【分析 1】先求兩輛汽車各行了多少千米，再求兩輛汽車行駛路程的和，即得甲、乙兩地相距多少千米。
【解法1】一輛汽車行駛了多少千米？
55×5=275（千米）
另一輛汽車行駛了多少千米？
45×5=225（千米）
甲、乙兩地相距多少千米？
275+225=500（千米）
綜合算式： 55×5+45×5=275+225=500（千米）
【分析2】先求出兩輛汽車每小時(shí)共行駛多少千米，再乘以相遇時(shí)間，即得甲、乙兩地相距多少千米。
【解法2】兩車每小時(shí)共行駛多少千米？
55+45=100（千米）
甲、乙兩地相距多少千米？
100×5=500（千米）
綜合算式： （55+45）×5=100×5=500（千米）。
【分析 3】甲、乙兩地的距離除以相遇時(shí)間，就等于兩輛汽車的速度和。由此可列出方程，求甲、乙兩地相距多少千米。
【解法3】設(shè)甲乙兩地相距x千米。
x÷5=55+45
x=100×5
x=500
【分析4】甲乙兩地距離減去一輛汽車行駛的路程，就等于另一輛汽車行駛的路程，由此列方程解答。
【解法4】設(shè)甲乙兩地相距x千米。
x-55×5=45×5
x-275=225
x=275+225
x=500
答：甲、乙兩地相距500千米。
【評(píng)注】解法2和解法1是算術(shù)解法，其中解法2是較好的解法。解法3和解法4是方程解法，其中解法3是較好的解法。比較以上四種解法，解法1和解法2可以運(yùn)用乘法分配律相互轉(zhuǎn)換，解法1和解法4、解法2和解法3，它們的數(shù)量關(guān)系是分別相同的，比較一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們只是解題思路及方法不同。
例2 兩輛汽車從相距345千米的兩地同時(shí)相向開出，一輛汽車每小時(shí)行60千米，另一輛汽車每小時(shí)行55千米。經(jīng)過幾小時(shí)兩輛汽車可以相遇？
【分析 1】先求出兩輛汽車每小時(shí)共行多少千米，即速度和。然后根據(jù)公式“兩地距離÷速度和=相遇時(shí)間”即可求得。
【解法1】 345÷（60+55）=345÷115=3（小時(shí)）。
【分析 2】根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=兩地距離”這一等量關(guān)系，列方程解。
【解法2】設(shè)經(jīng)過x小時(shí)兩車相遇。
（60+55）×x=345
x=345÷（60+55）
x=345÷115
x=3
【評(píng)注】解法1思路清晰，運(yùn)算簡便，是本題的較好解法。后三種解法都是方程解法，實(shí)際上這三種方程解法都是同一數(shù)量關(guān)系，比較一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們都是由一個(gè)方程變形得來的，其中解法3較為簡捷。
例3 快車和慢車同時(shí)從相距385千米的兩個(gè)城市相對(duì)開出，經(jīng)過5小時(shí)后兩車相遇。慢車每小時(shí)行35千米，求快車每小時(shí)行多少千米？
【分析1】先求出慢車共行了多少千米，再用兩城市間的距離減去慢車行的路程，就等于快車共行了多少千米，由此可求快車每小時(shí)行多少千米。
【解法1】慢車共行了多少千米？
35×5=175（千米）
快車共行了多少千米？
385-175=210（千米）
快車每小時(shí)行多少千米？
210÷5=42（千米）
綜合算式： （385-35×5）÷5=（385-175）÷5=210÷5=42（千米）。
【分析2】用兩城市間距離除以兩車的相遇時(shí)間，即得兩車速度和，再用速度和減去慢車的速度，即得快車速度。
【解法 2】兩車每小時(shí)共行多少千米？
385÷5=77（千米）
快車每小時(shí)行多少千米？
77-35=42（千米）
綜合算式：385÷5-35=77-35=42（千米）。
【分析3】根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=兩地距離”這一等量關(guān)系，列方程解。
【解法3】設(shè)快車每小時(shí)行x千米。
?。?5+x）×5=385
35+x=385÷5
x=385÷5-35
x=42
【分析4】根據(jù)“慢車行駛路程+快車行駛路程=兩地距離”列方程解。
【解法 4】設(shè)快車每小時(shí)行x千米。
35×5+5x=385
5x=385-35×5
5x=210
x=42
【分析5】假設(shè)快車的速度與慢車的速度相同，那么兩城市之間的距離就是35×2×5=350（千米）。這樣比實(shí)際距離少385-350=35（千米），再把35千米平均分成5份，每份與慢車速度的和，就是快車的速度。
答：快車每小時(shí)行42千米。
【評(píng)注】比較以上五種解法，解法2的思路簡明，運(yùn)算簡便，也比較容易想到，是本題的最佳解法。
例4 一條公路上依次有甲、乙、丙、丁四個(gè)車站（如圖）。小明和小華兩人同時(shí)從甲、丁兩站相向而行，當(dāng)小明用40分鐘走到乙站時(shí)，小華剛好走到丙站，問兩人再走幾分鐘后相遇？
【分析1】先求出小明和小華40分鐘共行多少米，再除以40即得兩人的速度和。再用1520米除以速度和就等于兩人再走的相遇時(shí)間。
【解法 1】兩人40分鐘共行了多少米？
5320-1520=3800（米）
兩人的速度和是多少？
3800÷40=95（米）
兩人再走幾分鐘相遇？
1520÷95=16（分鐘）
綜合算式： 1520÷[（5320-1520）÷40]
=1520÷[3800÷40]
=1520÷95=16（分鐘）。
【分析2】先求出兩人的速度和，再求出兩人從開始行到相遇共用多少分鐘，再減去共行的40分鐘，即得再走的相遇時(shí)間。
【解法 2】兩人的速度和是多少？
?。?320-1520）÷40=95（米）
兩人走全程共需多少分鐘？
5320÷95=56（分鐘）
再走幾分鐘兩人相遇？
56-40=16（分鐘）
綜合算式： 5320÷[（5320-1520）÷40]-40
=5320÷[3800÷40]-40
【分析3】先求出已走的路程是再走路程的幾倍，再用40分鐘除以這個(gè)倍數(shù)，即得兩人再走所需的時(shí)間.
【解法3】兩人已走了多少米？
5320-1520=3800（米）
已走路程是再走路程的幾倍？
3800÷1520=2.5（倍）
再走幾分鐘兩人相遇？
40÷2.5=16（分鐘）
綜合算式： 40÷[（5320-1520）÷1520]
=40÷[3800÷1520]
=40÷2.5=16（分鐘）.
【分析4】因?yàn)閮傻鼐嚯x÷相遇時(shí)間=速度和，而兩人速度和不變，所以兩地距離和相遇時(shí)間成正比例.
【解法4】設(shè)再走x分鐘兩人相遇.
（5320-1520）∶40=1520∶x
3800∶40=1520∶x
x=
x=16
答：兩人再走16分鐘后相遇.
【評(píng)注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，但計(jì)算較繁些.解法3的思路簡明，運(yùn)算也不繁，是本題的較好解法.同時(shí)，由解法3的思路還可推想出運(yùn)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，或運(yùn)用比的知識(shí)解題，讀者可試試.
例5 甲乙兩車分別從兩城相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行33千米，乙車每小時(shí)行28千米.甲車開出2小時(shí)后，乙車出發(fā)，經(jīng)3小時(shí)相遇.兩城相距多少千米？
【分析1】甲車先開2小時(shí)所行的路程，加上兩車同時(shí)開3小時(shí)所行的路程，所得的和就是兩城相距多少千米.
【解法1】甲車2小時(shí)行了多少千米？
33×2=66（千米）
甲乙兩車同時(shí)開3小時(shí)共行多少千米？
?。?3+28）×3=61×3=183（千米）
兩城相距多少千米？
66+183=249（千米）
綜合算式： 33×2+（33+28）×3
=33×2+61×3
=66+183=249（千米）.
【分析2】甲車所行的路程加上乙車所行的路程，即得兩城相距多少千米.
【解法2】甲車共行了幾小時(shí)？
2+3=5（小時(shí)）
甲車共行了多少千米？
33×5=165（千米）
乙車行了多少千米？
28×3=84（千米）
兩城相距多少千米？
165+84=249（千米）
綜合算式： 33×（2+3）+28×3
【分析3】假設(shè)甲車開車時(shí)乙車也同時(shí)出發(fā)，即兩車同時(shí)行5小時(shí)相遇.這樣兩車共行的路程比兩城的實(shí)際距離多算了2個(gè)28千米.由此可求出兩城間的實(shí)際距離。
【解法3】假設(shè)兩車同時(shí)發(fā)車，共行了幾小時(shí)相遇？
2+3=5（小時(shí)）
兩車同時(shí)行5小時(shí)共行多少千米？
?。?3+28）×5=305（千米）
乙車比實(shí)際多計(jì)算了多少千米？
28×2=56（千米）
兩城相距多少千米？
305-56=249（千米）
綜合算式： （33+28）×（2+3）-28×2
=61×5-28×2
=305-56=249（千米）
【分析4】甲車先開出2小時(shí)，可假設(shè)為比實(shí)際晚開出1小時(shí)；而乙車假設(shè)為比實(shí)際早開出1小時(shí).這樣原題就假設(shè)為：甲乙兩車同時(shí)相向而行，經(jīng)過4小時(shí)相遇.但兩車所行路程的和比兩城實(shí)際距離少33-28=5（千米）.
【解法4】 （33+28）×（3+2÷2）+（33-28）
=61×4+5=244+5=249（千米）
答：兩城相距249千米.
【評(píng)注】解法1和解法2是一般方法，容易想到，易于理解和掌握.解法3和解法4是假設(shè)法，思路新穎，算式看起來麻煩，但運(yùn)算并不麻煩.
例6 甲、乙兩列火車同時(shí)從相距630千米的兩地相對(duì)行駛，6小時(shí)相遇.甲車每小時(shí)比乙車快5千米，問兩車的速度各是多少？
【分析1】先求甲乙兩車的速度和，再用速度和加上5千米，就等于甲車2小時(shí)的行程，再除以2，即得甲車速度.用甲車速度減去5千米，即得乙車速度.
【解法1】甲乙兩車的速度和是多少？
630÷6=105（千米）
甲車速度是多少？
?。?05+5）÷2=110÷2=55（千米）
乙車速度是多少？
55-5=50（千米）
綜合算式：甲車： （630÷6+5）÷2
=（105+5）÷2=110÷2=55（千米）
乙車：55-5=50（千米）.
【分析2】假設(shè)乙車速度與甲車速度相同，那么相遇時(shí)，甲乙兩車所行的路程和比兩地實(shí)際距離多計(jì)算了5×6=30（千米）.再用630千米加上30千米的和除以6小時(shí)，即得甲車2小時(shí)的行程.由此可先求甲車速度；再求乙車速度.
【解法2】假設(shè)乙車與甲車速度相同，共多計(jì)算多少千米？
5×6=30（千米）
甲車2小時(shí)行多少千米？
?。?30+30）÷6=660÷6=110（千米）
甲車每小時(shí)行多少千米？
110÷2=55（千米）
乙車每小時(shí)行多少千米？
55-5=50（千米）
綜合算式：甲車：（630+5×6）÷6÷2
=660÷6÷2=55（千米）
乙車：55-5=50（千米）.
【分析3】假設(shè)甲車速度與乙車速度相同，那么兩車所行路程的和比兩地的實(shí)際距離要少5×6=30（千米）.用630千米與30千米的差除以6小時(shí)，即得乙車2小時(shí)的行程.由此可先求乙車速度，再求甲車的速度.
【解法3】假設(shè)甲車與乙車速度相同，共少計(jì)算多少千米？
5×6=30（千米）
乙車2小時(shí)行多少千米？
?。?30-30）÷6=600÷6=100（千米）
乙車每小時(shí)行多少千米？
100÷2=50（千米）
甲車每小時(shí)行多少千米？
50+5=55（千米）
綜合算式：乙車：（630-5×6）÷6÷2
=600÷6÷2=50（千米）
甲車：50+5=55（千米）.
【分析4】根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=兩地距離”可列方程解.
【解法4】設(shè)乙車每小時(shí)行x千米，那么甲車每小時(shí)行（x+5）千米.
?。▁+5+x）×6=630
2x+5=630÷6
2x=630÷6-5
x=（630÷6-5）÷2
x=50
x+5=50+5=55
答：甲車每小時(shí)行55千米，乙車每小時(shí)行50千米.
【評(píng)注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法2和解法3是假設(shè)法，易于理解，運(yùn)算簡便，是較好的解法.解法4的方程解法還可設(shè)甲車速度為x，讀者可試試.
例7 客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩城之間的中點(diǎn)向相反的方向行駛，3小時(shí)后，客車到達(dá)甲城，貨車離乙城還有30千米.已知貨車的速度是客車的，甲、乙兩城相距多少千米？
【分析1】由題意可知，3小時(shí)內(nèi)貨車比客車少行30千米，由此可求出兩車的速度差，再除以對(duì)應(yīng)分率（1-），就可求出客車的速度，再求出乙車速度，最后根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=兩地距離”求出甲、乙兩城相距多少千米.
【解法1】貨車每小時(shí)比客車少行多少？
30÷3=10（千米）
客車每小時(shí)行多少千米？
10÷（1-）=40（千米）
貨車每小時(shí)行多少千米？
40-10=30（千米）
甲、乙兩城相距多少千米？
?。?0+30）×3+30=240（千米）
綜合算式： 30÷3÷（1-）×（1+
）×3+30
=30÷3÷××3+30
=40××3+30=240（千米）.
【分析2】因?yàn)?#8220;路程÷速度=時(shí)間”，而時(shí)間一定，所以兩車行駛的路程和兩車的速度成正比例，即貨車和客車的速度比就是它們所行路程的比。把轉(zhuǎn)化為3∶4，即貨車和客車的路程比.又知兩車所行路程的差是30千米，由此可求出兩城相距多少千米？
【解法2】 30÷（4-3）×（3+4）+30
=30÷1×7+30=240（千米）.
【分析3】根據(jù)“客車所行路程減去貨車所行路程等于30千米”這一等量關(guān)系列方程，先求出兩車的速度，再用速度和乘以相遇時(shí)間加上30千米，即得甲乙兩城相距多少千米.
【解法3】設(shè)客車每小時(shí)行x千米.
3x-x×=30
?。▁-x）×3=30
x=10
x=40
兩城距離：（40÷+40×）×3+30=240（千米）.
答：甲乙兩城相距240千米.
【評(píng)注】解法1是基本解法，易于理解，但計(jì)算較繁.解法3和解法1的數(shù)量關(guān)系及思路是基本相同的.解法2的思路簡捷，運(yùn)算也簡便，是本題的最佳解法.
例8 快車從甲城開往乙城，需要6小時(shí).慢車從乙城開往甲城，每小時(shí)行42.5千米.兩車同時(shí)開出2小時(shí)還相距132千米，快車每小時(shí)行多少千米？
【分析1】快車行全程需6小時(shí)，它已行了2小時(shí)，再剩下的路程，快車再行4小時(shí)就行完全程.也就是說，慢車2小時(shí)行駛的路程與132千米的和，快車用4小時(shí)即可行完.由此可求出快車每小時(shí)行多少千米.
【解法1】慢車2小時(shí)行了多少千米？
42.5×2=85（千米）
快車4小時(shí)可行駛多少千米？
85+132=217（千米）
快車每小時(shí)行多少千米？
217÷（6-2）=54.25（千米）
綜合算式： （42.5×2+132）÷（6-2）
=（85+132）÷4
=217÷4=54.25（千米）.
【分析2】因?yàn)榭燔囆腥绦枰?小時(shí)，已行了2小時(shí)，而快車沒行的路程是已行路程的（6-2）÷2=2（倍），由此可求出快車2小時(shí)行多少千米，再求每小時(shí)行多少千米.
【解法2】快車沒行的路程有多少千米？
42.5×2+132=85+132=217（千米）
快車沒行的路程是已行路程的幾倍？
?。?-2）÷2=2（倍）
快車已行了多少千米？
217÷2=108.5（千米）
快車每小時(shí)行多少千米？
108.5÷2=54.25（千米）
綜合算式： （42.5×2+132）÷[（6-2）÷2]÷2
=（85+132）÷[4÷]÷2
=217÷2÷2=54.25（千米）.
【分析3】因?yàn)榭燔嚸啃r(shí)行全程的，2小時(shí)就行全程的.快車沒行的路程是全程的1-=，用快車沒行的路程除以，即得全程有多少千米，再除以6小時(shí)，即得快車速度.
【解法3】快車還沒行的路程有多少？
42.5×2+132=85+132=217（千米）
甲乙兩城相距多少千米？
217÷（1-）=217÷=325.5（千米）
快車每小時(shí)行多少千米？
325.5÷6=54.25（千米）
綜合算式： （42.5×2+132）÷（1-）÷6
=（85+132）÷÷6
=217××=54.25（千米）.
【分析4】根據(jù)“兩城距離減去快車已行路程等于快車沒行的路程”這一等量關(guān)系列方程解.
【解法4】設(shè)快車每小時(shí)行x千米.
6x-2x=42.5×2+132
4x=217
x=54.25
答：快車每小時(shí)行54.25千米.
【評(píng)注】解法3是一般解法，計(jì)算較繁.解法4的等量確定恰當(dāng)，運(yùn)算也較簡便.解法1的思路更簡捷，更巧妙，運(yùn)算也更為簡便，是本題的最佳解法.
例9 一輛小汽車和一輛貨車同時(shí)從相距432千米的兩地相對(duì)開出，小時(shí)相遇.已知小汽車和貨車速度的比是9∶7，小汽車和貨車每小時(shí)各行多少千米？
【分析1】先用兩地距離除以相遇時(shí)間，即得小汽車和貨車的速度和，再運(yùn)用按比例分配的方法，把速度和按9∶7進(jìn)行分配，即可求出小汽車和貨車每小時(shí)各行多少千米.
【解法1】兩車的速度和是多少？
432÷=96（千米）
貨車每小時(shí)行多少千米？
96×=42（千米）
小汽車每小時(shí)行多少千米？
96×=54（千米）
綜合算式：小汽車： 432÷×
=432××（千米）
貨車： 432÷
=432×=42（千米）
或：54÷9×7=42（千米）
【分析2】因?yàn)?#8220;路程÷速度=時(shí)間”，而時(shí)間一定，所以兩車所行的路程和它們各自的速度成正比例.因此，兩車的速度比等于兩車所行的路程比.由此可把432千米按9∶7進(jìn)行分配，即可求出兩車的速度各是多少.
【解法2】小汽車共行了多少千米？
432÷（9+7）×9=432÷16×9=243（千米）
小汽車每小時(shí)行多少千米？
243÷=54（千米）
貨車共行了多少千米？
432÷（9+7）×7=189（千米）
貨車每小時(shí)行多少千米？
189÷=42（千米）
綜合算式：小汽車： 432×÷
=432×=54（千米）
貨車：54÷9×7=42（千米）.
【分析3】把9∶7轉(zhuǎn)化為，即貨車的速度是小汽車的，設(shè)小汽車的速度為x，那么貨車的速度為x.根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=兩地距離”這一等量關(guān)系，列方程求出兩車的速度各是多少.
【解法3】設(shè)汽車每小時(shí)行x千米.
?。▁+x）×=432
x+x=432÷
（1+）x=432×
x=96÷（1+）
x=54
貨車：54×=42(千米）.
答：小汽車每小時(shí)行54千米；貨車每小時(shí)行42千米.
【評(píng)注】本題是行程和比的知識(shí)綜合運(yùn)用的應(yīng)用題.解此類題的關(guān)鍵是注意對(duì)已知條件的轉(zhuǎn)化理解.如解法3是把比轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)來理解，使解題思路進(jìn)行了轉(zhuǎn)換.同時(shí)，還要注意對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用，如解法1運(yùn)用了行程應(yīng)用題和按比例分配的知識(shí)，解法2運(yùn)用了正比例的意義和按比例分配的知識(shí).比較以上三種解法，解法1是本題最佳解法.
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