賈憲，11世紀(jì)前半葉中國(guó)北宋數(shù)學(xué)家。賈憲是中國(guó)十一世紀(jì)上半葉（北宋）的杰出數(shù)學(xué)家．曾撰<黃帝九章算法細(xì)草>（九卷）和<算法古集>（二卷）（“”讀：xi4o，意：教導(dǎo)），都已失傳。據(jù)《宋史》記載，賈憲師從數(shù)學(xué)家楚衍學(xué)天文、歷算，著有<黃帝九章算法細(xì)草>，《釋鎖算書(shū)》等書(shū)。賈憲著作已佚，但他對(duì)數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)，被南宋數(shù)學(xué)家楊輝引用，得以保存下來(lái)。 賈憲的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了賈憲三角和增乘開(kāi)方法．增乘開(kāi)方法即求高次冪的正根法．目前中學(xué)數(shù)學(xué)中的綜合除法，其原理和程序都與它相仿．增乘開(kāi)方法比傳統(tǒng)的方法整齊簡(jiǎn)捷，又更程序化，所以在開(kāi)高次方時(shí)，尤其顯出它的優(yōu)越性．增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序大致和歐洲數(shù)學(xué)家霍納（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。在中國(guó)數(shù)學(xué)史上賈憲最早發(fā)現(xiàn)賈憲三角形。楊輝在所著《詳解九章算法》《開(kāi)方作法本元》一章中作賈憲開(kāi)方作法圖，并說(shuō)明“出釋鎖算書(shū)，賈憲用此術(shù)”。賈憲開(kāi)方作法圖就是賈憲三角形。楊輝還詳細(xì)解說(shuō)賈憲還發(fā)明的釋鎖開(kāi)平方法，釋鎖開(kāi)立方法，增乘開(kāi)平方法，增乘開(kāi)立方法。
賈憲的老師楚衍是北宋前期著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，“于《九章》、《緝古》、《綴術(shù)》、《海島》諸算經(jīng)尤得其妙”。當(dāng)時(shí)人王洙(997---1057)有記載：“世司天算，楚，為首。既老昏，有，子賈憲、朱吉著名。憲今為左班殿直，吉隸太史。憲運(yùn)算亦妙，有書(shū)傳于世?！备鶕?jù)記載賈憲著有<黃帝九章算經(jīng)細(xì)草>九卷、《算法斅古集》二卷及《釋鎖》，可惜均已失傳。楊輝著《詳解九章算法》(1261年)中曾引用賈憲的“開(kāi)方作法本源”圖(即指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)表，現(xiàn)稱“楊輝三角形”)和“增乘開(kāi)方法”(求高次冪的正根法)。前者比帕斯卡(PascalBlaise，1623---1662)三角形早600年，后者比霍納(WilliamGeogeHorner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。此外，“立成釋鎖開(kāi)方法”的給出，“勾股生變十三圖”的完善,以及“增乘方求廉法”的創(chuàng)立，都表明賈憲對(duì)算法抽象化、程序化、機(jī)械化作出了重要貢獻(xiàn)。
雖然有關(guān)賈憲的資料保存下來(lái)的并不完整，但從楊輝緝錄的細(xì)草中，我們?nèi)匀豢梢园l(fā)現(xiàn)他的一些獨(dú)到的數(shù)學(xué)思想和方法，主要有以下兩點(diǎn)。 (一)抽象分析法
在研究《九章》過(guò)程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問(wèn)題是更為突出，他首先提出了“勾股生變十三圖”。他說(shuō)：“勾股弦并而為和，減而為較，等而為變，為乘，為段，自乘為積，為冪。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股較(b-a)、勾弦較(c-a)、股弦較(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦較和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和較((a+b)-c)、弦較教(c-(b-a))。他完備了勾股弦及其和差的所有關(guān)系，說(shuō)這些關(guān)系“有用而取，無(wú)用不取，立圖而驗(yàn)之”，說(shuō)明他已經(jīng)拋開(kāi)<九章>算題本身而對(duì)勾股問(wèn)題進(jìn)行抽象分析了。
例如“出南北門(mén)測(cè)邑方”問(wèn)，《九章》的方法是：術(shù)曰：以出北門(mén)步數(shù)乘西行步數(shù)，倍之為實(shí)，并出南門(mén)步數(shù)為從法，開(kāi)方除之即邑方。賈憲的方法是：術(shù)曰：余勾乘股，倍之為實(shí)并二余勾為從，開(kāi)方除不。正是掌握了這一方法，才使他能夠使用純數(shù)學(xué)的方法改寫(xiě)<九章>術(shù)文，給后人留下公式化的解題范例。在方程術(shù)等其他章節(jié)的細(xì)草中，他也廣泛運(yùn)用了這種方法。
(二)程序化方法
程序化方法主要是指探究問(wèn)題的思維程序、過(guò)程和步驟.適用于同一理論體系下，同一類問(wèn)題的解決。賈憲的“增乘開(kāi)方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現(xiàn)了這一方法，比如少?gòu)V章有：“今有積一百八十六萬(wàn)八百六十七尺，問(wèn)：為立方幾何?”這是一道對(duì)1860867開(kāi)三次方的問(wèn)題。賈憲的方法是：草曰：(1)實(shí)上商置第一位得數(shù)一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉為方一萬(wàn)，除實(shí)，訖。(3)復(fù)以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三萬(wàn)。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再于第一位商數(shù)之次，復(fù)商第二位得數(shù)二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三萬(wàn)六千四百，命上商除實(shí)，訖余一十三萬(wàn)二千八百六十七。(7)復(fù)以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四萬(wàn)三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退，如前。(10)上商第三位得數(shù)三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四萬(wàn)四千二百八十九，命上商三尺除實(shí)，適盡，得立方一面之?dāng)?shù)。
用現(xiàn)代表述方式體現(xiàn)為：
下法廉方實(shí)商
(1)1000000+00-18608671
+1000000+10000001000000
(2)1000000+1000000+1000000-860867
+1000000+2000000
(3)1000000+2000000+3000000
+1000000
(4)1000000+3000000+3000000-860867
1000+30000+300000-8608672
+2000+64000728000
(6)1000+32000+364000-132867
+2000+68000
(7)1000+34000+432000
+2000
(8)1000+36000+432000-132867
1+360+43200-1328673
+3+1089+132867
(10)1+363+442890
我們注意到，這個(gè)開(kāi)立方過(guò)程已經(jīng)形成固定的程序。當(dāng)代學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，程序化的數(shù)學(xué)思想方法是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)，而賈憲的工作則使得開(kāi)方程序系統(tǒng)化、規(guī)范化。賈憲的數(shù)學(xué)方法論，對(duì)宋元數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，縱觀“宋元四大家”，莫不從中汲取精髓。
賈憲是否從事過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)工作，我們不得而知，但就宋初私學(xué)活躍以及數(shù)學(xué)地位而言，不能排除他傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的可能性，“憲運(yùn)算亦妙，有書(shū)傳于世”當(dāng)可佐證。我們知道，古代學(xué)者著書(shū)立說(shuō)目的之一就是教育世人，因此我們有理由探討賈憲的數(shù)學(xué)教育思想。仔細(xì)研究細(xì)草，從中可以發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)教育思想的閃光之處。 (一)重視對(duì)一般性解法的抽象
“增乘開(kāi)方法”的兩例細(xì)草中，可以清楚的看到，剔除數(shù)字后得到的就是運(yùn)算法則。而且這種細(xì)草方式是貫穿其著述(就現(xiàn)存而言)始終的。賈憲之所以這樣做，應(yīng)該是深受中國(guó)古代早已有之的“授人以魚(yú)不如授人以漁”的教育思想影響。據(jù)現(xiàn)在所知，<黃帝九章算經(jīng)細(xì)草>約成書(shū)于1050年前后，此書(shū)出版后，在社會(huì)上流傳較廣，在一定程度上逐漸代替了《九章算術(shù)》。南宋鮑浣之于1200年說(shuō)：“自衣冠南渡以來(lái),此學(xué)(指算學(xué))既廢，非獨(dú)好之者寡，而<九章算經(jīng)>亦幾泯沒(méi)無(wú)傳矣。近世民間之本，題之曰《黃帝九章》……”這也是當(dāng)時(shí)社會(huì)對(duì)其數(shù)學(xué)教育思想的認(rèn)可。
(二)注重對(duì)知識(shí)綱要的概括
賈憲在給出“立成釋鎖開(kāi)方法”之后，又提出“增乘方求廉法”并給出六階賈憲三角，解釋開(kāi)各次方之間的聯(lián)系。討論勾股問(wèn)題則先論“勾股生變十三圖”，而后談?wù)搯?wèn)題的解法，給人以清晰的體系感。他的這些嘗試,都體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)綱要的重視。郭書(shū)春先生認(rèn)為，這是賈憲“列出概括性理論”，“是演繹邏輯的一種發(fā)展”。體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育上，注重對(duì)知識(shí)綱要的概括，也不失為一種良好的教學(xué)方法。
(三)系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)教育思想
現(xiàn)存資料顯示，賈憲沒(méi)有涉足劉徽的分?jǐn)?shù)和求微數(shù)(即極限理論)領(lǐng)域，他的師兄弟朱吉也曾批評(píng)他“棄去余分，于理未盡”。再加上他在《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》中所討論的開(kāi)方問(wèn)題未涉及開(kāi)不盡情況，他甚至把《九章》中有分?jǐn)?shù)解的問(wèn)題改題設(shè)以得整數(shù)解。這些跡象表明他的工作是建立在整數(shù)集之上的。在此基礎(chǔ)上他提綱挈領(lǐng)的概括了勾股和開(kāi)方問(wèn)題，給出了諸多其他問(wèn)題的一般性解法，從中我們隱約可以看到系統(tǒng)化方法的痕跡。以賈憲的數(shù)學(xué)知識(shí)水平，他不可能不熟知分?jǐn)?shù)，也不會(huì)不了解劉徽的求微數(shù)思想，只是他對(duì)開(kāi)方開(kāi)不盡的問(wèn)題沒(méi)有研究透徹。因此在他的著述中才回避了分?jǐn)?shù)，目的是把自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)地傳于世人，這在古代數(shù)學(xué)教育史上是難能可貴的。
(四)注重發(fā)散性思維的鍛煉
賈憲討論九章諸類問(wèn)題時(shí)，不是固守前人的思路和算法，發(fā)現(xiàn)了很多新的計(jì)算方法。在均輸章中，他提出了“課分法”、“減分法”，以及用“方程術(shù)”求差率的方法;在盈不足章中，他提出了“今有術(shù)”、“合率術(shù)”、“分率術(shù)”、“方程術(shù)”、“兩不足術(shù)”等方法；在“勾股容方”問(wèn)中，他提出“勾股旁要法”等等。由此可見(jiàn)，賈憲不僅注重概括理論化的研究方法，同時(shí)也身體力行地致力于發(fā)散性思維的鍛煉，這對(duì)于知識(shí)的創(chuàng)新是大有裨益的。賈憲對(duì)數(shù)學(xué)教育的系統(tǒng)化、綱領(lǐng)化、普遍化(抽象化)及思維的多樣化都有一套獨(dú)到的見(jiàn)解，許多方面是我們可以借鑒的。
《九章算術(shù)》是十一世紀(jì)以前中國(guó)最著名的數(shù)學(xué)著作，在其流傳過(guò)程中，為其做草的人很多。而在數(shù)學(xué)理論上有突出貢獻(xiàn)的主要是三位數(shù)學(xué)家----劉徽(理論基礎(chǔ)的奠定)、賈憲(理論水平的提高)和楊輝(理論的基本完善)，賈憲起著承前啟后的作用。另一方面，魏晉南北朝興起的數(shù)學(xué)研究熱潮自唐而中斷，賈憲的數(shù)學(xué)方法論又激發(fā)了宋元的數(shù)學(xué)研究熱潮，他又起到推波助瀾的作用。具體表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。 (一)數(shù)學(xué)思想的影響
賈憲對(duì)于《九章算術(shù)》中提出的問(wèn)題，抽象分析，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)；借助程序化，講解方法的原理；提綱挈領(lǐng)，梳理知識(shí)脈絡(luò)；注重知識(shí)系統(tǒng)化，避免產(chǎn)生悖論。這些思想方法對(duì)宋元數(shù)學(xué)家有很深的影響。楊輝著《詳解九章算法》借鑒了賈憲的抽象和探索成果，對(duì)《九章》各題重新纂類。李冶著《測(cè)圓海鏡》就繼承并發(fā)揚(yáng)了這些數(shù)學(xué)方法，建立了一個(gè)邏輯嚴(yán)密的演繹體系。朱世杰著《四元玉鑑》也用到這些思想方法，成就了我過(guò)古代數(shù)學(xué)史上的巔峰之作。秦九韶著《數(shù)術(shù)大略》即(《數(shù)學(xué)九章》)作術(shù)而不言具體數(shù)字更是師法賈憲，可見(jiàn)其方法論的生命力。當(dāng)然，這些數(shù)學(xué)思想方法也并非賈憲獨(dú)創(chuàng)，也是歷代數(shù)學(xué)著述、研究、積累的結(jié)果，而賈憲又將其提煉和傳承。
(二)數(shù)學(xué)成就的影響
首先，賈憲的“增乘開(kāi)方法”開(kāi)創(chuàng)了開(kāi)高次方的研究課題，后經(jīng)秦九韶“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”加以完善，使高次方程求正跟的問(wèn)題得以解決。加之從李冶的天元術(shù)(一元一次或高次方程)到朱世杰的四元術(shù)(四元一次或高次方程組)的建立，終于在十四世紀(jì)初建立起一套完整的方程學(xué)理論，使之成為宋元數(shù)學(xué)屆最有成就的課題。其次，賈憲三角的給出，開(kāi)創(chuàng)了高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的研究方向，朱世杰從“三角”的每條斜線上發(fā)現(xiàn)了“三角垜”、“撒星形垜”等高階等差級(jí)數(shù)求和公式。第三，“增乘開(kāi)方法”事實(shí)上簡(jiǎn)化了籌算程序，并使程序化更加合理，這對(duì)后世籌算、捷算乃至于算具的改進(jìn)是有啟迪意義的。第四，“細(xì)草”這一著述形式開(kāi)創(chuàng)了一種數(shù)學(xué)研究方法，被后世數(shù)學(xué)家廣為借鑒。乾嘉學(xué)派在保存和整理數(shù)學(xué)著作時(shí)，就曾對(duì)一批算書(shū)或注釋或細(xì)草圖說(shuō)。
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