1915年，愛因斯坦剛剛發(fā)表了廣義相對(duì)論，這是一個(gè)全新的引力理論，它將引力與彎曲的時(shí)空聯(lián)系在一起。當(dāng)時(shí)，在德國(guó)哥廷根的兩位數(shù)學(xué)巨人——希爾伯特（David Hilbert，在1900年提出的23個(gè)數(shù)學(xué)大問題推動(dòng)了整個(gè)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展）和克萊因（Felix Klein，知名于克萊因瓶）都醉心于研究這個(gè)新的理論。
然而，當(dāng)他們?cè)噲D用廣義相對(duì)論的框架寫下一個(gè)能量守恒的方程時(shí)，卻遇到了一個(gè)無謂的重復(fù)，就好比寫下方程“x - x = 0”一樣，雖然是對(duì)的，但卻沒有任何物理意義。
他們被這個(gè)問題難住了，因此希爾伯特和克萊因邀請(qǐng)了艾米·諾特（Emmy Noether）到哥廷根幫助他們破解謎題。諾特欣然接受了挑戰(zhàn)，并很快就證明了一個(gè)定理，使能量守恒問題迎刃而解。在這個(gè)過程中，她還發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)定理，最終產(chǎn)生了更深遠(yuǎn)的影響，那就是諾特定理。
□ 1918年，艾米·諾特發(fā)表了論文 Invariante Variationsprobleme，證明了兩個(gè)對(duì)物理學(xué)非常重要的定理。第一個(gè)定理常被稱為“諾特定理”，第二個(gè)定理也常被物理學(xué)家使用，特別是在廣義相對(duì)論的背景下。| 圖片來源：Wikipedia
誰是諾特？
難以想象的是，被世界上最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家邀請(qǐng)來解決愛因斯坦新理論所遇到的難題的諾特，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域都還沒有一份實(shí)實(shí)在在的工作，也幾乎沒有接受過什么物理領(lǐng)域的教育。但她發(fā)表過一些重要的論文，使希爾伯特判斷只有她具有足夠的專業(yè)知識(shí)和洞見能夠解決廣義相對(duì)論的問題。
1882年，諾特出生于德國(guó)的埃爾朗根，她的父親是數(shù)學(xué)家馬克斯·諾特（Max Noether）。她希望追隨父親的腳步，但不幸的是，在她上大學(xué)的年紀(jì)，德國(guó)大學(xué)并不招收女學(xué)生，所以她只能在教授的允許下旁聽。不過最終，她在期末考試中取得了非常優(yōu)異的成績(jī)，而獲得了學(xué)士學(xué)位。
1904年，她獲準(zhǔn)在埃爾朗根大學(xué)攻讀博士學(xué)位。她用了三年的時(shí)間獲得了博士學(xué)位，然后在那里持續(xù)了近8年的沒有薪水、沒有正式職位的工作。她只能依靠家人的經(jīng)濟(jì)支持度日，偶爾會(huì)頂替父親當(dāng)代課老師。即使是在那趟哥廷根之旅后，她還是繼續(xù)做著沒有薪水的講師工作。
在多年的“志愿”性質(zhì)的工作之后，諾特終于在1922年成為哥廷根大學(xué)的一名非終身數(shù)學(xué)副教授，并在一年后開始領(lǐng)到一份微薄的薪水。1933年，她失去了這份工作，因?yàn)樗推渌q太人被納粹德國(guó)驅(qū)逐出了學(xué)術(shù)界。不久之后，她前往美國(guó)，并在愛因斯坦的幫助下在賓夕法尼亞州的布林茅爾學(xué)院找到了一份工作。然而，僅在18個(gè)月后便傳來了噩耗，她因卵巢囊腫的手術(shù)并發(fā)癥而去世。
諾特對(duì)代數(shù)和物理學(xué)都產(chǎn)生了非凡的影響。在數(shù)學(xué)眼中，她是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，她看待數(shù)學(xué)的獨(dú)特視角影響了許多人；在物理學(xué)家眼中，她提出的定理是現(xiàn)代物理學(xué)的指路明燈。愛因斯坦曾說過：“她是從女性接受高等教育后出現(xiàn)的最富創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才。”
在她53年的生命里，她用了大量的時(shí)間與阻礙她學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體制抗?fàn)帯Ｈ绻鐣?huì)和命運(yùn)能對(duì)一位這樣的人更仁慈些，我們很難想象她還能做出多么偉大的成就。然而，她短暫的一生所作出的研究成果已足以確保她在科學(xué)殿堂中的崇高地位。
諾特定理
基本上，諾特定理說的是自然界中的每一種“連續(xù)”對(duì)稱都有相應(yīng)的守恒定律，反之亦然。
這里的對(duì)稱是指能讓一個(gè)物體或系統(tǒng)維持不變的操作。將正方形旋轉(zhuǎn)90度，正方形看起來沒有變化，這是一個(gè)“離散”對(duì)稱的例子。而圓則具有連續(xù)的對(duì)稱性，因?yàn)闊o論對(duì)它旋轉(zhuǎn)任何角度，都不會(huì)改變它的外觀。這就是諾特定理所適用的對(duì)稱性。與此同時(shí)，守恒定律指的是一個(gè)物理量會(huì)維持不變，不會(huì)隨時(shí)間的流逝而變化。例如，能量不能被創(chuàng)造也不能被毀滅，它總是守恒的。
在諾特之前，對(duì)稱性與守恒量一直是兩個(gè)被單獨(dú)對(duì)待的概念。諾特定理為尋找給定的守恒定律的對(duì)稱性提供了一個(gè)明確的數(shù)學(xué)公式，反過來，也可以從對(duì)應(yīng)的對(duì)稱性中找到守恒定律。
讓我們來看看這個(gè)定理的作用：想象一個(gè)冰球在一片完全光滑、無摩擦且無限大的冰面上滑行，再假設(shè)沒有任何外力作用在這顆冰球上。在這樣理想的條件下，冰球會(huì)一直以恒定的速度沿直線滑。它的動(dòng)量（等于質(zhì)量×速度）是恒定的。唯一能使冰球改變路線，或者讓它加速、減速的是空間本身發(fā)生變化——在這個(gè)情景下是冰面發(fā)生變化。然而如果冰面仍保持光滑，空間也維持不變，則一切都不會(huì)改變。
諾特定理表明，冰球的動(dòng)量守恒與空間的平移對(duì)稱性有關(guān)，換句話說，物理不受均勻空間內(nèi)的線性運(yùn)動(dòng)（或平移）影響。冰球在光滑的冰面上的任何位置都以同樣的方式運(yùn)動(dòng)。
□ 在牛頓擺中，當(dāng)一個(gè)球擊中另一個(gè)時(shí)，另一端的球會(huì)向外飛，以保持動(dòng)量的守恒。為什么？這是因?yàn)榭臻g的對(duì)稱性。
同樣，諾特定理表明旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（或者說旋轉(zhuǎn)不變性）會(huì)導(dǎo)致角動(dòng)量守恒（角動(dòng)量測(cè)量的是物體旋轉(zhuǎn)的程度）。換句話說，物理學(xué)沒有偏愛的方向。你在一張桌子上做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，然后把桌子旋轉(zhuǎn)45度或任意角度再做實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是一樣的。
□ 根據(jù)角動(dòng)量守恒，當(dāng)一位溜冰者把她的手臂收起時(shí)，她的旋轉(zhuǎn)速度會(huì)加快，而這是因?yàn)?span>旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。
諾特定理還將“時(shí)間平移”的對(duì)稱性與能量守恒聯(lián)系起來，所以物理學(xué)也不關(guān)心你是在今天、下周三還是別的什么時(shí)候進(jìn)行一個(gè)實(shí)驗(yàn)。
□ 火箭發(fā)射將燃料中的化學(xué)能轉(zhuǎn)換為動(dòng)能和勢(shì)能。由于時(shí)間對(duì)稱，總能量保持不變。
在諾特定理出現(xiàn)之前，物理學(xué)家早就熟知?jiǎng)恿渴睾?、角?dòng)量守恒和能量守恒，這些都是經(jīng)典力學(xué)的基本原理。但他們不知道的是，這些神圣的法則有一個(gè)共同的根源，它們都與特定的對(duì)稱性有關(guān)。諾特定理將看似不相關(guān)的概念，簡(jiǎn)單而優(yōu)雅地聯(lián)系在一起：它揭示了守恒定律與自然界對(duì)稱性之間的密切聯(lián)系。從亞原子粒子到黑洞，我們現(xiàn)在對(duì)物理世界的理解，很大程度上依賴于這個(gè)定理。
追求統(tǒng)一
諾特定理不僅適用于時(shí)間或空間的旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)這些直觀的對(duì)稱性，而且還適用于更加抽象的對(duì)稱性。例如，在電磁學(xué)理論中的一個(gè)核心原則——電荷守恒，就源于與粒子自旋相關(guān)的對(duì)稱性。再比如，一種能讓電子代替中微子、中微子代替電子的名為同位旋的對(duì)稱性，幫助物理學(xué)家在20世紀(jì)60年代發(fā)展出了能將電磁力和弱力統(tǒng)一為電弱力的理論。這里的守恒量是“超荷”，它是一種與電弱力有關(guān)的荷，類似電荷之于電磁力。之后，物理學(xué)家為使原子核中的質(zhì)子和中子結(jié)合在一起的強(qiáng)核力設(shè)計(jì)了一個(gè)理論，這種力的核心是所謂的色對(duì)稱，這里的“色”指的是構(gòu)成了質(zhì)子和中子的夸克的一種屬性。
在20世紀(jì)70年代，物理學(xué)家把所有已知的粒子（包括一些當(dāng)時(shí)尚未被證實(shí)存在的粒子，如希格斯玻色子）和控制它們相互作用的力（電磁力、弱力、強(qiáng)力）放進(jìn)一個(gè)單一理論框架——標(biāo)準(zhǔn)模型中。
這是一個(gè)非常成功的模型，而諾特定理是構(gòu)建這個(gè)模型的最基本工具。在量子力學(xué)中，物理學(xué)家識(shí)別出兩個(gè)或三個(gè)被同一種對(duì)稱性束縛的粒子，然后判斷由此推斷出的守恒定律是否成立。這樣就可以了解它是否是自然界的一種真實(shí)對(duì)稱性，標(biāo)準(zhǔn)模型就是通過這樣一個(gè)逐步累積的過程建立起來的。
超級(jí)遺產(chǎn)
標(biāo)準(zhǔn)模型極其成功，它所預(yù)言的所有基本粒子都已經(jīng)被找到，最后一個(gè)被找到的是希格斯玻色子（2012年）。盡管如此，它并不完美，還有一些問題是它無法解釋的，比如暗物質(zhì)、等級(jí)問題等等（詳見《物理學(xué)上空飄著多少朵烏云》）。因此，物理學(xué)家仍在尋找新粒子以及更深、更廣的對(duì)稱性，在此過程中，諾特定理繼續(xù)發(fā)揮著關(guān)鍵作用。
這幾十年來，物理學(xué)家的一大目標(biāo)是尋找超對(duì)稱的跡象。在標(biāo)準(zhǔn)模型中，粒子分為費(fèi)米子（比如電子和夸克）和玻色子（負(fù)責(zé)傳遞基本力的規(guī)范玻色子和希格斯玻色子）。超對(duì)稱理論假定，在費(fèi)米子和玻色子之間存在著隱藏的對(duì)稱性。如果超對(duì)稱性正確，那么每一個(gè)已知的費(fèi)米子都有一個(gè)尚未被觀測(cè)到的玻色子“超伴侶”，同樣，每一個(gè)已知的玻色子都有一個(gè)尚未被觀測(cè)到的費(fèi)米子“超伴侶”。
一種與這種假設(shè)的對(duì)稱相關(guān)的可能性是所謂的R宇稱守恒，它指的是最輕的超對(duì)稱粒子必須是穩(wěn)定的，并且永遠(yuǎn)不會(huì)衰變。如果R宇稱確實(shí)守恒，那么每個(gè)普通粒子的不可見超對(duì)稱伴侶最終都會(huì)衰變?yōu)樽钶p的超對(duì)稱粒子，并永遠(yuǎn)存在。無論這種粒子是什么，都將是大量存在的，因此這也可能是暗物質(zhì)的一個(gè)優(yōu)秀候選。
這些年來，物理學(xué)家們一直希望大型的粒子加速器能夠找到這種假想中的超對(duì)稱粒子，只可惜一直沒有發(fā)現(xiàn)它們的蹤跡。
照亮黑洞
諾特定理不僅對(duì)尋找新的粒子至關(guān)重要，它能延伸擴(kuò)展到物理學(xué)的所有分支。這邊舉一個(gè)與黑洞有關(guān)的例子。
在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，物理學(xué)家都認(rèn)為任何東西一旦落入黑洞的控制范圍內(nèi)，就不可能有機(jī)會(huì)逃出。但霍金卻在1974年發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上黑洞具有溫度，并且可以產(chǎn)生輻射。而這也引發(fā)了一個(gè)非常棘手的問題，黑洞輻射意味著它最終會(huì)蒸發(fā)殆盡，這就有可能摧毀黑洞中曾經(jīng)包含的有關(guān)它如何形成、如何隨時(shí)間演化的所有信息?；艚鹪O(shè)想的這種信息的永久性喪失令理論學(xué)家們感到不安，霍金本人也是其中之一，因?yàn)樗`反了一條量子物理學(xué)珍視的定律——信息，就像能量一樣，總是守恒的。這個(gè)難題被稱為黑洞信息悖論，是許多理論物理學(xué)家絞盡腦汁想要解決的問題。
幾年前，哈佛大學(xué)物理學(xué)斯特魯明格（Andrew Strominger）發(fā)現(xiàn)了無數(shù)與軟粒子有關(guān)的對(duì)稱性。軟粒子是沒有能量的粒子，這些粒子可分為兩種：軟光子（傳遞電磁力）和軟引力子（傳遞引力）。斯特魯明格與劍橋大學(xué)的佩里（Malcolm Perry）以及霍金曾發(fā)表過一篇論文表明，落入黑洞的物質(zhì)會(huì)給黑洞的事件視界（這是一個(gè)有去無回的邊界，即使是光進(jìn)入了事件視界也無法逃脫）添加軟粒子。這些粒子實(shí)際上等同于存儲(chǔ)信息的記錄設(shè)備，提供了落入了黑洞的物質(zhì)的線索。
他們提出的想法為解決信息悖論提供了新的策略。存在于事件視界的軟粒子以及伴隨它們而來的對(duì)稱性，或許能指向一條擺脫這種困境的道路。斯特魯明格說：“通過諾特定理，我們很快意識(shí)到存在著與新的對(duì)稱性相對(duì)應(yīng)的守恒定律，這些對(duì)稱性對(duì)黑洞的形成和蒸發(fā)施加了非常嚴(yán)格的限制?！辈贿^這項(xiàng)工作仍處于初期階段。
這只是諾特定理發(fā)揮重要作用的另一個(gè)例子，而且這樣例子還在不斷增加。
對(duì)于現(xiàn)代物理學(xué)，或許如何強(qiáng)調(diào)諾特的工作的重要性都不為過。對(duì)稱性和與恒定律之間的關(guān)系是一個(gè)永無止境的故事，它們之間的聯(lián)系就是我們描述世界的方式。雖然沒有人知道未來會(huì)發(fā)生什么，但沒人敢輕視諾特定理所具有的強(qiáng)大力量。
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