我國古代數(shù)學(xué)取得的光輝成就，是人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中邁出的重要步伐，遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在世界的前列。擴(kuò)大了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，在人類認(rèn)識和改造世界過程中發(fā)揮了重要作用。
勾股定理是一個(gè)基本幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。
世界上幾個(gè)文明古國如古巴比倫、古埃及都先后研究過這條定理。我國是最早了解勾股定理的國家之一，被稱為“商高定理”。
成書于公元前1世紀(jì)的我國最古老的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，記載了周武王的大臣周公詢問皇家數(shù)學(xué)家商高的話，其中就有勾股定理的內(nèi)容。
這段話的內(nèi)容是，周公問：“我聽說你對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么關(guān)于天的高度和地面的一些測量的數(shù)據(jù)是怎么樣得到的呢？”
商高說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對圓和方這些圖形的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么，它的斜邊‘弦’就必定是5?！?/p>
這段對話，是我國古籍中“勾三、股四、弦五”的最早記載。
用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來表述就是：在任何一個(gè)不等腰的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方。也可以理解成兩個(gè)長邊的平方之差與最短邊的平方相等。
基于上述淵源，我國學(xué)者一般把此定理叫作“勾股定理”或“商高定理”。
商高沒有解答勾股定理的具體內(nèi)容，不過周公的后人陳子曾經(jīng)運(yùn)用他所理解的太陽和大地知識，運(yùn)用勾股定理測日影，以確定太陽的高度。這是我國古代人民利用勾股定理在科學(xué)上進(jìn)行的實(shí)踐。
周公的后人陳子也成了一個(gè)數(shù)學(xué)家，是他詳細(xì)地講述了測量太陽高度的全套方案。這位陳子是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)權(quán)威，《周髀算經(jīng)》這本書，除了最前面一節(jié)提到商高以外，剩下的部分說的都是陳子的事。
據(jù)《周髀算經(jīng)》說，陳子等人的確以勾股定理為工具，求得了太陽與鎬京之間的距離。為了達(dá)到這個(gè)目的，他還用了其他一系列的測量方法。
陳子用一只長8尺，直徑0.1尺的空心竹筒來觀察太陽，讓太陽恰好裝滿竹筒的圓孔，這時(shí)候太陽的直徑與它到觀察者之間距離的比例正好是竹筒直徑和長度的比例，即1比80。
經(jīng)過諸如此類的測量和計(jì)算，陳子和他的科研小組測得日下60000里，日高80000里，根據(jù)勾股定理，求得斜至日整10萬里。這個(gè)答案現(xiàn)在看來當(dāng)然是錯(cuò)的。但在當(dāng)時(shí)，陳子對他的方案充分信心。他進(jìn)一步闡述這個(gè)方案：
在夏至或者冬至這一天的正午，立一根8尺高的竿來測量日影，根據(jù)實(shí)測，正南1000里的地方，日影1.5尺，正北1000里的地方，日影1.7尺。這是實(shí)測，下面就是推理了。
越往北去，日影會越來越長，總有一個(gè)地方，日影的長會正好是6尺，這樣，測竿高8尺，日影長6尺，日影的端點(diǎn)到測竿的端點(diǎn)，正好是10尺，是一個(gè)完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。
這時(shí)候的太陽和地面，正好是這個(gè)直角三角形放大若干倍的相似形，而根據(jù)剛才實(shí)測數(shù)據(jù)來說，南北移動(dòng)1000里，日影的長短變化是0.1尺，那由此往南60000里，測得的日影就該是零。也就是說從這個(gè)測點(diǎn)到“日下”，太陽的正下方，正好是60000里，于是推得日高80000里，斜至日整10萬里。接下來，陳子又講天有多高地有多大，太陽一天行幾度，在他那兒都有答案。
陳子根本沒有想到這一切都是錯(cuò)的。他要是知道他腳下大得沒邊的大地，只不過是一個(gè)小小的寰球，體積是太陽的一百三十萬分之一，就像飄在空中的一粒塵土，真不知道他會是什么表情。
書的最后陳子說：一年有365天4分日之一，有12月19分月之7，一月有29天940分日之499。這個(gè)認(rèn)識，有零有整，而且基本上是對的?，F(xiàn)在大家都知道一年有365天，好像不算是什么學(xué)問，但在那個(gè)時(shí)代，陳子的學(xué)問不是那么簡單的，雖然他不是全對。
勾股定理的應(yīng)用，在我國戰(zhàn)國時(shí)期另一部古籍《路史后記十二注》中也有記載：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溢的災(zāi)害，也是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。
勾股定理在幾何學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，較早的案例有《九章算術(shù)》中的一題：有一個(gè)正方形的池塘，池塘的邊長為1丈，有一棵蘆葦生長在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，問水深和蘆葦?shù)母叨雀鞫嗌伲?/p>
這是一道很古老的問題，《九章算術(shù)》給出的答案是“12尺”、“13尺”。這是用勾股定理算出的結(jié)果。
漢代的數(shù)學(xué)家趙君卿，在注《周髀算經(jīng)》時(shí)，附了一個(gè)圖來證明“商高定理”。這個(gè)證明是400多種“商高定理”的證明中最簡單和最巧妙的。外國人用同樣的方法來證明的，最早是印度數(shù)學(xué)家巴斯卡拉·阿查雅，那是1150年的時(shí)候，可是比趙君卿還晚了1000年。
東漢初年，根據(jù)西漢和西漢時(shí)期以前數(shù)學(xué)知識積累而編纂的一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》里面，有一章就是講“商高定理”在生產(chǎn)事業(yè)上的應(yīng)用。
直至清代才有華蘅芳、李銳、項(xiàng)名達(dá)、梅文鼎等創(chuàng)立了這個(gè)定理的幾種巧妙的證明。
勾股定理是人們認(rèn)識宇宙中形的規(guī)律的起點(diǎn)，在東西方文明起源過程中，有著很多動(dòng)人的故事。
我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的第九章即為勾股術(shù)，并且整體上呈現(xiàn)出明確的算法和應(yīng)用性特點(diǎn)，表明已懂得利用一些特殊的直角三角形來切割方形的石塊，從事建筑廟宇、城墻等。
這與歐幾里得《幾何原本》第一章的畢達(dá)哥拉斯定理及其顯現(xiàn)出來的推理和純理性特點(diǎn)恰好形成熠熠生輝的對比，令人感慨。
