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今天分享復(fù)雜性科學(xué)領(lǐng)域里面一個(gè)非常本質(zhì)的理論：混沌理論。本文將介紹混沌理論的基本概念，相關(guān)概念，著名學(xué)者，一些學(xué)習(xí)資源推介，供大家深入學(xué)習(xí)。
目錄
一、什么是混沌理論？
二、混沌理論的相關(guān)概念
三、混沌理論的幾個(gè)典型示例
四、相關(guān)資源推薦
五、集智百科詞條志愿者招募
“南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就可能會(huì)在佛羅里達(dá)引起一場(chǎng)颶風(fēng)?！毕氡卮蠹覍?duì)這樣一句話都不陌生，這里描述的就是一種典型的混沌現(xiàn)象：蝴蝶效應(yīng)。
混沌是一個(gè)由非線性效應(yīng)引起的一個(gè)相當(dāng)獨(dú)特的現(xiàn)象，具有對(duì)初值的敏感性、無(wú)周期性、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性以及分形性和普適性等特點(diǎn)。混沌理論則是研究這一類典型現(xiàn)象的理論，是系統(tǒng)從有序突然變?yōu)闊o(wú)序狀態(tài)的一種演化理論，是對(duì)確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的內(nèi)在“隨機(jī)過(guò)程”形成的途徑、機(jī)制的研討。
混沌邊緣（Edge of chaos）
混沌邊緣（Edge of chaos）是一個(gè)用來(lái)形容由計(jì)算機(jī)科學(xué)家克里斯托弗·朗頓發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。最開(kāi)始該現(xiàn)象被用來(lái)描述一個(gè)變量λ的一段取值范圍，該變量是作為細(xì)胞自動(dòng)機(jī)的一個(gè)參數(shù)。當(dāng)λ變化，細(xì)胞自動(dòng)機(jī)的行為會(huì)產(chǎn)生相變。克里斯托弗·朗頓（Christopher Langton)發(fā)現(xiàn)λ的某一小段取值可以使細(xì)胞自動(dòng)機(jī)具有通用計(jì)算的能力。根據(jù)λ的連續(xù)變化能夠得到四種細(xì)胞自動(dòng)機(jī)之間的過(guò)渡轉(zhuǎn)化圖景即：固定點(diǎn)->周期->復(fù)雜->混沌，因此我們說(shuō)，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)誕生于混沌的邊緣。
點(diǎn)擊官網(wǎng)鏈接體驗(yàn)不同閾值下的混沌邊緣狀態(tài)
http://math.hws.edu/eck/js/edge-of-chaos/CA.html
吸引子（Attractor）
吸引子（Attractor）是微積分和系統(tǒng)科學(xué)論中的一個(gè)概念。一個(gè)系統(tǒng)有朝某個(gè)穩(wěn)態(tài)發(fā)展的趨勢(shì)，這個(gè)穩(wěn)態(tài)就叫做吸引子。吸引子分為平庸吸引子和奇異吸引子。例如一個(gè)鐘擺系統(tǒng)，它有一個(gè)平庸吸引子，這個(gè)吸引子使鐘擺系統(tǒng)向停止晃動(dòng)的穩(wěn)態(tài)發(fā)展。而不屬于平庸的吸引子的都稱為奇異吸引子，它表現(xiàn)了混沌系統(tǒng)中非周期性，無(wú)序的系統(tǒng)狀態(tài)，例如洛倫茲吸引子（Lorenz oscillator）。
圖1：二維相空間中的點(diǎn)吸引子
非線性系統(tǒng)（Nonlinear System）
非線性就是和線性相對(duì)，線性是指成比例，而非線性則指輸入和輸出不成比例，比如拋物線就是非線性的。在復(fù)雜系統(tǒng)中，非線性是最重要的特性之一。
在物理科學(xué)中，如果描述某個(gè)系統(tǒng)的方程其輸入（自變數(shù)）與輸出（應(yīng)變數(shù)）不成正比，則稱為非線性系統(tǒng)。自然界中大部分的系統(tǒng)本質(zhì)上都是非線性的，非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)最大的差別在于，非線性系統(tǒng)可能會(huì)導(dǎo)致混沌、不可預(yù)測(cè)，或是不直觀的結(jié)果，混沌來(lái)源于非線性。
費(fèi)根鮑姆常數(shù) （Feigenbaum Constants）
費(fèi)根鮑姆常數(shù)（Feigenbaum Constants）是新近發(fā)現(xiàn)的、且在學(xué)術(shù)界認(rèn)定的一個(gè)普適常數(shù)，這個(gè)常數(shù)與“混沌現(xiàn)象”有關(guān)。
1975年，費(fèi)根鮑姆用HP-65計(jì)算器計(jì)算，發(fā)現(xiàn)倍周期分岔（period-doubling bifurcations）發(fā)生時(shí)的參數(shù)之間的差率是一個(gè)常數(shù)，并且還進(jìn)一步揭示了該常數(shù)廣泛適用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這個(gè)普適的結(jié)論讓數(shù)學(xué)家們能夠在對(duì)表像不可捉摸的混沌系統(tǒng)的解密道路上邁出了第一步。為了紀(jì)念這個(gè)突出的貢獻(xiàn)，人們通常稱這個(gè)“極限率”（ratio of convergence）為費(fèi)根鮑姆常數(shù)。
圖2：費(fèi)根鮑姆常數(shù)圖例
邏輯斯諦克映射（Logistic Map）
邏輯斯諦克映射（Logistic Map）是研究動(dòng)力系統(tǒng)、混沌、分形等復(fù)雜系統(tǒng)行為的一個(gè)經(jīng)典模型。邏輯斯諦克映射又叫邏輯斯諦克迭代，其實(shí)就是一個(gè)時(shí)間離散的動(dòng)力系統(tǒng)，按照如下方程進(jìn)行反復(fù)迭代：
該模型可以用來(lái)模擬生物種群的生長(zhǎng)行為，其中x(t)可以解釋為在t時(shí)刻種群占最大可能種群規(guī)模的比例。當(dāng)μ超過(guò)一定的閾值時(shí)，就會(huì)發(fā)生混沌現(xiàn)象。
關(guān)于邏輯斯諦克迭代的起源和推導(dǎo)過(guò)程，以及邏輯斯諦克迭代和混沌的關(guān)系，張江老師的在復(fù)雜性思維第二課中有詳細(xì)的介紹。
復(fù)雜性思維：從混沌開(kāi)始
https://campus.swarma.org/play/coursedetail?id=11137
蝴蝶效應(yīng)（Butterfly effect）
蝴蝶效應(yīng)（Butterfly effect）是指對(duì)初值敏感的一類混沌現(xiàn)象。1961年美國(guó)氣象學(xué)家愛(ài)德華·洛倫茲在模擬大氣中空氣流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，在進(jìn)行第二次計(jì)算時(shí)，直接輸入前一次模擬結(jié)果的數(shù)據(jù)，卻與第一次完全不同，檢查后發(fā)現(xiàn)是因?yàn)槭芟抻谟?jì)算機(jī)的精度，導(dǎo)致二次輸入數(shù)值的精確位數(shù)不同，后來(lái)他對(duì)這一現(xiàn)象做了縝密的推理研究，發(fā)表的“確定性非周期流”一文，揭示了混沌的初值敏感特性。
三體問(wèn)題（Three-body Problem）
三體問(wèn)題（Three-body Problem）是天體力學(xué)中的基本力學(xué)模型。它是指三個(gè)質(zhì)量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質(zhì)點(diǎn)的天體，在相互之間萬(wàn)有引力的作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題。
1887年，瑞典國(guó)王奧斯卡二世為了祝賀自己的60歲壽誕贊助了一項(xiàng)競(jìng)賽，征求太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題的解答（三體問(wèn)題的變式）。法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊指出三體問(wèn)題不能精確求解，成了第一個(gè)發(fā)現(xiàn)混沌確定系統(tǒng)的人，并為現(xiàn)代的混沌理論打下了基礎(chǔ)。
圖3：三體問(wèn)題示例
詹姆士·約克 James A. Yorke
圖4：詹姆士·約克 James A. Yorke
馬里蘭大學(xué)物理科技所數(shù)學(xué)與物理學(xué)杰出校聘教授，美國(guó)數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家，馬里蘭大學(xué)學(xué)院市分校數(shù)學(xué)和物理和數(shù)學(xué)系前任系主任。在1975年與李天巖一同發(fā)表的一篇題為《周期三則混沌》（Period Three Implies Chaos）論文中創(chuàng)造了混沌這個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。
米切爾·費(fèi)根鮑姆 Mitchell J. Feigenbaum
圖5：米切爾·費(fèi)根鮑姆 Mitchell J. Feigenbaum
美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家，康奈爾大學(xué)教授，洛克菲勒大學(xué)教授，混沌理論的先驅(qū)，費(fèi)根鮑姆常數(shù)的發(fā)現(xiàn)者，1975年8月，他就是拿著計(jì)算器而發(fā)現(xiàn)一個(gè)和混沌、單峰映象的周期點(diǎn)有關(guān)的數(shù)，即后來(lái)的費(fèi)根鮑姆常數(shù)，之后發(fā)現(xiàn)了分析在地圖學(xué)的應(yīng)用。
愛(ài)德華·諾頓·洛倫茲 Edward Norton Lorenz
圖6：愛(ài)德華·諾頓·洛倫茲 Edward Norton Lorenz
美國(guó)數(shù)學(xué)與氣象學(xué)家?；煦缋碚撝?，蝴蝶效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)者。1963年獲美國(guó)氣象學(xué)會(huì)邁辛格獎(jiǎng)。
李天巖 Tien-Yien Li
圖7：李天巖 Tien-Yien Li
生于中國(guó)福建省的美籍?dāng)?shù)學(xué)家，密歇根州立大學(xué)杰出數(shù)學(xué)教授。1974年在馬里蘭大學(xué)取得博士學(xué)位，他和詹姆士·約克合寫(xiě)的論文《周期三則混沌》（Period Three Implies Chaos），是混沌動(dòng)力系統(tǒng)的重要論文。這個(gè)研究結(jié)果是沙可夫斯基定理（Sharkovskii's theorem）的特殊情況。
陳關(guān)榮 Guanrong Chen
圖8：陳關(guān)榮 Guanrong Chen
香港城市大學(xué)教授，國(guó)內(nèi)外多所知名大學(xué)客座教授。在混沌控制及分岔理論分析與應(yīng)用方面做出奠基性貢獻(xiàn)而被選為國(guó)際電子工程學(xué)會(huì)(IEEE) Fellow。
書(shū)籍：
混沌與分形：簡(jiǎn)介
Chaos and Fractals: An Elementary Introduction
這本書(shū)為讀者提供了對(duì)混沌和分形的基本介紹，適合沒(méi)有學(xué)習(xí)微積分或物理學(xué)但具有初等代數(shù)背景的學(xué)生。此書(shū)通過(guò)簡(jiǎn)單迭代函數(shù)介紹了混沌的重要現(xiàn)象——非周期性、對(duì)初始條件的敏感依賴性、分岔現(xiàn)象。本書(shū)還闡釋了二維動(dòng)力系統(tǒng)，奇異吸引子，元胞自動(dòng)機(jī)，和混沌微分方程等概念。
混沌與分形：簡(jiǎn)介
Chaos and Fractals: An Elementary Introduction
http://rrd.me/gr3Cq
混沌與分形 Chaos and Fractals
混沌與分形 Chaos and Fractals
http://rrd.me/gr3Jn
混沌與時(shí)間序列分析
Chaos and Time-series Analysis
此書(shū)介紹混沌的發(fā)展和非線性動(dòng)力學(xué)的有關(guān)主題內(nèi)容，包括檢測(cè)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的混沌量化，分形和復(fù)雜系統(tǒng)。涉及非線性動(dòng)力學(xué)中絕大多數(shù)重要的基本概念，重點(diǎn)闡述了物理概念和效用結(jié)果，而不是在數(shù)學(xué)上進(jìn)行證明和推導(dǎo)。
混沌與時(shí)間序列分析
Chaos and Time-series Analysis
http://rrd.me/gr3KC
混沌：創(chuàng)造新的科學(xué)
Chaos: Making a new science
本書(shū)并沒(méi)有嘗試去解釋Julia集合、洛倫茲吸引子和龐大復(fù)雜的Mandelbort集合，而是依靠草圖、照片和作者精彩的描述性散文來(lái)構(gòu)成了整本書(shū)的內(nèi)容。在本書(shū)中讀者會(huì)遇到許多非凡而又古靈精怪的人。例如，米切爾·費(fèi)根鮑姆 Mitchell J. Feigenbaum，他用一個(gè)26小時(shí)的時(shí)鐘構(gòu)建和調(diào)整自己的生活，并且觀察他醒著的時(shí)間與他在洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的同事的時(shí)間是否相同。
混沌：創(chuàng)造新的科學(xué)
Chaos: Making a new science
http://rrd.me/gr3L7
涌現(xiàn)：從混沌到有序
Emergence: From Chaos to Order
本書(shū)作者約翰·霍蘭德（John H. Holland）是當(dāng)今最具有創(chuàng)新意識(shí)的思想家之一，在本書(shū)中，作者比較了顯示涌現(xiàn)現(xiàn)象的不同系統(tǒng)和模型，展現(xiàn)了它們之間共同的規(guī)則或規(guī)律，講述了從“蘊(yùn)含著規(guī)范、能夠生成像巨大的紅杉和普通的雛菊那樣復(fù)雜而獨(dú)特結(jié)構(gòu)”的微小種子，到能夠通過(guò)自學(xué)習(xí)在西洋跳棋游戲中讓設(shè)計(jì)者一敗涂地的計(jì)算機(jī)；從能夠修建橋梁、跨越深溝和駕馭樹(shù)葉之舟在溪流上航行的蟻群，到詩(shī)人充滿感情的創(chuàng)作等涌現(xiàn)現(xiàn)象的具體表現(xiàn)。
涌現(xiàn)：從混沌到有序
Emergence: From Chaos to Order
http://rrd.me/grAGC
課程：
復(fù)雜性思維：從混沌開(kāi)始
復(fù)雜性思維：從混沌開(kāi)始
https://campus.swarma.org/play/coursedetail?id=11137
其他推薦：
小說(shuō)：劉慈欣 《三體》
電影：《蝴蝶效應(yīng)》 、《羅拉快跑》
記錄片：神秘的混沌理論 Documentary: The mysterious theory of chaos
【紀(jì)錄片】神秘的混沌理論 The Secret Life of Chaos 2009（中文字幕）
https://www.bilibili.com/video/av24640476?from=search&seid=14892928752614783207
以上內(nèi)容都是我們做這項(xiàng)目的起點(diǎn)，作為來(lái)自不同學(xué)科和領(lǐng)域的志愿者，我們建立起一個(gè)有效的百科團(tuán)隊(duì)，分配有審校、翻譯、編輯、宣傳等工作。我們秉持：知識(shí)從我而來(lái)，問(wèn)題到我為止的信念，認(rèn)真負(fù)責(zé)編撰每一個(gè)詞條。
在這里從復(fù)雜性知識(shí)出發(fā)與伙伴同行，同時(shí)我們希望有更多志愿者加入這個(gè)團(tuán)隊(duì)，使百科詞條內(nèi)容得到擴(kuò)充，并為每位志愿者提供相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)與資源，建立個(gè)人主頁(yè)與貢獻(xiàn)記錄，使其能夠繼續(xù)探索復(fù)雜世界。
作為百科項(xiàng)目志愿者，希望你能在興趣驅(qū)動(dòng)下，找到對(duì)應(yīng)內(nèi)容，使其變成一個(gè)可被大家廣泛學(xué)習(xí)科學(xué)詞條。上述待建立詞條共計(jì)15條，如果大家有意愿參與這個(gè)開(kāi)源科學(xué)項(xiàng)目，請(qǐng)掃描下方二維碼添加我們的負(fù)責(zé)人。
參考資料：
[1]吸引子 維基百科 :
https://en.wikipedia.org/wiki/Attractorm
[2]混沌邊緣 維基百科:
https://en.wikipedia.org/wiki/Edge_of_chaos
[3]非線性系統(tǒng) 百度百科 :
https://baike.baidu.com/item/%E9%9D%9E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F/354475?fr=aladdin
[4] 費(fèi)根鮑姆常數(shù) 維基百科
https://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_constants
[5] Logistic Map 維基百科
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
[6]三體問(wèn)題，維基百科
https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem
[7] 蝴蝶效應(yīng) 維基百科
https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_effect
[8] 混沌邊緣
http://math.hws.edu/eck/js/edge-of-chaos/CA.html
來(lái)源：集智百科
編輯：曾祥軒
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