線性代數(shù)到底在講什么？
不理解的知識，當(dāng)然不會用！
本課程是專欄《20堂課極速理解線性代數(shù)》的精華凝煉圖文版，10堂課幫助您真正從直觀角度理解、消化、吸收線性代數(shù)的核心概念與核心算法。

正交陣的誕生

上節(jié)課我們講了相似對角化，進(jìn)一步地，再特殊一點(diǎn)，如果A矩陣是一個(gè)對稱陣呢？

或者說，如果對稱陣進(jìn)行相似對角化分解呢：

這時(shí)我們把對稱陣進(jìn)行相似對角化分解得到的特征向量矩陣Z，稱為

正交陣。

規(guī)范正交基

假若，一個(gè)正交基的基向量的模長都是單位長度1，則稱這正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基或'規(guī)范正交基'（Orthonormal basis）。

其實(shí)，一個(gè)正交矩陣就是一組規(guī)范正交基。

看看正交陣長什么樣子吧：

Z矩陣中的向量，無論是列向量還是行向量，單位長度都是1，而且兩兩正交。

正交陣與自己的轉(zhuǎn)置相乘，得到單位陣I。

來證一下：

從上面過程中，我們再一次重溫了——

矩陣本身可以看成是向量的向量。

向量 x 的長度，用它的模 |x| 表示。如果這個(gè)向量進(jìn)行了 Z 矩陣代表的變換，變成了 Zx，可以保證，長度沒有發(fā)生變化，即：

那么，長度沒變，什么變了呢，相對于原坐標(biāo)系的角度變了唄。

兩個(gè)向量 x 與 y 的夾角，用它們的內(nèi)積來表示，即 (x,y)，如果分別進(jìn)行了 Z 矩陣代表的變換，夾角也不變，即：

也就是說，如果一個(gè)物體上畫兩條線，可以想象，進(jìn)過了Z變換，兩條線的長度和夾角都沒有變化，只是相對于原坐標(biāo)系發(fā)生了變化，這說明什么？

本站僅提供存儲服務(wù)，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請點(diǎn)擊舉報(bào)。