哪里有數(shù)，哪里就有美?！樟_克洛斯（Proclus）
一、背景
古典希臘人把計算技術叫l(wèi)ogistica，而算術（arithmetica）則指數(shù)論。古典數(shù)學家蔑視計算技術，因它只談商業(yè)貿(mào)易的實際計算。從泰勒斯到歐幾里得的300年間，這門技術沒什么進展。
古典希臘人的數(shù)字系統(tǒng)有幾次演變。初期他們用一些特殊的符號和記號來表示數(shù)，并用一種算盤的之類的東西進行計算。大約公元前500年改用希臘數(shù)字系統(tǒng)。畢達哥拉斯學派是用石子來計算的，因“calculus計算”這個詞的原意是石子?！癮bacus算盤”的希臘文原意是沙，這說明在引用算盤以前，他們是在沙地上畫點記數(shù)的。然后不知為什么改成了完全用字母記數(shù)的愛奧尼亞制。這種記數(shù)制是亞歷山大時期希臘數(shù)學里最通用的，可以在托勒密的《至大論》中看到。古代敘利亞人和以色列人也用。
阿基米德的《數(shù)沙》給出了寫大數(shù)的一套方案，其重點不在于方案本身，而是發(fā)表了可以把數(shù)寫得大到不受限制的思想。
對于用上述方式寫出的整數(shù)的算術運算，同今天一樣用豎式加減進退位。分數(shù)是用單位分數(shù)之和表示的，但中間沒有加號。亞歷山大的希臘天文學家采用巴比倫人的60進制分數(shù)，托勒密的說法是為了避免用普通分數(shù)所引起的麻煩。
亞歷山大數(shù)學家把分數(shù)本身當作數(shù)來看待，并且隨意用來運算。而古典時期數(shù)學家則只提到整數(shù)之比，不提整數(shù)的部分，而且只在比例中用到比。
古典希臘時期回避開平方的運算，而無理數(shù)根本沒有地位。亞歷山大時期從海倫開始就用迭代法求平方根的近似值。
二、算術和代數(shù)作為一門獨立學科的發(fā)展
阿基米德、阿波羅尼奧斯和托勒密用算術來計算幾何量，用幾何代數(shù)法來保證數(shù)的運算的邏輯基礎，邁出了算術和代數(shù)獨立發(fā)展的第一步。而海倫、尼科梅切斯和丟番圖則把算術和代數(shù)問題本身作為問題來處理，既不依靠幾何引出，也不用它來作邏輯依據(jù)。這使算術和代數(shù)真正發(fā)展成了一門獨立學科。
1.海倫的工作
海倫用純粹算術方法提出和解決代數(shù)問題。他沒有采用特別的符號，而是用文字來陳述。例如：給定一正方形，知其面積與周長之和為896，求其一邊。這相當于今天求方程x2+4x=896的根。海倫的做法是兩邊加4配成完全平方然后開方。他不進行證明而只描述如何運算，而這正是古代埃及人和巴比倫人提出問題和解決問題的方式。對于海倫而言，代數(shù)是算術的推廣。
海倫在《幾何》一書中提到加一塊面積、一個周長和一個直徑，這些話的意思即加上它們的數(shù)值。同樣，當他說用一個正方形乘一個正方形，意即求兩個數(shù)值的乘積。
海倫在這方面的工作有時被人估計為希臘幾何學衰落的開始。但更應該作為巴比倫和埃及數(shù)學在希臘人手里的一個改進。
海倫發(fā)明的世界上第一臺自動販賣機
2.尼科梅切斯的工作
從算術以一門獨立學科重新出現(xiàn)這一角度來講，尼科梅切斯（Nichomachus，約公元100年）的著作是更重要的。他撰寫了包含兩篇的《算術入門Introductio Arithmetica》一書。這是第一本篇幅頗為可觀的完全脫離幾何講法的算術（意即數(shù)論）書。從歷史意義上講，它對于算術的重要性可以和歐幾里得的《原本》對于幾何的重要性相比。書中，數(shù)代表對象的數(shù)量而不再像歐幾里得書中那樣用線段來形象化。他只論述整數(shù)和整數(shù)的比。
尼科梅切斯使畢達哥拉斯的傳統(tǒng)重新活躍起來。他認為在柏拉圖所強調(diào)的四門學科（算術、幾何、音樂和天文）中，算術是其它各科之母，沒有算術別的學科就不能存在。而其它學科被取消，算術仍能存在。
《算術入門》的主要內(nèi)容是早期畢達哥拉斯派在算術方面的工作，尼科梅切斯講述了偶數(shù)、奇數(shù)、正方形數(shù)、矩形數(shù)和多角形數(shù)。他也論述了質(zhì)數(shù)和復合數(shù)以及六面體數(shù)【形式為n2 (n+1)的數(shù)】，此外又定義了別的許多種數(shù)。他給出了1到9的乘法表，和今日學習的九九表一模一樣。
尼科梅切斯比畢達哥拉斯學派更能發(fā)現(xiàn)一般性的關系（雖然并未證明）。例如：第（n-1）個三角形數(shù)加上第n個k角形數(shù)會得出第n個k+1角形數(shù)；第（n-1）個三角形數(shù)加上第n個正方形數(shù)得出第n個五角形數(shù)。
再如：第n個三角形數(shù)，第n個正方形數(shù)，第n個五角形數(shù)等形成一個遞進算術數(shù)列，其公差為第（n-1）個三角形數(shù)。
他發(fā)現(xiàn)：若奇數(shù)1、3、5、7、9、11、13、15、17......的第一數(shù)是1的立方，其后兩數(shù)之和是2的立方，再往下三個數(shù)之和是3的立方......
尼科梅切斯給出四個完全數(shù)6、28、496、8128，并重復給出歐幾里得關于完全數(shù)的公式。他把各種各樣的比加以分類，并給他們起名，其中包括（m+1）：m，（2m+n）：（m+n）以及（mn+1）：n。這些比在音樂上很重要。
他也研究比例，并說這對“自然科學、音樂、球面三角和平面幾何，尤其是對于研究古代數(shù)學家”非常必要。他給出好多類比例，其中有音樂比例
他又給出埃拉托斯特尼篩，這是較快得出質(zhì)數(shù)的方法。先把3以后的奇數(shù)寫下來，然后劃掉3的倍數(shù)，其次去掉5的倍數(shù)，然后去掉7的倍數(shù)......剩下的數(shù)連同2就是質(zhì)數(shù)。
尼科梅切斯用舉例來說明和解釋他提出的定理，不用演繹證明。
《算術入門》之所以有價值，是因為他對整數(shù)和整數(shù)之比的算術作了有系統(tǒng)、有條理、清楚而內(nèi)容豐富的敘述，而且完全不依賴于幾何。里面還收集了關于數(shù)的思辨方面的、美學上的、神秘性的道德性的臆說，但沒有談實際應用?！端阈g入門》在此后1000年間成為一本標準課本。自尼科梅切斯之后，算術而不是幾何成為風行于亞歷山大時期的學問。
用代數(shù)技巧解問題的書也問世了。有些問題正是公元前2000年巴比倫書本里或萊因德草片紙上所載的。自尼科梅切斯之后，人們拿那些導出方程的代數(shù)題作為一般消遣的難題。這種題目約有50到60個保留在10世紀的一本書里（Palatine Codex of Greek Epigrams）。這里面至少有30題被認為是梅特羅多魯斯（Metrodorus，約公元500年）所提出的，但肯定以前就有：阿基米德牛群問題，歐幾里得提出的關于騾子和驢馱運糧食的問題，求桶里注滿水所需時間的問題以及年齡問題。
3.丟番圖的工作
亞歷山大時期的希臘代數(shù)到丟番圖（Diophantus，約公元246—330年）時臻于最高點。他是代數(shù)學的創(chuàng)始人之一，對算術理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式，以代數(shù)學聞名于世。他的著作遠遠超出他的同時代人，但可惜出來得太晚而不能對他那個時代起太大影響，因為一股吞噬文明的毀滅性浪潮正在掀起。
代數(shù)之父——丟番圖
《算術》（Arithmetica）是丟番圖最重要的著作，也是代數(shù)史上影響深遠的一部著作，可與《幾何原本》一較高下。全書共13卷，但15世紀發(fā)現(xiàn)的希臘文本僅6卷。1973年伊朗境內(nèi)的馬什哈德又發(fā)現(xiàn)了4卷阿拉伯文，這樣，現(xiàn)存的有10卷，共290個問題。
1621年版《算術》
作者在題詞中說這是為幫助學生學習這門課而寫的一些練習題。丟番圖作出的一步重大的進展是在代數(shù)中采用一套符號。他使用三次以上的高次乘冪更是件了不起的事。古典希臘數(shù)學家不能也不愿考慮含三個以上因子的乘積，因為這種乘積沒有幾何意義。但在純算術中，這種乘積卻確有其意義；這正是丟番圖所采取的觀點。因此套記號，后人把丟番圖的代數(shù)稱作縮寫代數(shù)，而把埃及、巴比倫、海倫和尼科梅切斯的代數(shù)稱作文字敘述代數(shù)。從此代數(shù)擺脫了幾何的束縛，直到解析幾何出現(xiàn)，兩者的重要程度完全易位。
丟番圖的解題步驟是像散文那樣一個字接著一個字寫的。他做的運算是純算術性的，不求助于幾何直觀來作具體說明。他還應用了恒等式和換元法，雖然并未明確名稱。
《算術》第一篇的內(nèi)容主要是那些引出確定的一元或多元一次方程的問題。其余五篇的內(nèi)容主要是二次不定方程。
第一篇，問題27：求兩數(shù)使其和為20而乘積為96。
丟番圖的解法：2x為兩數(shù)之差，兩數(shù)分別為x+10和x-10，于是100-x2=96，x=2，兩數(shù)分別為12與8。這個解法用到均值與和差的技巧。
丟番圖代數(shù)的最突出之點是他對不定方程的解法。他是這門代數(shù)的創(chuàng)立人，這門代數(shù)如今就稱作丟番圖分析。
丟番圖所解問題包括一次、二次、三次和高次方程。
第一篇，問題8：把一給定平方數(shù)分成兩個平方數(shù)。
取16作為給定的平方數(shù)，得出256 /25和144 /25。這個問題經(jīng)費馬（Pierre de Fermat）加以推廣，使他提出x^m + y^m = z^m當m > 2時就無解?！M馬大定理！
第二篇，問題9：已給一數(shù)為兩個平方數(shù)之和，把它分為另外兩個平方數(shù)之和。
取13 = 4 + 9作為所給的數(shù)，得出結果是324/25及1/25。
第三篇，問題6：求三個數(shù)，使它們的和以及它們之中任兩數(shù)的和都是平方數(shù)。
丟番圖給出80、320和41。
第四篇，問題1：把一給定的數(shù)分為兩個立方數(shù)，并使其每邊之和為給定的數(shù)。
丟番圖以370為給定的數(shù)，以10為給定的兩邊之和，得出343及27。所謂邊是指立方數(shù)的立方根。
第四篇，問題29：把一給定的數(shù)表示為四個平方數(shù)與其各邊之和。
以12為給定的數(shù)，他得出四平方數(shù)為121/100、49/100、361/100和169/100。它們的邊是每個平方數(shù)的平方根。
第六篇，問題1：求一（有理邊）直角三角形，使斜邊減去每直角邊后得出一立方數(shù)。
丟番圖湊巧得出整數(shù)解40、96和104。但他一般得出的是有理數(shù)根。
丟番圖只接受正有理根而忽略所有其他根。甚至當二次方程有兩正根時，他也只給出較大的一個。當一個方程在求解過程中明顯看出要有兩個負根或虛根時，他就放棄這個方程，說它是不可解的。在出現(xiàn)無理根的情況下，他就倒算回去，指出怎樣改變一下方程，就能使新方程具有有理根。這方面丟番圖和阿基米德以及海倫不同。海倫是個測繪人員，他接受無理數(shù)，但為得出有用的數(shù)值便取近似值。阿基米德當解是無理數(shù)時就用不等式來限定它的范圍。丟番圖是個純代數(shù)學家，由于他那個時代的代數(shù)不承認無理數(shù)、負數(shù)和復數(shù)，他就放棄具有這種解的方程。但丟番圖承認分數(shù)是數(shù)，而不僅僅把它看成整數(shù)之比。
丟番圖在把各類方程轉化為他能解的形式方面才華橫溢，但沒有一般性的方法?！端阈g》里的290個問題每個都用不同的方法解。他的問題共有50多種類型，但他沒有試圖進行分類。他的方法更接近于巴比倫人甚于他的希臘前輩，但超過巴比倫人的地方是引用了一套符號并解了不定方程?！端阈g》里吸收了巴比倫人的計算技巧，而這是被柏拉圖排斥在數(shù)學之外的。
丟番圖解個別問題所用方法之多使人目不暇接，但未能擊節(jié)嘆賞。他是個巧妙而聰明的解題能手，但顯然不夠深刻，未能看出他所用方法的實質(zhì)而加以概括。（現(xiàn)今的丟番圖分析仍然是由個別孤立問題組成的一團亂麻。）他不像一個探求普遍概念的深邃思想家，而只是為了尋求正確的解答。他只有很少數(shù)的結果可說是具有一般性的意義——如形式為4n+3的質(zhì)數(shù)不能表為兩平方數(shù)之和。歐拉（Euler）曾認為丟番圖是用特例來說明一般方法的，因為那時候未能用字母來代表系數(shù)。還有別的人相信丟番圖認識到他的材料是屬于抽象的基本科學的。不過整個說來他的工作在代數(shù)上是永垂不朽的。
丟番圖的墓碑上有很經(jīng)典的一道數(shù)學題目（答案是他死時歲數(shù)）：
'墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路。
上帝給予的童年占六分之一，
又過了十二分之一，兩頰長胡，
再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。
五年之后天賜貴子，
可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。
悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，又過了四年，他也走完了人生的旅途。
終于告別數(shù)學，離開了人世。
今日數(shù)學里非常重要的一件事卻在希臘代數(shù)里遺漏了，這就是用字母來代表一類數(shù)，例如方程中的系數(shù)。亞里士多德、歐幾里得、帕普斯等人曾有過這種做法，但都沒有認識到字母表示法在增進代數(shù)方法的功效與其普遍性方面作用是何等巨大。
亞歷山大時期代數(shù)的另一特色是缺乏任何明晰的演繹結構，整數(shù)、分數(shù)和無理數(shù)等各種類型的數(shù)未經(jīng)定義。也沒有一套公理來建立演繹結構，數(shù)學家就像開藥方子一樣只說怎么做，卻沒有為什么這么做的說明。歐幾里得、阿波羅尼奧斯和阿基米德著作中那種演繹的、條理井然的證明全然不見。所解的問題都是歸納性質(zhì)的，就是說它們所指明的解具體問題的方法雖然能應用于一般性的一類問題，但并未規(guī)定應用的范圍能有多廣。
由于古典希臘學者所做的工作，使人覺得數(shù)學結果好像都是依據(jù)一組明文規(guī)定的公理用演繹法推出來的，因此出現(xiàn)獨立的一門算術和代數(shù)而竟無其自身的邏輯結構這種情況，就成為數(shù)學史上的一大問題。雖然亞歷山大的希臘代數(shù)學家是一點不在乎這一缺陷，但以后可以看到這確使歐洲數(shù)學家深感不安。
下一講希臘數(shù)學與自然的關系。
