初中的主要數(shù)學課程是幾何與代數(shù)。“代數(shù)”一詞，是九世紀時亞細亞的數(shù)學家阿里?花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一詞，是從阿里?花拉子模那里來的。我國從1711年清朝康熙五十年起，先后音譯作“阿爾朱巴爾”、“阿爾熱巴拉”、“阿爾熱八達”等。1859年清朝咸豐九年，李善蘭與偉烈亞力合譯的《代數(shù)學》，是我國意譯“Algebra”為“代數(shù)”的開始。
前面已經(jīng)說過，解析幾何的出現(xiàn)，使人們可以通過解代數(shù)方程來解答幾何問題。因此，規(guī)尺作圖三大難題的解決，同代數(shù)方程的解掛上了鉤。
但是，很多數(shù)學史的書上只說阿里?花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人，原因是丟番都當時認為只有根式下的數(shù)是一個完全平方時，方程才能算有解，并且丟番都只承認正根。
到了16世紀，意大利數(shù)學家卡爾丹和他的學生費爾拉利，相繼發(fā)表了用根式求解三次方程與四次方程的方法?？柕ぴ诎l(fā)表三次方程的公式證明時曾聲明，公式是威尼斯的塔爾塔利亞告訴他的。這個公式實際上是公元1500年左右波侖亞的數(shù)學教授非爾洛最先研究，幾經(jīng)轉(zhuǎn)折，為塔爾利亞完全掌握，在卡爾丹保證保密后告訴了卡爾丹的，但六年后，卡爾丹給出證明發(fā)表了。數(shù)學界稱這個公式為卡爾丹公式。
由于無論是二次方程、三次方程還是四次方程，都能通過根式求它的一般解，于是很多數(shù)學家，爭相研究和尋找根式求解五次方程的公式。經(jīng)歷16世紀的后半葉、17世紀、18世紀，直到19世紀初，很多數(shù)學家和數(shù)學愛好者，都把它作為檢驗自己才能的試金石，可是毫無例外，他們都失敗了。
根式解法雖然沒有找到，可是人們卻積累了很多的經(jīng)驗和知識，特別值得一提的，是法國數(shù)學家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作，而且提出這是整個問題的關(guān)鍵。他還指出用根號解五次以上的方程，是不可能解決的問題之一?？墒牵麑Σ豢赡軟]有給出什么證明，他就這個問題的困難性說：“它好像是在向人類的智慧挑戰(zhàn)。”人類的智慧終于奪得了勝利。
在拉格朗日去世后11年的1824年，挪威22歲的數(shù)學家阿貝爾，證明了一般五次以上的代數(shù)方程，它們的根式解法是不存在的。這就是說，除了某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解外，許多五次以上的方程，把它的系數(shù)看成字母，無論由這些字母組成什么樣的千奇萬狀的根式，都不可能是這個方程的根。延續(xù)300年的難題解決了。阿貝爾的成果轟動了世界！
阿貝爾一方面證明了有的方程不能用根式解；另一方面也可以舉例證明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么來判斷呢？阿貝爾沒有來得及解決這一問題。因為他少年時期備受貧困折磨。身體十分虛弱，在27歲上，就害癆病死了。
科學的接力棒總是要繼續(xù)往下傳的。法國數(shù)學家伽羅華在阿貝爾去世后的第二年，完成了這一項艱巨的工作。可惜他的生命更加短促，只活了21歲。
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