作者簡介Surein Aziz, 他寫這篇文章時17歲，是高中學(xué)生。他認為數(shù)學(xué)有意思并很美妙，很多難以置信的結(jié)果可以從一系列的邏輯推理中和尋找規(guī)律中得到。他喜歡花很多時間考慮有趣的數(shù)學(xué)問題，并且希望讀完中學(xué)后可以去大學(xué)讀數(shù)學(xué)。他第一次接觸到歐拉等式是從電視節(jié)目上看到的；這激發(fā)了他的鉆研興趣。
人物速讀 歐拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分時間在俄羅斯帝國和普魯士度過。歐拉是一位數(shù)學(xué)神童。他作為數(shù)學(xué)教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，爾后再返圣彼得堡。歐拉是有史以來最多遺產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的全集共計84卷。歐拉實際上支配了18世紀的數(shù)學(xué)，對于當時的新發(fā)明微積分，他推導(dǎo)出了很多結(jié)果。在他生命的最后7年中，歐拉的雙目完全失明，盡管如此，他還是以驚人的速度產(chǎn)出了生平一半的著作。
通常，當閱讀一本不錯的數(shù)學(xué)書時，作者將一個特別復(fù)雜的證明、定理或想法解釋得很透徹，并提到數(shù)學(xué)所涉及到的“美”。我一直想知道，這究竟意味著什么。我錯過了一個特別利落的示意圖嗎？難道那些被深藏不露的數(shù)學(xué)美真的需要拿一個博士學(xué)位才能欣賞？我曾認為后者在起作用------也許有一天，經(jīng)過多年最高水平數(shù)學(xué)的學(xué)習，我突然窺見到一些不可思議的深刻真理，并從看起來枯燥瑣碎的公式里體驗到那令人難以置信的美。 但實際上，我認為你不必花太多的精力就可以一瞥數(shù)學(xué)家關(guān)于美的深層含義。這就是下文我所要試圖說服你的。數(shù)學(xué)有點像一個密集的、永無止境的叢林，可以讓你覺得不時會遠離它，很難到達你想去的地方。但如果你停下來看看四周，你經(jīng)常會看到令人難以置信的、充滿異國情調(diào)的植物和動物。下面我試圖介紹我認為很美麗的一件特別事情，這是我在一個電視節(jié)目中看到的。當時我?guī)缀醪恢朗鞘裁匆馑?，當然也不知道它是怎么來的，但我有興趣去了解更多的信息。我說的是歐拉等式
現(xiàn)在你可能認為我瘋了。它有什么美？那么，我應(yīng)該提醒你，不只是我------《數(shù)學(xué)信使》讀者的投票把它選為“數(shù)學(xué)中最美麗的定理”。物理學(xué)家理查德·費恩曼認為該公式“是所有數(shù)學(xué)中最卓越的、最驚人的公式之一”。但是，它到底有什么特別之處呢？首先，我應(yīng)該解釋符號的真正含義是什么。你可能很熟悉π，它是圓的周長與直徑之比。數(shù)e也是一個常數(shù)，你可能不是很熟悉它，它是自然對數(shù)之底。e的前20位小數(shù)為e=2.71828182845904523536 e和π均是無理數(shù)------它們有無限多個小數(shù)位，你不能把它們寫成一個整數(shù)除以另一個整數(shù)。這三個數(shù)中可能最奇特的是i。它是?1的平方根，即i^2=?1，稱為虛數(shù)。你不能在通常數(shù)軸的任何地方找到它，因為沒有實數(shù)的平方為負數(shù)。 你開始得到歐拉等式之美的念頭嗎？如果你把常數(shù)e取π乘上i的次方，然后拿走1，你會得到0。三個非常奇怪的數(shù)字，它們沒有任何明顯的方式聯(lián)系在一起，一結(jié)合卻給出這樣一個普通而熟悉的結(jié)果，是不是有點古怪？ 那么，為什么會出現(xiàn)這種情況呢？最奇怪的問題是：我們怎樣取一個數(shù)的i次方？但實際上，得到歐拉等式并不困難，這也是它美妙的一個方面！但首先你必須看看導(dǎo)出這個美麗等式的一般的歐拉公式：
這個看上去也一樣整潔漂亮，不是嗎？但是，要理解這個公式是如何來的，我們需要一樣?xùn)|西，叫做泰勒級數(shù)。確有一種方法能將像sin(x)或cos(x)這樣的函數(shù)表達為無窮和的形式。他們由數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)（他也是裁定牛頓和萊布尼茲是誰先發(fā)明微積分的委員會成員）。 函數(shù)e^x的泰勒級數(shù)是
你可以用計算器來驗證這個泰勒級數(shù)：選取一個數(shù)x，看看計算器給e^x什么樣的值。再然后使用計算器算出和
的值，如果n比較大的話，你會發(fā)現(xiàn)結(jié)果幾乎等于你得到的數(shù)e^x，且添加的求和項數(shù)越多，兩個結(jié)果越靠近。在某些時候，計算器上的兩個結(jié)果是一樣的，因為計算器無法檢測它們之間的微小區(qū)別。當你對無窮多項求和時，兩個結(jié)果是一模一樣的。出現(xiàn)在歐拉公式的其他兩個函數(shù)的泰勒級數(shù)為
同樣，你可以用計算器檢驗，請記住角度x是用弧度，而不是度數(shù)。現(xiàn)在，讓我們將泰勒級數(shù)中的變量x換成ix,得到
但是，某些i的次方可以簡化，例如，由定義i^2=?1，所以i^3=-i及i^4=1，等等。因此，上式可簡化為
注意到這兩個級數(shù)與上面的sin(x)和cos(x)的對應(yīng)級數(shù)一樣，所以我們將它們代入而得到
這就是歐拉公式。我們現(xiàn)在要做的是讓x=π。由于sin(π)=0及cos(π)=?1，我們得到
所以你看，在一系列不算太復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算后，我們回到了我們開始的地方：歐拉等式。我認為這個等式很美：它將非常奇怪的數(shù)與很基本的數(shù)聯(lián)系在一起。理解了為什么工作，感覺上有點像通過數(shù)學(xué)叢林，踩在一條鮮為人知的路徑上，到達厚厚灌木叢中的某個秘密目的地。
作 者:Surein Aziz翻 譯:丁玖，密執(zhí)安州立大學(xué)博士，南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)教授校 對:湯濤，香港浸會大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授 整理：張欣
