2θ=( )
A.
4
5
B.
3
5
C.-
3
5
D.-
4
5
答案 C
解析 cos2θ=cos2θ-sin2θ=
cos2θ-sin2θ
cos2θ+sin2θ
=
1-tan2θ
1+tan2θ
，將 tanθ=2
代入可得 cos2θ=-
3
5，故選 C。
2.(2017·南寧一模)已知角 θ 的終邊過(guò)點(diǎn)?
?
?
?
?
?
2sin2
π
8-1，a ，若 sinθ
=2 3sin13π
12 cos
π
12，則實(shí)數(shù) a 等于( )
A.- 6 B.-
6
2
C.± 6 D.±
6
2
答案 B
解析 因?yàn)?2sin2
π
8-1=-cos
π
4=-
2
2 ，所以 sinθ=
a
1
2+a
2
=-
2 3sin π
12cos
π
12=-
3
2 ，且 a<0，解得 a=-
6
2 。故選 B。
3.若 cos?
?
?
?
?
π ?
2-α =
2
3 ，則 cos(π-2α)=( )
A.
5
9
B.-
5
9
2
C.
2
9
D.-
2
9
答案 B
解析 由題設(shè)可得 sinα=
2
3 ，所以 cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α
-1=2×?
?
?
?
?
2?
3
2-1=-
5
9，故選 B。
4.(2017·唐山一模)已知 α 為銳角，且 cos?
?
?
?
?
?
α+
π
4 =
3
5，則 cos2α=
( )
A.
24
25 B.
7
25
C.-
24
25 D.±
24
25
答案 A
解析 ∵α 為銳角，∴
π
4
<α+
π
4
<
3π
4 。又∵cos?
?
?
?
?
?
α+
π
4 =
3
5，∴sin?
?
?
?
?
?
α+
π
4 =
4
5?！郼os2α=sin?
?
?
?
?
?
2α+
π
2 =2sin?
?
?
?
?
?
α+
π
4
cos?
?
?
?
?
?
α+
π
4 =
24
25，故選 A。
5.(2017·深圳一模)△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，
c，已知 cosC=
1
4，a=1，c=2，則△ABC 的面積為( )
A.
15
4
B.
15
8
C.
1
4
D.
1
8
答案 A
解析 由余弦定理，知 c
2=a
2+b
2-2abcosC，代入 cosC=
1
4，a
=1，c=2，解得 b=2，又由 cosC=
1
4，解得 sinC=
15
4 ，所以 S△ABC
=
1
2
a·b·sinC=
15
4 ，故選 A。
3
6.(2017·衡陽(yáng)模擬)在△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，
b，c，且 b(2sinB+sinA)+(2a+b)sinA=2csinC，則 C=( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
答案 C
解析 ∵b(2sinB+sinA)+(2a+b)sinA=2csinC，∴由正弦定理可
得 b(2b+a)+(2a+b)a=2c
2，整理可得 b
2+a
2-c
2=-ab，∴由余弦
定理可得 cosC=
a
2+b
2-c
2
2ab =
-ab
2ab =-
1
2。∵C∈(0，π)，∴C=
2π
3 ，故
選 C。
7.(2017·長(zhǎng)沙模擬)△ABC 中，C=
2π
3 ，AB=3，則△ABC 的周
長(zhǎng)為( )
A.6sin?
?
?
?
?
?
A+
π
3 +3
B.6sin?
?
?
?
?
?
A+
π
6 +3
C.2 3sin?
?
?
?
?
?
A+
π
3 +3
D.2 3sin?
?
?
?
?
?
A+
π
6 +3
答案 C
解析 設(shè)△ABC 的外接圓半徑為 R，則 2R=
3
sin
2π
3
=2 3，于是
BC=2RsinA=2 3sinA，AC=2RsinB=2 3sin?
?
?
?
?
π ?
3-A ，于是△ABC 的
周長(zhǎng)為 2 3
?
?
?
?
?
?
sinA+sin
?
?
?
?
?
π ?
3-A +3=2 3sin?
?
?
?
?
?
A+
π
3 +3。故選 C。
8.如圖，已知 D 為 Rt△ABC 的斜邊 AC 上一點(diǎn)，DE⊥AB 于點(diǎn)
4
E，若 AE=6，BC=4，則△ABD 的面積為( )
A.6 B.12
C.18 D.24
答案 B
解析 由題意，知在 Rt△ADE 中，AD=
AE
cosA=
6
cosA。在 Rt△ABC
中，AB=
BC
tanA=
4cosA
sinA ，則 S△ABD=
1
2
AD·ABsinA=
1
2
·
6
cosA
·
4cosA
sinA
·sinA=
12，故選 B。
9.在△ABC 中，三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，
若 S△ABC=2 3，a+b=6，
acosB+bcosA
c =2cosC，則 c 等于( )
A.2 7 B.4
C.2 3 D.3 3
答案 C
解析 因?yàn)?/p>
acosB+bcosA
c =2cosC，由正弦定理，得 sinAcosB+
cosAsinB=2sinCcosC，所以 sin(A+B)=sinC=2sinCcosC，由于
0
1
2，所以 C=
π
3，因?yàn)?S△ABC=2 3=
1
2
absinC
=
3
4
ab，所以 ab=8，又 a+b=6，所以?
?
?a=2，
b=4
或
?
?
?a=4，
b=2，
c
2=
a
2+b
2-2abcosC=4+16-8=12，所以 c=2 3。故選 C。
5
10.如圖，在△ABC 中，C=
π
3，BC=4，點(diǎn) D 在邊 AC 上，AD
=DB，DE⊥AB，E 為垂足，若 DE=2 2，則 cosA 等于( )
A.
2 2
3
B.
2
4
C.
6
4
D.
6
3
答案 C
解析 在△ABC 中，因?yàn)?DE⊥AB，DE=2 2，所以 AD=
2 2
sinA，
所以 BD=AD=
2 2
sinA，所以 A=∠ABD，所以∠BDC=A+∠ABD=2A，
在△BCD 中，由正弦定理得 BD
sinC=
BC
sin∠BDC
，即
2 2
sinA
3
2
=
4
sin2A，整理得
cosA=
6
4 。故選 C。
11.在△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 b=1，
a=2c，則 sinC 的最大值為( )
A.
1
5
B.
1
2
C.
1
3
D.
1
4
答案 B
6
解析 由余弦定理可得 cosC=
a
2+1-c
2
2×1×a
=
3c
2+1
4c
≥
2 3c
4c =
3
2 ，
當(dāng)且僅當(dāng) c=
3
3 時(shí)取等號(hào)。所以 C 的最大值為π
6，所以 sinC 的最大值
為
1
2。故選 B。
12.(2017·洛陽(yáng)二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，
b，c，且cosB
b =-
3cosC
c ，則角 A 的最大值為( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
答案 A
解析 由正弦定理得cosB
sinB=-
3cosC
sinC ，所以 tanC=-3tanB。所以
B，C 中有一鈍角，所以角 A 必為銳角。所以 tanA=-tan(B+C)=-
tanB+tanC
1-tanBtanC
=
2tanB
1+3tan2B
>0。所以 tanB>0，tanA≤
2tanB
2 3tanB
=
3
3 ?
0
π
6，即角 A 的最大值為π
6，故選 A。
二、填空題
13.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知 α∈?
?
?
?
?
?
0，
π
2 ，tanα=2，則 cos?
?
?
?
?
?
α-
π
4 =
________。
答案 3 10
10
解析 ∵α∈?
?
?
?
?
?
0，
π
2 ，tanα=2，∴sinα=
2 5
5 ，cosα=
5
5 ，∴cos?
?
?
?
?
?
α-
π
4
=cosαcos
π
4+sinαsinπ
4=
2
2 ×?
?
?
?
?
2 5 ?
5 +
5
5
=
3 10
10 。
7
14.(2017·湖北七市一模)已知△ABC 中，角 A，B，C 對(duì)邊分別
為 a，b，c，C=120°，a=2b，則 tanA=________。
答案 3
2
解析 由正弦定理可得 sinA=2sinB，因?yàn)?B=180°-A-120°=
60°-A，所以 sinA=2sin(60°-A)，即 sinA= 3cosA-sinA，所以 2sinA
= 3cosA，故 tanA=
3
2 。
15.(2017·梅州一模)在△ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為
a，b，c，若a
2-b
2= 3bc，且sinC=2 3sinB，則角A的大小為_(kāi)_______。
答案 π
6
解析 由正弦定理及 sinC=2 3sinB，得 c=2 3b，又 a
2-b
2= 3
bc，所以 a
2=b
2+6b
2，即 a
2=7b
2，由余弦定理可得 cosA=
b
2+c
2-a
2
2bc
=
13b
2-7b
2
4 3b
2 =
3
2 ，則 A=
π
6。
16.(2017·安陽(yáng)二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，
b，c，且(2a+2c-b)cosC=(a+c)cosB+bcosA，若 c=3，則 a+b 的
最大值為_(kāi)_______。
答案 6
解析 由正弦定理可得 2sinAcosC+2sinCcosC-sinBcosC=
sinAcosB+sinCcosB+sinBcosA，∴2sinAcosC+2sinCcosC=sin(B+C)
+sin(A+B)，∴2(sinA+sinC)cosC=sinA+sinC，由此可得 cosC=
1
2，
故由余弦定理可得 9=a
2+b
2-ab，即(a+b)
2=9+3ab，又 ab≤
1
4
(a
+b)
2，所以1
4
(a+b)
2≤9?a+b≤6，故 a+b 的最大值是 6。
8
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