羅素 西方哲學(xué)史
在數(shù)學(xué)中，幾何學(xué)有著非常重要的地位，因?yàn)閹缀螌W(xué)的建立使得數(shù)學(xué)從經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為理性，從特殊上升為一般，從而成為一門科學(xué)。而幾何學(xué)創(chuàng)立于古希臘也是有其歷史的必然性，一方面，正如我們?cè)?jīng)談到的，在地中海地區(qū)積累了大量的關(guān)于幾何學(xué)的經(jīng)驗(yàn)；另一方面，這個(gè)開創(chuàng)性的工作不能單純依賴數(shù)學(xué)家的工作，在很大程度上也依賴于哲學(xué)家的工作，因?yàn)榫退枷牖A(chǔ)而言，數(shù)學(xué)與哲學(xué)是不可分割的，特別是在最初創(chuàng)立的階段，就像現(xiàn)代許多哲學(xué)家認(rèn)為的那樣。
我們從柏拉圖那里已經(jīng)感悟到了幾何學(xué)的概貌，柏拉圖的學(xué)生亞里士多德則把問題談得更為具體，更為深刻。關(guān)于亞里士多德，我們?cè)谶@里引用兩位哲學(xué)史家的評(píng)論。羅素在他的《西方哲學(xué)史》中說：
“他生在希臘思想創(chuàng)造的末葉；而他死后一直過了兩千年，世界才又產(chǎn)生出大體能與他相匹敵的哲學(xué)及”
杜蘭特 哲學(xué)的故事
以撰寫《哲學(xué)的故事》而聞名的杜蘭特在他的那本書中寫道：
“在集知識(shí)與理論之大成方面，直到斯賓塞時(shí)代，還沒有人能與亞里士多德相提并論。即使在斯賓塞時(shí)代，也沒有誰的建樹能和他的一半相媲美。......如果哲學(xué)就是對(duì)同一性的追求，那么亞里士多德對(duì)于20世紀(jì)給予他的崇高稱號(hào)，即千古第一哲人，是當(dāng)之無愧的”
亞力士多德對(duì)后世影響之大，以至于今天我們研究任何一門科學(xué)時(shí)，都可能要用到他所創(chuàng)造德詞匯，比如官能，準(zhǔn)則，動(dòng)機(jī)，目的，原則，形式，范疇，分類，能量，潛能，中庸，三段論，現(xiàn)實(shí)性等等。但是，對(duì)于數(shù)學(xué)產(chǎn)生巨大影響的是他的三段論以及所創(chuàng)立的一門贊新的學(xué)科，即邏輯學(xué)。
邏輯學(xué)是一門研究如何正確思維的科學(xué)和藝術(shù)。數(shù)學(xué)的核心工作是計(jì)算和推理，而計(jì)算法則的確立和推理方法的嚴(yán)謹(jǐn)都依賴思維的正確，因此，從數(shù)學(xué)逐漸形成為科學(xué)的那個(gè)時(shí)候開始，邏輯就滲透，支撐著數(shù)學(xué)的發(fā)展。邏輯學(xué)的本質(zhì)告訴我們，在討論或者研究問題的時(shí)候，每一個(gè)術(shù)語和概念的使用，每一步計(jì)算和推理的進(jìn)展，都必須經(jīng)得起最嚴(yán)格的檢驗(yàn)。
數(shù)學(xué)要成為科學(xué)，第一個(gè)不可逾越的難關(guān)就是如何理解概念。我們?cè)?jīng)談到，關(guān)于“數(shù)學(xué)是研究抽象了的東西”這個(gè)命題從古至今無人質(zhì)疑，但是這個(gè)抽象了的東西是如何存在的，卻始終是爭論的焦點(diǎn)。很顯然，這個(gè)“抽象了的東西”就是指數(shù)學(xué)中所涉及的最基本的概念。因此，就數(shù)學(xué)而言，這個(gè)爭論的焦點(diǎn)是“數(shù)學(xué)概念是如何存在的”。這個(gè)爭論從一開始就形成了所謂的“唯實(shí)論”和“唯名論”兩派，一直延續(xù)至今。我們將會(huì)看到，這個(gè)爭論的內(nèi)容和形式與中國古代的名實(shí)之爭是有很大區(qū)別的。
柏拉圖認(rèn)為，一般概念是具有客觀存在性的，因此他認(rèn)為，幾何學(xué)的任務(wù)就是去發(fā)現(xiàn)客觀世界中已經(jīng)存在了的概念，從而掌握建立在概念基礎(chǔ)上的知識(shí)，這便是“唯實(shí)論”的實(shí)質(zhì)。關(guān)于數(shù)學(xué)，柏拉圖堅(jiān)持認(rèn)為，人們只有通過思想認(rèn)識(shí)了理想世界中的數(shù)學(xué)知識(shí)才有可能真正理解現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)知識(shí)。關(guān)于這一點(diǎn)，17世紀(jì)的荷蘭哲學(xué)家斯賓諾莎（1632-1677）說得更為明確，他認(rèn)為，有一個(gè)為感官所感知得現(xiàn)實(shí)世界，也有一個(gè)為思想所推斷得理想世界，進(jìn)而支持柏拉圖得想法。20世紀(jì)得哲學(xué)家，數(shù)理邏輯學(xué)家羅素也支持柏拉圖得想法，他把問題闡述得更加直白，他在《西方哲學(xué)史》中說：
“我應(yīng)當(dāng)同意柏拉圖得說法，即算學(xué)以及一般的純數(shù)學(xué)并不是從知覺得來的。......因此，數(shù)學(xué)的真理，正像柏拉圖所說，乃是與知覺無關(guān)的；它是非常奇特的一種真理，并且僅只涉及符號(hào)”
作為學(xué)生，亞里士多德在柏拉圖那里學(xué)到了很多東西，但關(guān)于概念等基本命題，他不同意老師的觀點(diǎn)，他有一句名言：“吾愛吾師，吾更愛真理”。亞里士多德認(rèn)為，能夠適用于一類物體中的所有成員的名稱都是一般概念，這些一般概念是人從感性的經(jīng)驗(yàn)中通過直觀和抽象獲得的，只存在于我們的主觀意識(shí)之中，而不是看得見摸得著的客觀存在，他們是“名”而不是“實(shí)”。
雖然“唯實(shí)論”和“唯名論”之爭曠日持久延續(xù)至今，但是我想，數(shù)學(xué)的發(fā)展驗(yàn)證了亞里士多德的思考。正如《數(shù)的表示》中談到的那樣，人們從現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的數(shù)量中抽象出“二”這個(gè)概念，并用符號(hào)“2”來表示，因此，這個(gè)抽象是依賴于人的知覺的，也是依賴于人的思維的。但是，被抽象出來的一般概念在現(xiàn)實(shí)世界中并不存在，在現(xiàn)實(shí)世界中只存在具體的二粒米，二匹馬，二條魚等等，事實(shí)上，也只有完成了這種擺脫了具體內(nèi)容的抽象，數(shù)學(xué)才可能得到發(fā)展。
柏拉圖 理想國
但是，對(duì)幾何學(xué)所需要的數(shù)學(xué)概念的抽象比代數(shù)學(xué)更為困難。許多人可能會(huì)認(rèn)為，幾何學(xué)概念的基礎(chǔ)是圖形，而圖形比數(shù)量更為直觀，因此是容易抽象的。事實(shí)上，越是直觀的事物，越是與我們的日常生活聯(lián)系密切的事物就越難抽象。人們?cè)诤茉缇屯瓿闪藢?duì)自然數(shù)的抽象，使得自然數(shù)拜托了具體內(nèi)容的束縛，可是，圖形應(yīng)當(dāng)如何擺脫具體的內(nèi)容呢？柏拉圖在《理想國》中，再次借用蘇格拉底之口談到：
“你也知道，雖然他們利用各種可見的圖形討論它們，但是，處于他們思考中的實(shí)際并不是這些圖形，而是圖形所摹仿的那些東西。他們討論的并不是他們所畫的某個(gè)特殊的正方形或某個(gè)特殊的對(duì)角線等等，而是正方形本身，對(duì)角線本身。他們所畫的圖形乃是實(shí)物，有其水中的影子或影像。但是，現(xiàn)在他們又把這些東西當(dāng)作影像，而他們實(shí)際要求看到的則是只有用思想才能“看到”的那些實(shí)在”
我想，柏拉圖大概是在說，雖然學(xué)者們討論幾何學(xué)時(shí)要畫圖形，但是，他們討論的并不是這些具體的圖形，他們討論的是一般意義上的圖形。柏拉圖認(rèn)為一般意義上的圖形才是真正存在的，這種存在只能通過思想才能看到，而通過肉眼看到的圖形只不過是一般意義上存在的圖形的影子。柏拉圖的論述充滿了神秘色彩，但是，我們能夠理解柏拉圖的心情，他希望能夠得到圖形的脫離了具體內(nèi)容的一般概念，但是他既說不清楚應(yīng)當(dāng)如何抽象才能得到一般概念，也說不清楚經(jīng)過抽象得到的一般概念應(yīng)當(dāng)是什么。柏拉圖思考的問題過于深刻，而他又過于急切地希望得到問題的答案，因此不得不利用神秘色彩來進(jìn)行掩飾。事實(shí)上，他提出的問題直到19世紀(jì)的末葉才得到解決。還是讓我們?cè)诤罄m(xù)中循序漸進(jìn)地來闡述這個(gè)問題。
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