外爾
張奠宙
(華東師范大學(xué))
外爾，H(Weyl，Hermann)1885年11月9日生于德國的埃爾姆斯霍恩；1955年12月8日卒于瑞士蘇黎世．?dāng)?shù)學(xué)，數(shù)學(xué)物理．
外爾出生在鄰近漢堡的一個(gè)小鎮(zhèn)上．父親路德維希(Ludwig)是銀行家，母親安娜(Anna)在家里照料孩子．外爾在鄉(xiāng)鎮(zhèn)上度過了少年時(shí)代，并在阿爾托納的一所文法中學(xué)讀書．雖說鄉(xiāng)下的孩子往往比較閉塞，見識不廣，但外爾在中學(xué)時(shí)已讀過Ⅰ．康德(Kant)的《純粹理性批判》(Critique of Puve Reason，1781)．他回憶說：“這書立即打動了我的心．”
1904年，外爾從這所中學(xué)畢業(yè)．當(dāng)時(shí)的校長是德國大數(shù)學(xué)家D．希爾伯特(Hilbert)的表兄弟，遂將外爾介紹到希爾伯特所在的格丁根大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)．從此，外爾踏上了數(shù)學(xué)之路，并成為日后希爾伯特的繼承人．
在格丁根的第一年，外爾讀了許多課程．其中包括希爾伯特的課“化圓為方與數(shù)的理論”．新世界的門向他打開了．1905年夏天，外爾帶著希爾伯特的輝煌作品“數(shù)論報(bào)告”(Der Zahlbericht)回家去．他回憶說：“整個(gè)暑假我在沒有初等數(shù)論和E．伽羅瓦(Galois)理論這些準(zhǔn)備知識的情況下，自己盡力搞懂它．這幾個(gè)月是我一生中最快樂的幾個(gè)月，經(jīng)歷了我們共同分擔(dān)的疑慮和失敗的許多歲月之后，它的光輝仍撫慰著我的心靈．”外爾曾這樣描述希爾伯特對青年人的影響：“他所吹奏的甜蜜的蘆笛聲，誘惑了許多老鼠追隨他跳入數(shù)學(xué)的深河”．外爾自己就是這些“老鼠”中的一個(gè)．
在格丁根讀了一年書之后，外爾按慣例要到另一所大學(xué)求學(xué)一年．他到了慕尼黑大學(xué)．1906年重返格丁根．1907年，外爾投入積分方程的研究．一年之后，以“奇異積分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的論文獲得博士學(xué)位．他在格丁根一直呆到1913年．1910年起任無薪講師(privatdozent)，在講授函數(shù)論等課程的同時(shí)，他開拓了新領(lǐng)域“黎曼面”．
1913年，外爾和J．海倫(Joseph Helen)結(jié)婚．海倫是格丁根大學(xué)哲學(xué)系的著名才女．他們有兩個(gè)兒子．其中J．外爾也是數(shù)學(xué)家．父子曾合著《亞純函數(shù)和解析曲線》(Meromorphicfounctions and analytic curves，1943)．
就在結(jié)婚的同一年，外爾受聘為位于蘇黎世城的瑞士聯(lián)邦工學(xué)院的教授．這時(shí)，大物理學(xué)家A．愛因斯坦(Einstein)也在那里執(zhí)教，他們經(jīng)常交談．愛因斯坦的物理學(xué)新思想給外爾留下了深刻的印象．
1915年，正值第一次世界大戰(zhàn)，外爾服了一年兵役．1916年重返蘇黎世．此后的十余年，是外爾數(shù)學(xué)創(chuàng)造的全盛時(shí)期．外爾在蘇黎世的生活是幸福的；他曾說，那時(shí)打擾他平靜生活的最糟糕的事是外國大學(xué)請他去執(zhí)教的一連串邀請．但是在內(nèi)心深處，外爾仍然向往格丁根大學(xué)，希望回到希爾伯特身邊．因?yàn)樗摹案痹谀抢?，他要到那里攝取營養(yǎng)，獲得新的動力．1923年，格丁根大學(xué)邀他回去接替退休的F．克萊因(klein)．當(dāng)時(shí)德國政治形勢動蕩，經(jīng)濟(jì)一團(tuán)糟．外爾躊躇再三，拿著“接受邀請”的電文到電報(bào)局，可到了拍發(fā)時(shí)，又改變了主意，辭謝了邀請．1930年夏天，格丁根大學(xué)又邀他回去接替希爾伯特．盡管這時(shí)德國政治、經(jīng)濟(jì)形勢仍然不好，但外爾終于接受了邀請．他寫信給老師：“應(yīng)召作為你的繼任，我內(nèi)心的欣喜和自豪是無法用言詞來形容的”．
但是外爾在格丁根沒有呆很長時(shí)間．30年代的德國，法西斯的濁流在到處蠢動，排猶的風(fēng)潮越演越烈．外爾本人雖不是猶太人，可是他的妻子海倫是半個(gè)猶太人．1933年1月，希特勒上臺，局勢極度動蕩，大批猶太科學(xué)家離開德國．作為格丁根大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的領(lǐng)導(dǎo)人，整個(gè)春天和夏天，外爾寫信，去會見政府官員，但什么也改變不了．夏日將盡，人亦如云散．外爾去瑞士度假，仍想回德國，希望通過自己的努力來保住格丁根的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)．可是美國的朋友極力勸他趕快離開德國：“再不走就太晚了！”美國普林斯頓高級研究院為他提供了一個(gè)職位．早在那里的愛因斯坦說服了外爾．從此，他和海倫在大西洋彼岸渡過了后半生．
到普林斯頓時(shí)，外爾已經(jīng)48歲，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造黃金時(shí)期已經(jīng)過去．于是他從“首席小提琴手”轉(zhuǎn)到“指揮”的位置上．他象磁石一樣吸引大批數(shù)學(xué)家來到普林斯頓，用他淵博的知識、深邃的才智給年輕人指引前進(jìn)的方向．普林斯頓取代格丁根成為世界數(shù)學(xué)中心，外爾的作用顯然是舉足輕重的．無數(shù)的年輕人懷念外爾對他們的幫助，用最美好的語言頌揚(yáng)他的為人，其中有一個(gè)是中國學(xué)者陳省身．1985年，陳省身回憶他和外爾的交往時(shí)寫道：
“我1943年秋由昆明去美國普林斯頓，初次會到外爾．他當(dāng)然知道我的名字和我的一些工作．我對他是十分崇拜的．……外爾很看重我的工作，他看了我關(guān)于高斯(Gauss)-博內(nèi)(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜．我們有很多的來往，有多次的長談，開拓了我對數(shù)學(xué)的看法．歷史上是否會再有象外爾這樣廣博精深的數(shù)學(xué)家，將是一個(gè)有趣的問題．”
外爾在美國也繼續(xù)做一些研究工作．他寫的《典型群，其不變式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代數(shù)數(shù)論》(Algebraic theory of numbers，1940)使希爾伯特的不變式理論和數(shù)論報(bào)告在美國生根開花．他的“半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)”(A half-century of mathematics，1951)更成為20世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)的最好總結(jié)．他還在凸多面體的剛性和變形(1935)、n維旋量黎曼矩陣、平均運(yùn)動(1938—1939)、亞純曲線(1938)、邊界層問題(1942)等方面作出貢獻(xiàn)．
外爾的妻子于1948年逝世．1950年，他又和B．愛倫(Ellen)結(jié)婚．外爾在1951年退休，但他在普林斯頓的職位仍然保留著．以后他在普林斯頓和蘇黎世兩地居住．1954年，外爾在第十二屆國際數(shù)學(xué)家大會上講話，介紹菲爾茲獎(jiǎng)獲得者小平邦彥(小平邦彥，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞爾(Serre) 的工作．第二年，70壽辰的祝壽活動之后不到一個(gè)月，外爾在郵局寄信時(shí)突然心臟病發(fā)作，于1955年12月8日與世長辭．
外爾的著作生前出版過選集．1968年，施普林格(Springer)出版社發(fā)行外爾的《論文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十幾本書．
外爾一生的科學(xué)工作，可以分為四個(gè)時(shí)期：格丁根時(shí)期(1904—1913)；蘇黎世時(shí)期(1913—1930)；第二格丁根時(shí)期(1930—1933)；普林斯頓時(shí)期(1933—1955)．他的數(shù)學(xué)工作幾乎遍及整個(gè)數(shù)學(xué)．其中包括奇異積分方程、微分方程、數(shù)學(xué)物理方法、希爾伯特空間，吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象、狄利克雷原理、模1分布、概周期函數(shù)、亞純曲線變分學(xué)等分析課題，凸體的表面的剛性、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何中的聯(lián)絡(luò)、黎曼面等幾何課題，李群的不變量、李群的表示、代數(shù)理論、邏輯等代數(shù)課題，以及相對論、量子論、哲學(xué)、科學(xué)史等課題．他的許多工作成為20世紀(jì)一系列重要數(shù)學(xué)成就的出發(fā)點(diǎn)．外爾的研究足跡緊緊追隨著整個(gè)科學(xué)的進(jìn)展，從廣義相對論到量子力學(xué)，一直在科學(xué)的前沿上弄潮．許多人認(rèn)為，時(shí)至今日，通曉整個(gè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家似乎已經(jīng)沒有了．外爾也許是能做到這一點(diǎn)的最后一人．
外爾在格丁根時(shí)期的初期研究工作，可以說完全在希爾伯特的影響下進(jìn)行．他在格丁根的博士論文題目正是希爾伯特當(dāng)時(shí)鐘愛的研究課題：積分方程．
1910年，外爾在為獲得無薪講師職位發(fā)表就職演講時(shí)，作出了他在數(shù)學(xué)上第一個(gè)重要工作：二階線性微分方程的奇異邊界條件．眾所周知，經(jīng)典的斯圖姆(Sturm)-劉維爾(Liouville)問題是求解自共軛微分方程
其中0≤x＜l，p(x)＞0，q(x)為實(shí)值函數(shù)，解y(x)必須滿足下列邊界條件：
y′(0)－wy(0)=0， (2)
y′(l)－h(huán)y(l)=0， (3)
這里w，h都是實(shí)數(shù)．這時(shí)，人們知道：當(dāng)λ取一列非負(fù)實(shí)數(shù)λn(λn→∞)時(shí)，方程(1)存在非平凡解．這一數(shù)列稱為方程的譜，每個(gè)λn稱為方程的特征值(本征值)，相應(yīng)的解yn(x)稱為特征函數(shù)(本征函數(shù))．這時(shí)yn(x)好象sin nx，cos nx一樣可以作為正交基，使每個(gè)函數(shù)可以按yn(x)展為級數(shù)，正象函數(shù)關(guān)于cos nx和sin nx展為三角級數(shù)一樣．
外爾研究l=+∞的奇異情形．他的想法是令λ取復(fù)數(shù)值．于是對給定的h，會存在復(fù)數(shù)w(λ，h)滿足邊界條件(2)，(3)．當(dāng)h取遍一切實(shí)數(shù)值時(shí)，點(diǎn)w(λ，h)在某圓Cl(λ)上．此時(shí)，外爾看到，當(dāng)l→+∞時(shí)，Cl(λ)(λ固定)形成一族圓，其極限或者是圓或者是一點(diǎn)．這兩種情形的出現(xiàn)與λ的選擇無關(guān)．如果有“極限圓”，那么(1)的解都在[0，＋∞)上平方可積，而在“極限點(diǎn)”情形，(1)只有一個(gè)解(差一常數(shù)因子)是平方可積的．
在后來由馮·諾依曼(von Nenmann)創(chuàng)立的無界對稱算子理論中，一個(gè)微分算子可以作自伴擴(kuò)張的充要條件是兩個(gè)虧指數(shù)n+和n-相等．外爾在這里提供了斯圖姆-劉維爾算子P(x，D)(對稱算子)進(jìn)行自共軛擴(kuò)張的第一個(gè)例子．在a＜x＜b情形，如果a，b分別趨于0和∞時(shí)都是極限點(diǎn)型，則n+=n-=0．算子P(x，D)已經(jīng)是自伴的．如果0和∞分別是極限圓型和極限點(diǎn)型，則n+=n-=1，其自伴擴(kuò)張用一個(gè)邊界條件得出．若二者都是極限圓型，則n+=n-=2，算子P(x，D)可用兩個(gè)邊界條件決定其自伴擴(kuò)張．本世紀(jì)偏微分算子理論的長足進(jìn)展，外爾的這一結(jié)果可說是其先驅(qū)．
外爾并沒有停留在自伴擴(kuò)張問題上．他將關(guān)于與離散譜λn相應(yīng)的特征函數(shù)yn(x)的級數(shù)展開，推廣到連續(xù)譜λ的特征函數(shù)yλ(x)的積分展開，從而為卡萊曼(T．Carleman)積分算子理論開辟了道路．更引人注目的是外爾對大物理學(xué)家H．A．洛倫茲(Lourentz)1910所提問題的回答．1910年，洛倫茲在格丁根講演時(shí)提到，能否由聽鼓聲推知鼓的形狀？這等于由一個(gè)橢圓方程△u+λu=0的本征值λn (即鼓膜振動的自然頻率)來確定鼓膜形狀．外爾研究了更一般的問題，提出了在希爾伯特空間H上的緊自伴算子特征值的直接計(jì)算方法(即不必先求出λ1，…，λn-1再來計(jì)算λn)，后人稱之為“極大極小方法”，這套本征展開理論，為洛倫茲問題的解決提供了鑰匙．人們要求知道當(dāng)λ很大時(shí)，小于λ的特征值的個(gè)數(shù)N(λ)，其中
v是本征頻率，v是波在鼓膜中的傳播速度．外爾證明了
這里A是鼓膜的面積．這恰好證實(shí)了洛倫茲的猜想：頻率在v和dv之間的充分高的諧波數(shù)目與邊界的形態(tài)無關(guān)，僅和它圍成的面積成正比．
這項(xiàng)工作相當(dāng)漂亮．1954年5月，外爾在洛桑作演講．當(dāng)他回憶這段往事時(shí)，寫了如下的話：
“這個(gè)問題的結(jié)論雖然在前些時(shí)候已被物理學(xué)家猜想到．然而對大多數(shù)數(shù)學(xué)家來說，這一結(jié)果似乎是在很遙遠(yuǎn)的將來才能作出證明的．當(dāng)我狂熱般地作出證明時(shí)，我的煤油燈已開始冒煙．我剛完成其證明．厚厚的煤煙灰就象雨一樣從天花板上落到我的紙上、手上和臉上了．”
這套“聽音辨鼓”的理論近幾年又出現(xiàn)新的高潮，現(xiàn)在有了更精確的估計(jì)，甚至可以決定表示鼓上孔的數(shù)目的拓?fù)鋮?shù)．將平面鼓膜推廣到高維的流形上去，仍是成為許多人追逐的課題．
外爾在追隨希爾伯特研究積分方程和微分方程之后，從1911到1912年開辟了自己的新研究方向：黎曼面．這時(shí)，外爾在格丁根大學(xué)講授函數(shù)論課程．復(fù)值多值函數(shù)依靠黎曼
曼面的構(gòu)造一直依靠直觀想象，并用自然語言加以描述．外爾一面授課，一面構(gòu)思嚴(yán)格的黎曼面理論．年僅26歲的外爾爆出了天才的火花．他將黎曼面R看成被R中各點(diǎn)的鄰域U所覆蓋，而每一鄰域U又附以從U到復(fù)平面的映射ψu(yù)．外爾把所有由(U，ψu(yù))構(gòu)成的全體記作 ．如果 滿足(1) 中所有U的并集即是R，(2)當(dāng)V=U1∩U2非空 上區(qū)域ψu(yù)2(V)到復(fù)平面區(qū)域ψu(yù)1(V)的復(fù)變函數(shù)．我們假 )看作黎曼面．在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上，外爾的這一想法是劃時(shí)代的(上面的敘述已采用現(xiàn)在常用的形式)．首先，他采用了鄰域思想，無疑為點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的出現(xiàn)催生．其次，黎曼面用現(xiàn)在的眼光來看乃是復(fù)一維流形．在20世紀(jì)大放異采的復(fù)流形理論即導(dǎo)源于此．第三，外爾指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函數(shù)的多值性直觀化的手段，而且是這個(gè)理論的本質(zhì)部分，是解析函數(shù)能在其上生長和繁榮的唯一土壤”．它開創(chuàng)了現(xiàn)代函數(shù)論．第四，黎曼面的虧格、分類等導(dǎo)向同調(diào)和同倫論，為代數(shù)拓?fù)涞恼Q生指引了方向．外爾這一工作，幾乎影響了20世紀(jì)的整個(gè)純粹數(shù)學(xué)．1913年《黎曼面的觀念》(Die Idee der Riema-nnschen Fl che)出版．從中人們可以看到希爾伯特的鄰域公理化方法，L．E．J．布勞韋爾(Brouwer)使用的單純形方法，H·龐加萊(Poincare)的基本群觀念以及曲面的指向等嚴(yán)格理論．
外爾結(jié)束了格丁根大學(xué)的函數(shù)論教學(xué)工作．
外爾在蘇黎世時(shí)期(1913—1930)的工作是極其輝煌的．他在1914年完成了關(guān)于模1等分布的研究，人們將它看作解析數(shù)論的新篇章．這一工作的發(fā)表因第一次大戰(zhàn)而推遲到1916年．
所謂實(shí)數(shù)列｛xn｝以模1等分布，是指xn 的小數(shù)部分yn均勻地分布在［0，1］內(nèi)，即對任何［0，1］的 β，n)是指前n個(gè)實(shí)數(shù)x1，…，xn 的小數(shù)部分y1，…，yn落在［α，β］中的個(gè)數(shù)．｛xn｝模1等分布也可用積分描述為：對任何在[0，1]上有界的黎曼可積函數(shù)f(x)，有
這就使我們能用分析工具來研究數(shù)論問題．但是使外爾最值得驕傲的是下列基本定理：
｛xn｝模1等分布的充要條件是：對任何非零整數(shù)h，當(dāng)N→∞時(shí)
由此可以推出，若P(x)是首系數(shù)為無理數(shù)的多項(xiàng)式，則p(n)是等分布的．若θ是無理數(shù)，則實(shí)數(shù)列{nθ}是等分布的(這結(jié)果早些時(shí)候?yàn)镻．博爾(Bohl)等數(shù)學(xué)家用純算術(shù)方法得到過)．這一基本定理的證明借助于對多項(xiàng)式指數(shù)和的一項(xiàng)估計(jì)，現(xiàn)稱為外爾不等式．多項(xiàng)式指數(shù)和與調(diào)和分析緊密相連，而外爾在研究微分算子譜論時(shí)成天與調(diào)和分析打交道，因而他從分析學(xué)轉(zhuǎn)向數(shù)論研究乃是順理成章的．多項(xiàng)式指數(shù)和問題與E．華林(Waring)問題(任何正整數(shù)k，總存在g(k)，使k可表示為S(≥g(k)個(gè)k次冪之和)及ζ函數(shù)的黎曼猜想(ζ函數(shù)的非顯然零點(diǎn)全部都在直線Res=1／2上)等密切相關(guān)．這一工作后來為蘇聯(lián)的И．M．維諾格拉多夫所改進(jìn)，用于堆壘素?cái)?shù)論．我國的華羅庚及其學(xué)生們在這一方向上有突出的貢獻(xiàn)．
1916年，當(dāng)外爾從兵營回到工學(xué)院講臺時(shí)，愛因斯坦的廣義相對論問世不久，一場物理學(xué)研究的浪潮席卷全球．外爾毫不猶豫地投身其中．1916到1917年，他在蘇黎世的聯(lián)邦工學(xué)院講授相對論課程時(shí)，力圖把哲學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法以及物理學(xué)理論結(jié)合起來，用自己的思想清晰而嚴(yán)格地闡述廣義相對論．講稿在1918年以《空間、時(shí)間、物質(zhì)》(Raum、Zeit、Malerie)的書名正式出版，五年之內(nèi)再版五次，成為年輕人的心愛之物．大物理學(xué)家W．K．海森伯(Heisenberg)等都從此書中得到教益．
1917—1919這幾年間，外爾在幾何學(xué)與物理學(xué)上作出了巨大貢獻(xiàn)．他受到愛因斯坦在廣義相對論中研究引力場的鼓舞，企圖提出一種既包括引力又包括電磁力的幾何理論，即通過發(fā)展幾何學(xué)來完成“統(tǒng)一場論”的構(gòu)想．雖然“統(tǒng)一場論”經(jīng)過努力(包括愛因斯坦本人的努力)至今仍未建立起來，但是外爾一系列的研究成果卻深刻地影響著當(dāng)代物理學(xué)的進(jìn)展．
外爾首先對作為相對論數(shù)學(xué)框架的黎曼幾何加以改造和擴(kuò)展．黎曼幾何依賴于一種度量，它是微分二次型：
曲率就依這一度量而確定．愛因斯坦的引力理論依賴于二次型，而電磁理論只依賴于一次型．外爾根據(jù)前人結(jié)果已看到曲率可以通過向量的平行移動而得到．在特殊情形下，這是容易理解的∶a，b是直線l上兩點(diǎn)，a處向量Pa沿l平行移動到b處為Pb，此時(shí)Pa與l的夾角等于Pb與l的夾角，Pa沿l且保持與l夾角不變的移動稱為平行移動．Pa沿l平行移動到b再平行移動回到a，夾角一直不動，夾角變化量為0，所以直線的曲率也是零．在半徑為r的球面上一點(diǎn)a處有一向量Pa與過a的大圓l夾角為θ，當(dāng)Pa沿大圓(測地線)作保持夾角不變的移動(平行移動)轉(zhuǎn)一圈回到a時(shí)，向量Pa實(shí)際上轉(zhuǎn)了一圈，增加了2π的幅角，
在黎曼幾何中，曲線xi＝xi(t)，i=1，2，…，n(t1≤t≤t2)的長度S由積分表出：
這里gij是度量張量的共變分量．使這積分取得極值的曲線，即測地線滿足方程
一個(gè)向量場vh(t)，如滿足
則定義為vh(t)與曲線xh=xh(t)平行．由此可以看出：測地線的切
外爾注意到上面的平行定義與度量張量gij 沒有直接關(guān)系，只與克里
時(shí)稱vh(t)與xh(t)平行．
這樣一來，黎曼幾何就從度量束縛中解脫出來，而由一組函數(shù) 向量(ξi )與鄰近的點(diǎn)(xi +dxi )的平行向量(ξi +dξi )之間的關(guān)系為：
為仿射聯(lián)絡(luò)．這種空間稱為仿射聯(lián)絡(luò)空間，黎曼空間只是其中的一個(gè)特例．外爾的這一思想無疑是稍后的E．嘉當(dāng)(Cartan)的一般聯(lián)絡(luò)理論的源頭．聯(lián)絡(luò)概念已構(gòu)成現(xiàn)代微分幾何的基礎(chǔ)，其意義之重大正如分析學(xué)中的微分概念．
1918年，外爾發(fā)表了著名的論述統(tǒng)一場論的論文．他寫道：“如果黎曼幾何要與自然相一致，那么它的發(fā)展所必須基于的基本概念應(yīng)是向量的無窮小平行移動…．但是一個(gè)真正的無窮小幾何必須只承認(rèn)長度從一點(diǎn)到它無限靠近的另一點(diǎn)作轉(zhuǎn)移的這一原則．這就禁止我們?nèi)ゼ俣ㄔ谝欢斡邢蘧嚯x內(nèi)長度從一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)的問題是可積的．…一種幾何產(chǎn)生了”．這樣，外爾的不可積標(biāo)量因子的想法就產(chǎn)生了．電磁學(xué)在概念上可納入一個(gè)不可積量因子的幾何想法之中：電磁場依賴于一次型
加到dφ將不改變理論的物理內(nèi)容，由此得到
有不變意義，F(xiàn)μv 可看成等同于電磁場，其中φv =常數(shù)·Aμ ，Aμ 是電磁勢．
該理論在變換dφ→dφ+d(log λ)下的不變性，即今天稱為“規(guī)范不變性”的最早形式．
愛因斯坦對外爾的論文預(yù)印本十分關(guān)注，但后來明確表示反對這篇文章．結(jié)果愛因斯坦的意見作為按語加在外爾文章的后面，外爾又寫了一個(gè)回答附在末尾．
愛因斯坦的異議是說，不可積標(biāo)度因子理論如果正確，那么從0出發(fā)的兩條路徑，由于標(biāo)度的連續(xù)變化，一般將會有不同大小，因而兩個(gè)鐘快慢將會不同，時(shí)鐘依賴于每個(gè)人的歷史，那就沒有客觀規(guī)律，也就沒有物理學(xué)了．外爾對此作了回答，但未能消除愛因斯坦的異議．1949年，外爾回憶當(dāng)時(shí)的心情說：“在蘇黎世的一只孤獨(dú)的狼——外爾，……很不幸，他太易把他的數(shù)學(xué)與物理的和哲學(xué)的推測混在一起了．”
1929年，外爾又回到這一課題．由于量子力學(xué)的推動，福克(Fock)和F．W．倫敦(London)在1927年指出：外爾的不可積標(biāo)度因子應(yīng)當(dāng)是一個(gè)不可積的“相”因子．外爾在1929年的文章中寫道：我曾經(jīng)希望規(guī)范不變原理將引力和磁力統(tǒng)一起來而未獲支持，但這一原理在量子論的場方程中有一個(gè)形式上的等價(jià)物，
一不變性和電荷守恒定律的關(guān)系仍與先前一樣．…規(guī)范不變性原理具有廣義相對論的特征…．外爾的這些觀點(diǎn)對后世有許多影響，不可積“相”因子消除了愛因斯坦異議，并由實(shí)驗(yàn)證實(shí)．不過“統(tǒng)一場論”始終未完成．外爾對自己的研究一直注視著，直到去世前幾個(gè)月，他在將1918年的規(guī)范理論的論文收入他自己的《論文全集》時(shí)，在“跋”中寫了下列的話：
“我的理論最強(qiáng)的證據(jù)似乎是這樣的：就像坐標(biāo)不變性保持能量動量守恒一樣，規(guī)范不變性保持了電荷守恒．”
外爾的規(guī)范理論啟發(fā)了楊振寧：可以把規(guī)范理論從電磁學(xué)推廣出去．這就產(chǎn)生了楊振寧-米爾斯(Miles)在1954年提出的非交換規(guī)范場理論．這一規(guī)范場理論在粒子物理中顯示了強(qiáng)大的生命力，可惜那時(shí)外爾已退休，未曾注意及之．
外爾的數(shù)學(xué)研究總是和當(dāng)代的物理學(xué)最新成就聯(lián)系在一起．當(dāng)1925—1926年量子力學(xué)剛剛產(chǎn)生的時(shí)候，外爾深入地從事李群及其表示的研究，并在1927年把這項(xiàng)研究與量子力學(xué)結(jié)合起來．1928年，名著《群論和量子力學(xué)》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版．差不多每一位在1935年之前出生的理論物理學(xué)家，都會在自己的書架上放上這本書．不過，幾乎沒有人去讀它．對物理學(xué)家來說，這本書太抽象了．
1930年，在該書德文新版的前言中，外爾寫道：
“質(zhì)子和電子的基本問題已經(jīng)用其與量子定律的對稱性性質(zhì)的關(guān)系來討論了，而這些性質(zhì)是與左和右、過去和將來以及正電和負(fù)電的互換有關(guān)．”
這里的左和右是指宇稱守恒(P)，過去和將來是指時(shí)間反演不變(T)，正電和負(fù)電是指電荷共軛不變性(C)．諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者楊振寧博士曾評論說：“在1930年，沒有人，絕對沒有人以任何方式猜想這些對稱性是彼此相關(guān)的，僅僅在50年代人們才發(fā)現(xiàn)他們之間的深刻聯(lián)系．”
外爾非常喜歡對稱，在1952年寫過《對稱》(Symmetry)的精美小書．也許因?yàn)樘硇挠趯ΨQ，他拋棄了自己提出的不滿足左右對稱的二分量中微子理論(1929)．28年以后的1957年，楊振寧和李政道發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒，并由吳健雄等用實(shí)驗(yàn)證實(shí)．外爾的二分量中微子理論也得到重新肯定．這時(shí)外爾去世已經(jīng)兩年，人們無法聽到這位理論物理先驅(qū)的評論了．
讓我們再回到數(shù)學(xué)上來．外爾在本世紀(jì)20年代從事李群和李代數(shù)及其表示的研究，可說是外爾數(shù)學(xué)生涯中最光輝的篇章．
本世紀(jì)初，G．F．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)和I．舒爾(Schur)等已完成復(fù)n階方陣構(gòu)成的一般線性群GL(n，c)的不可約有理線性表示的工作．由此可知行列式為1的特殊線性群SL(n，c)的所有有理線性表示是完全可約的．1913年，嘉當(dāng)獨(dú)立地完成單復(fù)李代數(shù)不可約線性表示的工作，并指出有限維半單李代數(shù)是完全可約的．
外爾創(chuàng)立一種新的方法，將注意力集中于大范圍李群，僅把李代數(shù)作為一種工具．1897年A．胡爾維茨(Hurwitz)指出了一種對正交群或酉群構(gòu)作不變量的途徑：只須將有限群中普通的平均求和代之以緊群上關(guān)于不變測度的積分，他不僅研究特殊酉群SU(n)的不變量(韋爾稱之為酉技巧)，而且處理了特殊線性群SL(n，c)的不變量問題．舒爾于1924年借助在SU(n)作用下該群的任何表示空間中一種對稱數(shù)量積不變量的存在性，證明SU(n)的完全可約性，他又用酉技巧證明了SL(n，c)連續(xù)線性表示的完全可約性和SU(n)的特征標(biāo)的正交關(guān)系．
從這些結(jié)果出發(fā)，外爾首先指出舒爾和嘉當(dāng)?shù)膬煞N表示之間的聯(lián)系，說明二者能一一對應(yīng)的原因在于SU(n)是單連通的．其次他研究了正交群的雙葉覆蓋群的存在性．最后，外爾轉(zhuǎn)入半單李群大范圍理論的研究．這一工作之深刻令人嘆為觀止．
外爾首先指出，酉技巧不僅在典型群上有用．他證明，每個(gè)半單復(fù)李代數(shù) ，可從一個(gè)緊李群的實(shí)李代數(shù) u 經(jīng)過復(fù)化(com-plexification)而得到．嘉當(dāng)曾逐類討論過這一問題，外爾則用半單代數(shù)的根代數(shù)性質(zhì)很快得出．這樣，外爾建立了 和 u 的線性表示之間的聯(lián)系．但是要用酉技巧，還必須證明確實(shí)存在以 u 為李代數(shù)的緊李群Gu ，而且是單連通的．為了繞過這個(gè)困難，外爾證明了緊群Gu 的通用覆蓋群也是緊的．可以說這一結(jié)果是外爾論文中最深刻最有活力的核心．
這一結(jié)果可以有極好的幾何解釋，因而有外爾“房”和外爾“墻”的概念產(chǎn)生．韋爾證明：Gu 的基本群是有限群，因而Gn 是緊群．極大環(huán)面T在Gu 中的作用和對角線矩陣群在SU(n)中的作用相似，即每個(gè)Gu 中元素是T中一個(gè)元素的共軛．Gu 的特征標(biāo)的正交關(guān)系是重要工具．外爾最終提出一個(gè)大膽的想法：由“分解”Gu 的無限維線性表示來求得半單群的所有不可約表示．
李群的研究和群上調(diào)和分析緊密相連．他考慮Gu 上復(fù)值連續(xù)函數(shù)全體F．若按群Gu 上的不變測度定義積分，則F上可定義卷積
F于是構(gòu)成群代數(shù)．如果考察算子R(f)∶g→f*g，則R(f)是緊的自伴算子，于是就可以用緊算子的譜分解理論加以研究了．更一般地，外爾研究了不變內(nèi)積．他證明：n維線性空間V上的一般線性群GL(V)中的緊子群G，V上必存在關(guān)于G的不變內(nèi)積：
利用這一定理，可直接決定所有緊復(fù)連通李群．即連通復(fù)緊李群必可交換，因此是復(fù)環(huán)面．外爾還得到：緊李群的李代數(shù)必具有不變內(nèi)積(緊李代數(shù))．
外爾的研究都有強(qiáng)烈的背景，豐富的思想和高度的技巧．他用自己的成果開辟了20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的新天地，并且表明“抽象”方法和傳統(tǒng)的“硬”分析方法完全可以相比美．
作為希爾伯特的繼承者，外爾確實(shí)發(fā)揚(yáng)了希爾伯特的傳統(tǒng)，且注入了時(shí)代精神．微分算子理論、模1等分布論、仿射聯(lián)絡(luò)理論、連續(xù)群論都可以在希爾伯特的積分方程、數(shù)論、代數(shù)不變量、物理學(xué)研究等研究中找到淵源，而相對論、量子力學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)方法、代數(shù)拓?fù)涔ぞ叩葎t使他發(fā)展并超越了希爾伯特的范圍．他們師生二人，可以說代表了20世紀(jì)上半葉的數(shù)學(xué)．
然而，他們兩人并非完全一致．在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，外爾擁護(hù)布勞韋爾的直覺主義，不承認(rèn)實(shí)無限，不準(zhǔn)濫用排中律，不愿用選擇公理．他的全部工作確實(shí)沒有用G．康托爾(Cantor)的超限數(shù)理論，而且說康托爾的那一套是“霧中之霧”．外爾把布勞韋爾的觀點(diǎn)介紹給希爾伯特，希爾伯特卻極力反對直覺主義．希爾伯特倡導(dǎo)“形式主義”，企圖證明包含自然數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系是無矛盾的和相容的．但是希爾伯特也小心翼翼地把有限步可以達(dá)到的結(jié)論認(rèn)為是最可靠的，所以外爾說希爾伯特“從布勞韋爾的直覺主義的啟示中獲益非淺．”1931年，K．哥德爾(G del)擊破了希爾伯特的夢想．外爾平靜地和希爾伯特討論事情的前因后果，盡管兩人的意見并未統(tǒng)一．
1932年，希爾伯特70壽辰．外爾寫了生日祝辭，表達(dá)了他對恩師的崇敬與深情．1943年希爾伯特去世．外爾在《美國數(shù)學(xué)會公報(bào)》(Bulletin of American Mathematical Society，50，pp·612—654，1944)上發(fā)表了“大衛(wèi)·希爾伯特及其數(shù)學(xué)工作”(DavidHilbert and his mathematical work)的長篇紀(jì)念文章(中譯本見《數(shù)學(xué)史譯文集》，上海科學(xué)技術(shù)出版社，1981)．
外爾在美國繼續(xù)做過一些研究工作，例如凸體表面的剛性與形變(1935)，n維的旋量、平均運(yùn)動(1938—1939)、亞純曲線(1938)、邊界層問題(1942)等．作為20世紀(jì)前半葉數(shù)學(xué)發(fā)展的見證人，他對克萊因、希爾伯特、諾特等大數(shù)學(xué)家的記述和評論，具有很高的歷史價(jià)值．1950年，外爾在《美國數(shù)學(xué)月刊》(Monthly AMS)發(fā)表論文“半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)”，是一篇極好的學(xué)術(shù)總結(jié)(中譯本見《數(shù)學(xué)史譯文集續(xù)集》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985)．
最后，我們應(yīng)當(dāng)提到外爾的哲學(xué)研究．外爾對哲學(xué)終生不渝．他早年追隨過康德哲學(xué)，后來受E．胡塞爾(Husserl)的影響很深．他的《空間、時(shí)間、物質(zhì)》就是一部物理學(xué)、哲學(xué)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的著作．他在哲學(xué)方面主要作品是《數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)》(Philosophie der Mathematik und Wissenschaften，1927)．書中的數(shù)學(xué)部分包括數(shù)理邏輯、公理學(xué)、數(shù)及連續(xù)統(tǒng)、無窮，以及幾何學(xué)共三章，自然科學(xué)部分有空間時(shí)間與先驗(yàn)的外在世界、方法論以及世界的物理圖景，也是三章．書中引用了一百多位哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)家的原著，對整個(gè)問題作了詳盡而清楚的闡述．
在數(shù)學(xué)哲學(xué)方面，外爾早在1910年就寫過論文“關(guān)于數(shù)學(xué)概念的定義”( ber die Definitionen der mathematischen Grundbe-griffe)．他將數(shù)學(xué)看作“一棵自豪的樹，它自由地將枝頭長入稀薄的空氣，同時(shí)又從直覺的大地和真實(shí)的摹寫中吸取力量”．在同一文章中，外爾認(rèn)為“連續(xù)統(tǒng)的勢的問題，必須從嚴(yán)密地建立集合論原理的途徑去解決”．到了1918年，他出版了《連續(xù)統(tǒng)》(Das Ko-ntinuum)一書，成為一場集合論爭辯的導(dǎo)火線之一．
進(jìn)入20年代，外爾站在布勞韋爾一邊，贊成直覺主義，反對希爾伯特倡導(dǎo)的形式主義．這在前面已經(jīng)有所提及．但是外爾在晚年似乎力圖調(diào)和這兩方面的沖突．“數(shù)學(xué)中的公理方法與構(gòu)造程序”(Axiomatic versus constructive procedures in mathematics)是外爾用英文寫的遺作，大約寫于1953年以后，1985年才公諸于世(The Mathematical Intelligencer vol．7，No．4)．文中說：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的大部分建立在構(gòu)造程序和公理方法的巧妙結(jié)合之上．”例如他從域公理出發(fā)，用1a記α，2a記1α+α，3α記2α+α，如此繼續(xù)，就得出α的倍數(shù)vα，即自然數(shù)全體．然后看是否有v使vα=0，表明域的特征數(shù)為有限(質(zhì)數(shù))或∞．
外爾曾設(shè)想，數(shù)學(xué)證明必須是一步一步地可被人的直覺檢驗(yàn)的程序．現(xiàn)在四色問題的計(jì)算機(jī)證明已突破了外爾的要求，但是構(gòu)造主義觀點(diǎn)卻由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展而倍受重視．外爾說過：“哲學(xué)的反思伴隨著歷史的反思．”數(shù)學(xué)基礎(chǔ)正以新的形式繼續(xù)著爭辯．盡管外爾的“調(diào)和”并未得到公認(rèn)，可是歷史也許會再次注意他的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)．
外爾逝世已經(jīng)40年了，但是整個(gè)國際數(shù)學(xué)界仍然時(shí)刻感到他的存在．他所創(chuàng)立的深刻數(shù)學(xué)思想至今還在起著指路燈的作用．他的工作一定會影響到下一個(gè)世紀(jì)．
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