楊輝，漢族，錢塘（今杭州）人，中國古代數(shù)學家和數(shù)學教育家。由現(xiàn)存文獻可推知，楊輝擔任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學家。與秦九韶、李冶、朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家。
楊輝一生留下了大量的著述，他著名的數(shù)學書共五種二十一卷，它們是：《詳解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通變本末》3卷(1274年，第3卷與他人合編)，《田畝比類乘除捷法》2卷(1275年)，《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275年，與他人合編)，其中后三種為楊輝后期所著，一般稱之為《楊輝算法》。他非常重視數(shù)學教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的'習算綱目'是中國數(shù)學教育史上的重要文獻。
《詳解九章算法》現(xiàn)傳本已非全帙，編排也有錯亂。從其序言可知，該書乃取魏劉微注、唐李淳風等注釋、北宋賈憲細草的《九章算術(shù)》中的80問進行詳解。在《九章算術(shù)》9卷的基礎上，又增加了3卷，一卷是圖，一卷是講乘除算法的，居九章之前；一卷是纂類，居書末今卷首圖、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰諸題、卷6商功的諸同功問題已佚。卷4衰分下半卷、卷5少廣存《永樂大典》殘卷中，其余存《宜稼堂叢書》中。從殘本的體例看，該書對《九章算術(shù)》的詳解可分為：一、解題。內(nèi)容為解釋名詞術(shù)語、題目含義、文字校勘以及對題目的評論等方面。二、明法、草。在編排上，楊輝采用大字將賈憲的法、草與自己的詳解明確區(qū)分出來。三、比類。選取與《九章算術(shù)》中題目算法相同或類似的問題作對照分析。四、續(xù)釋注。在前人基礎上，對《九章算術(shù)》中的80問進一步作注釋。楊輝的“纂類”，突破《九章算術(shù)》的分類格局，按照解法的性質(zhì)，重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。
楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”。
楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
.....................................
楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和。
《日用算法》，原書不傳，僅有幾個題目留傳下來。從《算法雜錄》所引楊輝自序可知該書內(nèi)容梗概：“以乘除加減為法，秤斗尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流，命題須責實有，分上下卷。”該書無疑是一本通俗的實用算書。
《乘除通變本末》三卷，皆各有題，在總結(jié)民間對等算乘除法的改進上作出了重大貢獻。上卷叫《算法通變本末》，首先提出“習算綱目”，是數(shù)學教育史的重要文獻，又論乘除算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論以加減代乘除、求一、九歸諸術(shù)；下卷叫《法算取用本末》，是對中卷的注解。
《田畝比類乘除捷法》，其上卷內(nèi)容是《詳解九章算法》方田章的延展，所選例子非常貼近實際。下卷主要是對劉益工作的引述。楊輝在《田畝比類乘除捷法》序中稱“中山劉先生作《議古根源》?！芍碧镅荻伟匍g，信知田體變化無窮，引用帶從開方正負損益之法，前古之所未聞也。作術(shù)逾遠，罔究本源，非探噴索隱而莫能知之。輝擇可作關(guān)鍵題問者重為詳悉著述，推廣劉君垂訓之意?！薄短锂€比類乘除捷法》卷下征引了《議古根源》22個問題，主要是二次方程和四次方程的解法。
《續(xù)古摘奇算法》上卷首先列出20個縱橫圖，即幻方。其中第一個為河圖，第二個為洛書，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各兩個，九行、十行幻方各一個，最后有“聚五”“聚六”：聚八”“攢九”“八陣”“連環(huán)”等圖。有一些圖有文字說明，但每一個圖都有構(gòu)造方法，使圖中各自然數(shù)“多寡相資，鄰壁相兼”湊成相等的和數(shù)。卷下評說《海島》也有極高的科學價值。
楊輝著作大都注意應用算術(shù)，淺近易曉。其著作還廣泛征引數(shù)學典籍和當時的算書，中國古代數(shù)學的一些杰出成果，比如劉益的“正負開方術(shù)”，賈憲的“開方作法本源圖”“增乘開方法，”幸得楊輝引用，否則，今天將不復為我們知曉。
主要研究成果
楊輝的數(shù)學研究與數(shù)學教育工作之重點在于改進籌算乘除計算技術(shù)，總結(jié)各種乘除捷算法，這是由當時的社會狀況決定的。唐代中期以后，社會經(jīng)濟得到較大發(fā)展，手工業(yè)和商業(yè)交易都具有相當?shù)囊?guī)模，因而，人們在生產(chǎn)、生活中需要數(shù)學計算的機會，較前大大增加，這種情況迫切要求數(shù)學家們?yōu)槿藗兲峁┍阌谡莆?、快捷準確的計算方法。為適應社會對數(shù)學的這種需求，中晚唐時期出現(xiàn)了一些實用的算術(shù)書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術(shù)》，被宋人誤認為《夏侯陽算經(jīng)》而坎坷流傳到現(xiàn)在外，其余都已失傳?！俄n延算術(shù)》大約編寫于公元770年前后，書中介紹了很多乘除捷算法的例子。比如，某數(shù)乘以42可以化為某數(shù)乘以6，再乘以7；某數(shù)除以12可以化為某數(shù)除以2，再除以6。對于更復雜的問題可同樣處理。通過將乘數(shù)、除數(shù)分解為一位數(shù)，可以使運算在一行內(nèi)實現(xiàn)，簡化了運算，提高了速度。韓延還介紹了其他一些簡捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北宋科學家沈括也總結(jié)了增成、重因等捷算法。
楊輝生活在南宋商業(yè)發(fā)達的蘇杭一帶，進一步發(fā)展了乘除捷算法。他說：“乘除者本鉤深致遠之法?！吨改纤惴ā芬浴訙p’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑，學者豈容不曉，宜兼而用之?！痹谇叭说幕A上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數(shù)為一位數(shù)的乘法；二曰“重因“，即乘數(shù)可分解為兩個一位數(shù)的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數(shù)末位為一的兩位數(shù)乘法，比如257×21=257×20十257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數(shù)乘法化為一位數(shù)乘法和加法來完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數(shù)可分解為兩因數(shù)的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當乘數(shù)為9、8、7時，可以10倍被乘數(shù)中，減去被乘數(shù)的—、二、三倍。楊輝還進一步發(fā)展了唐宋相傳的求一算法，總結(jié)出了“乘算加法五術(shù)”、“除算減法四術(shù)”。求一實際上就是通過倍、折、因?qū)⒊顺龜?shù)首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術(shù)”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數(shù)為11至19的，用加一位；乘數(shù)為l0l至199的，用加二位法；乘數(shù)可分為兩因數(shù)的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數(shù)為101至l09時，用隔位加；乘數(shù)為21至29、20l至299時，用連身加。例如，342×56的計算，用現(xiàn)代符號寫出，便是：342×56=342×112十2=(34200十342×l2)十2=(34200十3420十342×2)十2。其“除算減法四木”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。
北宋初年出現(xiàn)的一種除法——增成法，在楊輝那里得到進一步的完善。增成法的優(yōu)點在于用加倍補數(shù)的辦法避免了試商，但對于位數(shù)較多的被除數(shù)，運算比較繁復，后人改進了它，總結(jié)出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣32句，分為“歸數(shù)求成十”、“歸數(shù)自上加”，“半而為五計”三類。
客觀上講，楊輝不遺余力改進計算技術(shù)，大大加快了運算工具改革的步伐。隨著籌算歌訣的盛行，運算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應運而生了，及至元末，已經(jīng)廣為流行。
縱橫圖，即所謂的幻方。早在漢鄭玄《易緯注》及《數(shù)術(shù)記遺》都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上神秘的色彩。楊輝創(chuàng)“縱橫圖”之名。在所著《續(xù)古摘奇算法》上卷作出了多種多樣的圖形。圖ll是四階縱橫圖；圖12是百子圖，即十階縱橫圖。 其每行每列數(shù)之和為50—5(對角線數(shù)字之和不是505)；圖13是“聚八”圖，楊輝按“二十四子作三十二子用”設子的這種幻方共有四圈，每圈數(shù)字之和為100； 圖14是“攢九”圖，用前33個自然數(shù)排列，達到“斜直周圍各一百四十七”的效果。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構(gòu)造規(guī)律有所認識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的系統(tǒng)研究和記錄。自楊輝以后，明清兩代中算家關(guān)于縱橫圖的研究相繼不斷。
楊輝的另一重要成果是垛積術(shù)。這是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)求和的研究。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敘了若干二階等差級數(shù)求和公式，其中除有一個即沈括的當童垛外，還有三角垛、四隅垛、方垛三式，用現(xiàn)今的記號表示就相當于下面三式：
上述三式可由沈括之芻童公式推出。
對數(shù)學重新分類也是楊輝的重要數(shù)學工作之一。楊輝在詳解《九章算術(shù)》的基礎上，專門增加了一卷“纂類”，將《九章》的方法和246個問題按其方法的性質(zhì)重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。
楊輝不僅是一位著述甚豐的數(shù)學家，而且還是一位杰出的數(shù)學教育家。他一生致力于數(shù)學教育和數(shù)學普及，其著述有很多是為了數(shù)學教育和普及而寫。《算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現(xiàn)了楊輝的數(shù)學教育思想和方法。
